便携式直线一级倒立摆实验指导书

便携式直线一级倒立摆实验指导书2021

便携式直线一级倒立摆 实 验 指 导 书 2021

目录第一章开发环境要求及其系统组成开发环境要求，2二系统组成，.2第二章系统控制原理简介3第三章直线一级倒立摆的建模、仿真及实验，.....4直线一级倒立摆的数学模型41牛顿一欧拉方法建模.42拉格朗日方法建模..10二系统的阶跃响应分析与可控性分析.13..131系统阶跃响应分析2系统可控性分析.14三MATLAB（Simulink）仿真实验与实时控制实验..16运动控制基础实验.172根轨迹校正实验..193频率响应校正实验，..304PID校正实验..385状态空间极点配置控制实验..436LQR控制实验.507LQR控制(Bang-Bang自摆起)实验...568LQR控制(能量自摆起)实验....609模糊逻辑控制实验...6310模糊逻辑控制（Bang-Bang自摆起）实验，..7111模糊逻辑控制（能量自摆起）实验..7212模糊PID控制实验....7313神经网络控制实验74

1 目录 第一章 开发环境要求及其系统组成 .2 一 开发环境要求 .2 二 系统组成 .2 第二章 系统控制原理简介 .3 第三章 直线一级倒立摆的建模、仿真及实验 .4 一 直线一级倒立摆的数学模型 .4 1 牛顿－欧拉方法建模 .4 2 拉格朗日方法建模 .10 二 系统的阶跃响应分析与可控性分析 .13 1 系统阶跃响应分析 .13 2 系统可控性分析 .14 三 MATLAB(Simulink)仿真实验与实时控制实验.16 1 运动控制基础实验 .17 2 根轨迹校正实验 .19 3 频率响应校正实验 .30 4 PID 校正实验 .38 5 状态空间极点配置控制实验 .43 6 LQR 控制实验 .50 7 LQR 控制(Bang-Bang 自摆起)实验.56 8 LQR 控制(能量自摆起)实验 .60 9 模糊逻辑控制实验 .63 10 模糊逻辑控制（Bang-Bang 自摆起）实验.71 11 模糊逻辑控制（能量自摆起）实验 .72 12 模糊 PID 控制实验 .73 13 神经网络控制实验 .74

第一章开发环境要求及其系统组成一开发环境要求硬件要求：1、PentiumII、PentiumIII、AMDAthlon或者更高：2、内存至少256MB，推荐512MB以上；3、至少有一个USB2.0接口；软件要求：1、MicrosoftWindows98、MicrosoftWindows2000、MicrosoftWindowsXP;2、Microsoft VisualC++ 6.O;3、Matlab 6.5、Matlab7.0、Matlab R2011b;系统组成便携式直线一级倒立摆试验系统总体结构如图1-1所示数据采集卡USB数据线RS232下伺服驱动器旋转编码器发控制量摆杆电机编码便携支架O器输0皮带轮控出制计算机信西电源H号导轨限位限位电机皮带小车图 1-1便携式一级倒立摆试验系统总体结构图本实验系统的主体包括摆杆、小车、便携支架、导轨、直流伺服电机等。主体、驱动器、电源和数据采集卡都置于实验箱内，实验箱通过一条USB数据线与上位机进行数据交换，另有一条线接220v交流电源。便携支架为实验箱方便携带和安装而设计。移动实验箱时，可以扭下便携支架和小车之间的旋钮，将支架和摆杆放倒在实验箱内，简单的接线可以使得本系统方便做课堂演示实验。2

2 第一章 开发环境要求及其系统组成 一 开发环境要求 硬件要求： 1、Pentium II、Pentium III、AMD Athlon 或者更高； 2、内存至少 256MB，推荐 512MB 以上； 3、至少有一个 USB2.0 接口； 软件要求： 1、Microsoft Windows 98、Microsoft Windows 2000、Microsoft Windows XP； 2、Microsoft Visual C++ 6.0； 3、Matlab 6.5、Matlab7.0、Matlab R2011b； 二 系统组成 便携式直线一级倒立摆试验系统总体结构如图 1-1 所示 图 1-1 便携式一级倒立摆试验系统总体结构图 本实验系统的主体包括摆杆、小车、便携支架、导轨、直流伺服电机等。主 体、驱动器、电源和数据采集卡都置于实验箱内，实验箱通过一条 USB 数据线与 上位机进行数据交换，另有一条线接 220v 交流电源。便携支架为实验箱方便携 带和安装而设计。移动实验箱时，可以扭下便携支架和小车之间的旋钮，将支架 和摆杆放倒在实验箱内，简单的接线可以使得本系统方便做课堂演示实验

