山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（教案讲义）第八章 多项式矩阵

第八章-矩阵s1-矩阵设P是数域，是一个文字，作多项式环P[]，一个矩阵如果它的元素是的多项式，即P[]的元素，就称为-矩阵。在这一章讨论入-矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理因为数域P中的数也是P[]的元素，所以在-矩阵中也包括以数为元素的矩阵.为了与入-矩阵相区别，把以数域P中的数为元素的矩阵称为数字矩阵以下用A(2),B(),…等表示-矩阵.（1-元2元-1元）A(a)= -(1++-1-我们知道，P[]中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数的运算有相同的运算规律。而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法，因此可以同样定义入-矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个nxn的-矩阵的行列式．一般地，-矩阵的行列式是的一个多项式，它与数字矩阵的行列式有相同的性质例1元，2+2+1+13+5+6-

1 第八章  矩阵 §1  矩阵 设 P 是数域，  是一个文字，作多项式环 P[ ]  ，一个矩阵如 果它的元素是  的多项式，即 P[ ]  的元素，就称为  矩阵. 在这一 章讨论  矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关 于若当标准形的主要定理. 因为数域 P 中的数也是 P[ ]  的元素，所以在  矩阵中也包括以 数为元素的矩阵.为了与  矩阵相区别， 把以数域 P 中的数为元素 的矩阵称为数字矩阵. 以下用 A(),B(), 等表示  矩阵.                   2 3 2 2 1 1 1 2 1 ( )           A  我们知道， P[ ]  中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与 数的运算有相同的运算规律. 而矩阵加法与乘法的定义只是用到其 中元素的加法与乘法，因此可以同样定义  矩阵的加法与乘法，它 们与数字矩阵的运算有相同的运算规律. 行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法， 因此，同样可 以定义一个 nn 的  矩阵的行列式. 一般地，  矩阵的行列式是  的一个多项式，它与数字矩阵的行列式有相同的性质. 例 1 2 3 2 1 1 5 6           

定义1如果-矩阵A(a)中有一个r(r≥1)级子式不为零，而所有r+1级子式（如果有的话)全为零，则称A(a)的秩为r．零矩阵的秩规定为零.000000A例 210元020000注意这里不需要讨论是否为零的情况，和第四章有区别，哪里是数字矩阵定义2一个nxn的a-矩阵A(a)称为可逆的，如果有一个nxn的元-矩阵B(a)使(1)A(a)B(2)= B(2)A(2) = E,这里E是n级单位矩阵适合(1)的矩阵B(a)（它是唯一的)称为A()的逆矩阵，记为A-().定理1一个nxn的α-矩阵A(a)是可逆的充要条件为行列式[A(2)I是一个非零的数(元00)例如：这个矩阵就不可逆1元(01元)2就是可逆矩阵，它的逆1+元-22

2 定义 1 如果  矩阵 A() 中有一个 r(r 1) 级子式不为零，而所有 r 1 级子式 (如果有的话)全为零， 则称 A() 的秩为 r . 零矩阵的秩 规定为零. 例 2 1 0 0        , 0 0 1 0 0 1              , 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0                注意 这里不需要讨论  是否为零的情况, 和第四章有区别, 哪里是数字矩阵 定义 2 一个 nn 的  矩阵 A() 称为可逆的，如果有一个 nn 的  矩阵 B() 使 A()B()  B()A()  E, (1) 这里 E 是 n 级单位矩阵. 适合(1)的矩阵 B() (它是唯一的)称为 A() 的逆矩阵，记为 ( ) 1   A . 定理 1 一个 nn 的   矩阵 A() 是可逆的充要条件为行列式 | A() | 是一个非零的数. 例如：这个矩阵就不可逆 0 0 1 0 0 1              1 1              就是可逆矩阵，它的逆

§2-矩阵在初等变换下的标准形 一、A-矩阵的初等变换 1.定义3下面的三种变换叫做-矩阵的初等变换： (1)矩阵的两行（列）互换位置； (2)矩阵的某一行（列）乘以非零的常数c; (3)矩阵某一行（列）加另一行（列）的()倍，()是一个多项式. 2.初等矩阵 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位 矩阵的第j行的(2)倍加到第i行上得 列j列 1..φ（λ） i行 P(i.j()= j行 1 仍用P(i,j)表示由单位矩阵经过第i行第j行互换位置所得的初等矩阵， 用P(i(c)表示用非零常数c乘单位矩阵第i行所得的初等矩阵.同样 地，对一个s×n的λ-矩阵A(A)作一次初等变换就相当于在A(A)的左 边乘上相应s×s的初等矩阵； 对A(A)作一次初等列变换就相当于A(1)在的右边乘上相应的n×n的 初等矩阵. 3

