信号与系统电子教素 第2章线性时不变系统 Linear Time-Invariant Systems 第2-页44口
信号与系统 第2-1页 ■ 电子教案 第2章 线性时不变系统 Linear Time-Invariant Systems
信号与系统电子教亲 本章主要内容 。信号的时域分解：用δ(n)表示离散时间信 号，用δ()表示连续时间信号 ·LTI系统的时域分析：卷积和与卷积积分 ·LTI系统的微分方程及差分方程表示 ·LTI系统的框图结构表示 ·奇异函数 第2-2页
信号与系统 第2-2页 ■ 电子教案 本章主要内容 • 信号的时域分解：用δ(n)表示离散时间信 号，用δ(t)表示连续时间信号 • LTI系统的时域分析：卷积和与卷积积分 • LTI系统的微分方程及差分方程表示 • LTI系统的框图结构表示 • 奇异函数
信号与系统 2.0引言(Introduction) 由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具 有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析 的理论与方法奠定了基础。 基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号 的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任 意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响 应的线性组合。 第2-3页
信号与系统 第2-3页 ■ 电子教案
信号与系统电好教亲 ·问题的实质： (1).研究信号的分解：即以什么样的信号作为构 成任意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元 的线性组合来构成任意信号； (2).如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。 ·作为基本单元的信号应满足以下要求： (1).本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够 表示（构成）尽可能广泛的其它信号； (2).LTI系统对这种信号的响应易于求得。 第2-4页
信号与系统 第2-4页 ■ 电子教案
信号与系统电子教 如果解决了信号分解的问题，即：若有 Yw-Σw x,()→y() 则0=∑ay(0 ·分析方法： 将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变 换域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析 法、频域分析法或变换域分析法。 第2-5页
信号与系统 第2-5页 ■ 电子教案
信号与系统电子鞋亲 用微分和差分方程描述的因果LTI系统 在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型可以用 线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述。分析 这类LTI系统，就是要求解线性常系数微分方程或差分方程。 一、微分方程的经典解 y(n)(t)+an-1y (m-1)(t)+.+aly()(t)+aoy (t) bmf(m)(t)+bm-if (m-1)(t)+.+bf((t)+bof (t) 第2-6页
信号与系统 第2-6页 ■ 电子教案 用微分和差分方程描述的因果LTI系统 • 在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型可以用 线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述。分析 这类LTI系统，就是要求解线性常系数微分方程或差分方程。 一、微分方程的经典解 y (n)(t) + an-1y (n-1)(t) + .+ a1y (1)(t) + a0y (t) = bmf (m)(t) + bm-1 f (m-1)(t) + .+ b1 f (1)(t) + b0 f(t)
信号与系统电子教素 2.1LT1连续系统的响应 微分方程的经典解： y()(完全解)=y()齐次解，通解)+y()(特解) 齐次解是齐次微分方程 y(m+an-1y(n-1)+.+a1y(1)(t)+aoy(t)=0 的解。y,)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。 特解的函数形式与激励函数的形式有关。 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励)的函数 形式无关，但与)有关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。 第2-7页
信号与系统 第2-7页 ■ 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 微分方程的经典解： y(t)(完全解) = yh (t)(齐次解，通解) + yp (t)(特解） 齐次解是齐次微分方程 y (n)+an-1 y (n-1)+.+a1 y (1)(t)+a0 y(t)=0 的解。yh (t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。 特解的函数形式与激励函数的形式有关。 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数 形式无关，但与f(t)有关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应
信号与系统电子鞋亲 全响应=齐次解（自由响应）十特解（强迫响应） 齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。 根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重 根) 0=】 入为特征根 ·特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法 确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。 ·用初始值确定积分常数。一般情况下，阶方程有n个常数， 可用个n初始值确定。 第2-8页
信号与系统 第2-8页 ■ 电子教案
信号与系统电子就扇 例描述某系统的微分方程为 y"()+5y'()+6y()=f) 求（1)当f)=2et,≥0；y(0)=2,y'0)=-1时的全解； (2)当f)=e2t,≥0；y(0)=1,y0)=0时的全解。 步骤：1)特征方程，定出齐次解的形式： 2)由t)的形式定出特解的形式，代入微分方程即可定 出特解中的系数 3)全解=齐次解+特解，由初始条件定出齐次解中的系 数 注意：初始值不一定是0时刻的，可以为大于0的任意时刻，但 一定得有阶数减一个初始值。 第2-9页
信号与系统 第2-9页 ■ 电子教案 例 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t ，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e-2t ，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。 步骤：1）特征方程，定出齐次解的形式； 2）由f(t)的形式定出特解的形式，代入微分方程即可定 出特解中的系数 3）全解=齐次解+特解，由初始条件定出齐次解中的系 数 注意：初始值不一定是0时刻的，可以为大于0的任意时刻，但 一定得有阶数减一个初始值
信号与系统电子教象 解：(1)特征方程为2+5+6=0其特征根=-2， 入=-3。齐次解为 yn(t)=Ce-2t+C,e-3t 当f)=2e-时，其特解可设为 yp(t)=Pe-t 将其代入微分方程得 Pe-t+5(-Pe-)+6Pe-t=2e-t解得P=1 于是特解为y,)=et 全解为：y()=yh()+y,()=C1e-2t+C2e-3t+e-t 其中待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0)=C1+C2+1=2,y'0)=-2C1-3C2-1=-1 解得C1=3,C2=-2 最后得全解y()=3e-2t-2e-3t+e-t,≥0 第2-10页441>
信号与系统 第2-10页 ■ 电子教案 解: (1) 特征方程为λ 2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= – 2， λ2= – 3。齐次解为 yh (t) = C1 e – 2t + C2 e – 3t 当f(t) = 2e – t时，其特解可设为 yp (t) = Pe – t 将其代入微分方程得 Pe – t + 5(– Pe – t ) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1 于是特解为 yp (t) = e – t 全解为： y(t) = yh (t) + yp (t) = C1 e – 2t + C2 e – 3t + e – t 其中 待定常数C1 ,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ，C2 = – 2 最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0