第二章系统控制原理简介本实验系统以自动控制中的经典控制和现代控制理论为理论基础。便携式直线一级倒立摆的实验原理是：数据采集卡采集到旋转编码器数据和电机尾部编码器数据，旋转编码器与摆杆同轴，电机与小车通过皮带接，所以通过计算就可以得到摆杆的角位移以及小车位移，角位移差分得角速度，位移差分可得速度，然后根据自动控制中的各种理论转化的算法计算出控制量。控制量由计算机通过USB数据线下发给伺服驱动器，由驱动器实现对电机控制，电机尾部编码器连接到驱动器形成闭环，从而可以实现摆杆直立不倒以及自摆起。其工作原理如图2-1所示计算机直流电机摆杆伺服驱动器数据编码器采集卡编码器图2-1直线一级倒立摆工作原理图倒立摆的控制目标有两个，一是稳摆，即使摆杆直立不倒；二是自摆起，即控制电机使摆杆左右摆动进入稳摆范围。整个过程是动态的，表现为小车的左右移动也就是电机的正反转。倒立摆系统的实时性很强，就是说它的速度比较快，所以采样时间较小，一般取10ms左右。通过建立直线一级倒立摆的数学模型，我们得到其模型是可控的，所以我们可以通过自动控制原理课堂所学建立相应的控制器来实现本系统的控制，使它达到稳定。3

3 第二章 系统控制原理简介 本实验系统以自动控制中的经典控制和现代控制理论为理论基础。 便携式直线一级倒立摆的实验原理是：数据采集卡采集到旋转编码器数据和 电机尾部编码器数据，旋转编码器与摆杆同轴，电机与小车通过皮带连接，所以 通过计算就可以得到摆杆的角位移以及小车位移，角位移差分得角速度，位移差 分可得速度，然后根据自动控制中的各种理论转化的算法计算出控制量。控制量 由计算机通过 USB 数据线下发给伺服驱动器，由驱动器实现对电机控制，电机尾 部编码器连接到驱动器形成闭环，从而可以实现摆杆直立不倒以及自摆起。 其工作原理如图 2-1 所示 图 2-1 直线一级倒立摆工作原理图 倒立摆的控制目标有两个，一是稳摆，即使摆杆直立不倒；二是自摆起，即 控制电机使摆杆左右摆动进入稳摆范围。整个过程是动态的，表现为小车的左右 移动也就是电机的正反转。倒立摆系统的实时性很强，就是说它的速度比较快， 所以采样时间较小，一般取 10ms 左右。 通过建立直线一级倒立摆的数学模型，我们得到其模型是可控的，所以我们 可以通过自动控制原理课堂所学建立相应的控制器来实现本系统的控制，使它达 到稳定

第三章直线一级倒立摆的建模、仿真及实验本章的目的是让实验者掌握对直线一级倒立摆实际系统进行建模的方法，熟悉利用MATLAB对系统模型进行仿真，利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计，并对系统进行实际控制实验，对实验结果进行观察和分析，非常直观的感受控制器的控制作用。一直线一级倒立摆的数学模型在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入一输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入一状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿一欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。1牛顿一欧拉方法建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图3-1所示。M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数1摆杆转动轴心到杆质心的长度1摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置4

4 第三章 直线一级倒立摆的建模、仿真及实验 本章的目的是让实验者掌握对直线一级倒立摆实际系统进行建模的方法，熟 悉利用 MATLAB 对系统模型进行仿真，利用学习的控制理论对系统进行控制器的 设计，并对系统进行实际控制实验，对实验结果进行观察和分析，非常直观的感 受控制器的控制作用。 一 直线一级倒立摆的数学模型 在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。控制系统的数学 模型是描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式。 系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对 象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测 其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入 信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就 是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起 系统内部的输入－状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统， 实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个 典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力 学方程。下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一 级倒立摆系统的数学模型。 1 牛顿－欧拉方法建模 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和 匀质杆组成的系统，如图3-1所示。 M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置