3 §2  矩阵在初等变换下的标准形 一、  矩阵的初等变换 1．定义 3 下面的三种变换叫做  矩阵的初等变换： (1) 矩阵的两行（列）互换位置； (2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数 c ； (3) 矩阵某一行（列）加另一行（列）的 () 倍， () 是一个多项式. 2．初等矩阵 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位 矩阵的第 j 行的 () 倍加到第 i 行上得 行 行 列 列 j i P i j i j                        1 1 1 ( ) 1 ( . ( ))         仍用 P(i, j) 表示由单位矩阵经过第 i 行第 j 行互换位置所得的初等矩阵， 用 P(i(c)) 表示用非零常数 c 乘单位矩阵第 i 行所得的初等矩阵. 同样 地，对一个 sn 的  矩阵 A() 作一次初等变换就相当于在 A() 的左 边乘上相应 s s 的初等矩阵； 对 A() 作一次初等列变换就相当于 A() 在的右边乘上相应的 nn 的 初等矩阵

初等矩阵都是可逆的，并且有P(i,J)-"= P(i,j), P(i(c)-"= P(i(c-),P(i,j(p)-=P(i,(-p)。由此得出初等变换具有可逆性：设元-矩阵A(2)用初等变换变成B(a)，这相当于对A(a)左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘B(a)就变回A(2)，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由B(a)可用初等变换变回 A(a)二、元-矩阵的等价1.定义4-矩阵A(a)称为与B(a)等价，如果可以经过一系列初等变换 将 A(2)化为B().等价是元-矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质：1）反身性：每一个入-矩阵与它自身等价(2）对称性：若A(2)与B(2)等价，则B()与A()等价(3）传递性：若A(a)与B(a)等价，B(a)与C(a)等价，则A(a)与C(a)等价.应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵A(a)与B(a)等价的充要条件为有一系列初等矩阵P,P,P.9,Q2,,，使(2)A(a)= PP, ...P,B(a)O,Q, ---Qr.这一节主要是证明任意一个入-矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵.2.引理设-矩阵A(a)的左上角元素an(a)+0，并且A(a)中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与A(2)等价的矩阵B()：4

4 初等矩阵都是可逆的，并且有 ( , ) ( , ), ( ( )) ( ( )), ( , ( )) ( , ( )) 1 1 1 1          P i j P i j P i c P i c P i j P i j .由此得出 初等变换具有可逆性：设  矩阵 A() 用初等变换变成 B()， 这相当于对 A() 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆 矩阵来乘 B() 就变回 A() ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由 B() 可 用初等变换变回 A() . 二、  矩阵的等价 1．定义 4  矩阵 A() 称为与 B() 等价，如果可以经过一系列初等 变换 将 A() 化为 B() . 等价是  矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质： (1) 反身性：每一个  矩阵与它自身等价. (2) 对称性：若 A() 与 B() 等价，则 B() 与 A() 等价. (3) 传递性：若 A() 与 B() 等价， B() 与 C() 等价，则 A() 与 C() 等 价. 应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵 A() 与 B() 等价的充要条 件为有一系列初等矩阵 P P Pl Q Q Qt , , , , , , , 1 2  1 2  ，使 A P1P2 PlB Q1Q2 Qt ()  () . (2) 这一节主要是证明任意一个  矩阵可以经过初等变换化为某种 对角矩阵. 2．引理 设  矩阵 A() 的左上角元素 a11()  0 ，并且 A() 中至少有一 个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与 A() 等价的矩阵 B()

它的左上角元素也不为零，但是次数比αu(a)的次数低证明：（1）在第一列中，有a(a）不能被αm(a）整除(2）在第一行中，有a,(a)不能被ai(a)整除(3）第一行、第一列中所有元素都被au(a）整除，但是第i行，第j列的元素α(a）不能被αu(a）整除2.定理2任意一个非零的sxn的a-矩阵A(a)都等价于下列形式的矩阵(d,(a)d,(a)d,(a)0..0其中r≥1，d(a)(i=1,2,,r)是首项系数为1的多项式，且d,(a)ld.(a) (i=1,2,...,r-).这个矩阵称为 A(2)的标准形(1-22元-1元22元例用初等变换化-矩阵A(2)=-2为标准形-2(1+ 22+-1(1-元(12-1元2元-1元2222元-元10-元A(2) =(1+ 22-22123+元-1 -22+-10元021-1(1C22G-GA22-200-1C2-0(21-1)023-元-22-023-元-22-25