摆杆与垂直向上方向的夹角e摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）4D摆杆F小车导轨xS图3-1直线一级倒立摆模型图3-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而失量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。LB.NHMbxFictionHm-XN-x图3-2小车及摆杆受力分析图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：M=F-bx-N(1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：5

5  摆杆与垂直向上方向的夹角  摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 图3-1 直线一级倒立摆模型 图3-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互 作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的 正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。 图3-2 小车及摆杆受力分析图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程: M x  = F −bx  − N (1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:

dN=ar(x + / sin)(2)n即：N = mx + mlecos-mlg sin0(3)把这个等式代入（1)式中，就得到系统的第一个运动方程：(M+m)x+bx+mlécoso-mlé sin0=F(4) 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：dP-mg=m(lcosの)(5)dt?P-mg =-mlésin-mlé? cos(6)力矩平衡方程如下：-Plsin-NIcos=I(7)注意：此方程中力矩的方向，由于=元+,cos=-cosa,sin=-sin，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：(I +ml?)o+mglsin0=-mlxcos0(8)设=元+，（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小，即$<<1，则可以进行近似处理：(d0)2=0cos0=-1,sin =-p,(dt用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：[(I +ml2)p- mglp = mlx(9)(M +m)x+bx-mlg=u对方程组(9)式进行拉普拉斯变换，得到方程组：(I + ml2)Φ(s)s2 -mgl(s) = mlX(s)s(10)(M +m)X(s)s2 +bX(s)s-ml(s)s2 = U(s)注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度Φ，求解方程组的第一个方程，可以得到6

6 ( sin ) 2 x l  dt d N = m + (2) 即:  cos  sin  2 N = m  x  + ml − ml (3) 把这个等式代入(1)式中，就得到系统的第一个运动方程: (M + m)x +bx + ml cos −ml sin = F   2   (4) 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析， 可以得到下面方程: ( cos ) 2 l  dt d P − mg = m (5)  sin  cos  2 P − mg = −ml − ml (6) 力矩平衡方程如下:     − Plsin − Nl cos = I (7) 注意:此方程中力矩的方向，由于  =  +,cos = −cos,sin = −sin ,故等 式前面有负号。合并这两个方程，约去 P 和N，得到第二个运动方程: ( ) sin cos 2 I ml mgl ml x  +  + = − (8) 设  =  +, （  是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设  与1（单位是弧 度）相比很小，即  <<1，则可以进行近似处理: cos 1,sin ,( ) 0 2 = − = − = dt d    用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下:     + + − = + − = M m x bx ml u I ml mgl mlx         ( ) ( ) 2 (9) 对方程组(9)式进行拉普拉斯变换，得到方程组:     + + −  = +  −  = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 M m X s s bX s s ml s s U s I ml s s mgl s mlX s s (10) 注意:推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度  ，求解方程组的 第一个方程，可以得到:

X(s) =[( +ml2)g-(s)(11)mlS如果令V=，则有：ml@(s) :V(s)(12)(I +ml2)s? - mgl把上式代入方程组的第二个方程，得到：(M+m)[+ml) _ j0()5* + (+ml)+ /j0()s-ml0(0)2 - () 13)mlmlS整理后得到传递函数：mlΦ(s)qU(s)s4+b(I+ml2),3_(M+m)mglbmgl(14)qqq其中 q=[(M +m)(I +ml2)-(ml)]设系统状态空间方程为：X=AX+Bu(15)y=CX+Du方程组对x，解代数方程，得到解如下：x=x-(1+ml2)bxm"gl?p(I+ml?)ux =I(M+m)+Mml2I(M+m)+Mml?I(M+m)+Mml2Φ=d(16)mgl(M+m)gmlu-mlbxI(M+m)+Mm +I(M+m)+Mml2++ I(M+m)+Mml?整理后得到以外界作用力（u来代表被控对象的输入力F)作为输入的系统状态方程：7