5 它的左上角元素也不为零，但是次数比 ( ) a11  的次数低. 证明：(1) 在第一列中, 有 1 ( ) i a  不能被 ( ) a11  整除(2) 在第 一行中, 有 1 ( ) j a  不能被 ( ) a11  整除 (3) 第一行、 第一列中所有元素都被 ( ) a11  整除, 但是第 i 行, 第 j 列的元素 ( ) ij a  不能被 ( ) a11  整除 2．定理 2 任意一个非零的 sn 的  矩阵 A() 都等价于下列形式的矩 阵                       0 0 ( ) ( ) ( ) 2 1      dr d d , 其中 1, ( )( 1, 2, , ) i r d i r    是首项系数为 1 的多项式，且 ( ) | ( ) ( 1 , 2 , , 1) di  di1  i   r  . 这个矩阵称为 A() 的标准形. 例 用初等变换化  矩阵                   2 3 2 2 1 1 1 2 1 ( )           A  为标准形. 2 2 1 3 2 3 2 3 2 1 2 1 1 2 1 ( ) 0 1 1 1 1 c c A                                                      3 1 3 1 2 1 2 2 (2 1) 3 2 3 2 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 r r c c c c                                                   

000100(1022元20元0元00一元→→-12- 13-元3-元22+元00+元O06

6 2 2 2 3 2 3 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0                                         2 1 0 0 0 0 0 0               

83不变因子现在来证明，几-矩阵的标准形是唯一的一、行列式因子1．定义5设-矩阵A(a)的秩为r，对于正整数k,1≤k≤r,，A(a)中必有非零的k级子式。A()中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式D,(a)称为A(a)的k级行列式因子(1-元2元-1元元-元A(2) =(1++-1-由定义可知，对于秩为r的元-矩阵，行列式因子一共有r个.行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的2．行列式因子在初等变换下保持不变，从而有定理3等价的入-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子3.标准形矩阵的行列式因子设标准形为(d,(a)d;(a).(1)d,(a)00其中d,(a),d2(a),,d,(a)是首项系数为1的多项式，且d,(a)ld(a).(i=1,2，，r-1)不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个k级子式7

7 §3 不 变 因 子 现在来证明，  矩阵的标准形是唯一的. 一、行列式因子 1．定义 5 设  矩阵 A() 的秩为 r ，对于正整数 k,1 k  r,， A() 中 必有非零的 k 级子式. A() 中全部 k 级子式的首项系数为 1 的最大公 因式 () Dk 称为 A() 的 k 级行列式因子.                   2 3 2 2 1 1 1 2 1 ( )           A  由定义可知，对于秩为 r 的  矩阵，行列式因子一共有 r 个.行 列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的. 2．行列式因子在初等变换下保持不变， 从而有 定理 3 等价的  矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子. 3．标准形矩阵的行列式因子. 设标准形为                       0 0 ( ) ( ) ( ) 2 1      dr d d (1) 其中 ( ), ( ), , ( ) d1  d2   dr  是首项系数为 1 的多项式，且 1 ( ) | ( ) i i d d    . ( 1 , 2 , , 1) i r   不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个 k 级子式

包含的行与列的标号不完全相同，那么这个k级子式一定为零．因此，为了计算k级行列式因子，只要看由ii2,…i行与i,i2,…,i列组成的k级子式就行了，而这个k级子式等于d, (),d, (a),..,d, (a)显然，这种k级子式的最大公因式就是d,(a)d,(a)d(a)定理4入-矩阵的标准形是唯一的证明设(1)是A(2)的标准形.由于A(2)与(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此，A(a)的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数r；A(2)的k级行列式因子就是(2)D(a)=d,(a)d,(a)...de(a) (k =1,2,.,r)于是d(a)= D;(a) , d,(a)= D:()D,(a)(3)D(a) ,d (a) =Dr-1(a)这就是A(2)的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被A()的行列式因子所唯一决定的，所以A()的标准形是唯一的二、不变因子.1.定义6标准形的主对角线上非零元素d,(a),d,(a),,d,(a)称为元-矩阵A()的不变因子2．定理5两个元-矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者它们有相同的不变因子8