7 ] ( ) ( ) ( ) [ 2 2 s s g ml I ml X s −  + = (11) 如果令 v =  x  ,则有: ( ) ( ) ( ) 2 2 V s I ml s mgl ml s + −  = (12) 把上式代入方程组的第二个方程，得到: ] ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( )[ 2 2 2 2 2 s s ml s s U s s g ml I ml s s b s g ml I ml M m +  −  = + −  + + + (13) 整理后得到传递函数: s q bmgl s q M m mgl s q b I ml s s q ml U s s − + − + +  = 3 2 2 4 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (14) 其中 [( )( ) ( ) ] 2 2 q = M + m I + ml − ml 设系统状态空间方程为: y CX Du X AX Bu = +  = + (15) 方程组对    x  , 解代数方程，得到解如下:          = + + = = + + = + + + + + + + − + + + + + + + − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I M m Mml mlu I M m Mml mgl M m I M m Mml mlbx I M m Mml I ml u I M m Mml m gl I M m Mml I ml bx x x x              (16) 整理后得到以外界作用力(u来代表被控对象的输入力F)作为输入的系统状 态方程:

10000-xI +ml?m'gl2-(I +ml2)b0CxxI(M +m)+ Mml?I(M + m)+ Mml?I(M +m)+ Mml?u (17)$00d0-mlbmgl(M +m)[)]0LmlI(M +m)+ Mml?I(M + m)+ Mml?I(M +m)+ Mml?00x0(18)010p0Lei由方程组(9)得第一个方程为：(I +ml)-mglg=mlx(19)对于质量均匀分布的摆杆有：1ml21(20)3于是可以得到：1 ml2 + ml2) -mglp = mlx(21)-33 +3(22)化简得到：4141设X=Φ，u=戈，则可以得到以小车加速度作为输入的系统状态方程：01000xx10000xx0u(23)+0001pd3g3000&4141.xx000福V=z(24)0d010Lg8

8 u I M m Mml ml I M m Mml I ml x x I M m Mml mgl M m I M m Mml mlb I M m Mml m gl I M m Mml I ml b x x                     + + + + + +                               + + + + + − + + + + − + =               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 0           (17) u x x x y       +                      =      = 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0      (18) 由方程组(9)得第一个方程为: I ml mgl ml x  ( + ) −  = 2 (19) 对于质量均匀分布的摆杆有: 2 3 1 I = ml (20) 于是可以得到: ml ml mgl mlx + ) −  = 3 1 ( 2 2 (21) 化简得到: x l l g   4 3 4 3  =  + (22) 设 X x x  u  x   =  = ' , ,, , ,则可以得到以小车加速度作为输入的 系统状态方程: ' 4 3 0 1 0 0 4 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 u l x x l g x x                 +                             =                         (23) ' 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 u x x x y       +                      =      =      (24)

以小车加速度为控制量，摆杆角度为被控对象，此时系统的传递函数为：341G(s) :(25)s2_ 3g41表3.1元创兴便携式直线一级倒立摆实际系统的物理参数摆杆质量m摆杆长度L摆杆转轴到质心长度1重力加速度g9.81m/s20.0426kg0.305m0.152m将表3.1中的物理参数代入上面的系统状态方程和传递函数中得到系统精确模型。系统状态空间方程：x10To00xxx00100Xd(26)001000e00d48.34.9x00x[100xu(27)0p01Lg00Lo系统传递函数：4.9G(s)=(28)s2-48.39

9 以小车加速度为控制量，摆杆角度为被控对象，此时系统的传递函数为: l g s l G s 4 3 4 3 ( ) 2 − = (25) 表 3.1 元创兴便携式直线一级倒立摆实际系统的物理参数 摆杆质量 m 摆杆长度 L 摆杆转轴到质心长度 l 重力加速度g 0.0426 kg 0.305 m 0.152 m 9.81 2 m /s 将表3.1中的物理参数代入上面的系统状态方程和传递函数中得到系统精确 模型。 系统状态空间方程: ' 4.9 0 1 0 0 0 48.3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 u x x x x             +                           =                         (26) ' 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 u x x x y       +                      =      =      (27) 系统传递函数: 48.3 4.9 ( ) 2 − = s G s (28)