8 包含的行与列的标号不完全相同，那么这个 k 级子式一定为零. 因此， 为了计算 k 级行列式因子，只要看由 k i ,i , ,i 1 2  行与 k i ,i , ,i 1 2  列组成的 k 级子式就行了，而这个 k 级子式等于 ( ), ( ), , ( ) 1 2    k di di  di 显然，这种 k 级子式的最大公因式就是 ( ) ( ) ( ) d1  d2  dk  定理 4  矩阵的标准形是唯一的. 证明 设(1)是 A() 的标准形. 由于 A() 与(1)等价，它们有相同 的秩与相同的行列式因子，因此， A() 的秩就是标准形的主对角线上 非零元素的个数 r ; A() 的 k 级行列式因子就是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,2, , ) 1 2 D d d d k r k      k    . (2) 于是 ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) 1 1 2 1 1 2             r r r D D d D D d D d  . (3) 这就是 A() 的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被 A() 的行列式 因子所唯一决定的，所以 A() 的标准形是唯一的. 二、不变因子. 1．定义 6 标准形的主对角线上非零元素 ( ), ( ), , ( ) d1  d2   dr  称为  矩阵 A() 的不变因子. 2．定理 5 两个  矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式 因子，或者它们有相同的不变因子

3计算行列式因子和不变因子由（3可以看出，在入-矩阵的行列式因子之间，有关系式(4)D,(2)IDk+(a) (k =1,2,..,r-1)在计算入-矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子这样，由（4)就大致有了低级行列式因子的范围了。0(2°+元0例1:0元000(a+1)20(1-2 0例2:-1元-2001-2-1 从而可求出一个若尔当块的行列式因子和不变因子，习题3作业三、可逆矩阵可逆矩阵的标准形.设A()为一个nxn可逆矩阵，由定理1知IA()d,其中d是一非零常数，这就是说D,(a)=1于是由(4)可知，D(a)=1(k=1,2,,n)从而d;(a)=1(k =1,2,..,n)因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵E.反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆矩阵，因为它的行列式是一个非零的数.这就是说，9

9 3 计算行列式因子和不变因子 由(3)可以看出，在  矩阵的行列式因子之间，有关系式 ( ) | ( ) ( 1,2, , 1) Dk  Dk1  k   r  . (4) 在计算  矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子. 这样，由(4)就大致有了低级行列式因子的范围了. 例 1： 2 2 0 0 0 0 0 0 ( 1)                 例 2： 2 0 0 1 2 0 0 1 2                   ， 从而可求出一个若尔当块的行列式因子和不变因子， 习题 3 作业 三、可逆矩阵 可逆矩阵的标准形.设 A() 为一个 nn 可逆矩阵，由定理 1 知 | A() | d , 其中 d 是一非零常数，这就是说 Dn () 1 于是由(4)可知， D ( ) 1 (k 1,2, ,n) k     从而 d ( ) 1 (k 1,2, ,n) k     因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵 E .反过来，与单位矩阵等价的 矩阵一定是可逆矩阵，因为它的行列式是一个非零的数.这就是说

矩阵可逆的充要条件是它与单位矩阵等价.又矩阵A(2)与B(a)等价的充要条件是有一系列初等矩阵P,P2,",P,O,Q2.,O,使A()= PP. ..-P,B(a)QQ.O特别是，当时B(a)=E，就得到定理6矩阵A()是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.推论两个sxn的a-矩阵A(a)与B(a)等价的充要条件为，有一个sxs可逆矩阵与一个nxn可逆矩阵(a)，使B(2) = P(2)A(2)Q(2) .10

10 矩阵可逆的充要条件是它与单位矩阵等价. 又矩阵 A() 与 B() 等价的充要条件是有一系列初等矩阵 P P Pl Q Q Qt , , , , , , , 1 2  1 2  ， 使 A P1P2 PlB Q1Q2 Qt ()  () 特别是，当时 B()  E ，就得到 定理 6 矩阵 A() 是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵 的乘积. 推论 两个 sn 的  矩阵 A() 与 B() 等价的充要条件为，有一个 s s 可逆矩阵与一个 nn 可逆矩阵 Q() ，使 B()  P()A()Q()