期权定价的敏感度分析 期权定价有六种基本敏感性度量,主要是衡量影响期权价格的因素,包括:德尔塔 (dela)、伽马( gamma)、希塔( theta)、拉姆达 lambda、罗(rho)和维加(vega) (一)德尔塔(△) 在任何确定的时间内,衍生证券的价值是标的资产价格的函数。这个函数对标的资产价 格变化的敏感度用希腊字母德尔塔(Dela,Δ)来描述。德尔塔是 Black- Scholes期权定价 模型的一个重要衍生概念,在证券组合中对投资者具有重要意义。其公式表达为 其中可S是期权价值对股票价格的一阶偏导数。在 Black-Scholes期权定价模型中, 德尔塔特性如下 (1)看涨期权的 Delta为正,看跌期权的 Delta一定为负值。这正负号表示期权价格 和标的资产价格之间的变动关系 (2)Deta数值的范围介于1和+1之间。当S>X时,期权的价格收敛于S-X C 期权的价格C与“的变化基本上是同步变化,于是 时的推理类似 (3)平价期权的Dlta数值约为0.5。 (二)伽马( gamma) Gammar是衡量标的物价格变化所引起的 Delta值的变化,即 Delta对标的资产价格S 的一阶偏导数(或期权价值对资产价格S的二阶偏导数),方程表达方式为 a-c N(d, =I>0 这一指标反映了保值比率变动的幅度和频度。参数T既可以用来作为△对市场变化的反 应,也可以用来说明更敏感和更深入分析的对冲。在此,由于S的变化所引起的C的变化进 行展开,得到 dC≈MS+r(dS)2 为了使股票价格变化之后,期权价格变化与执行匹配,我们必须“增加一些r”。当S≈X 且到期时间很短时,T达到最大。因此,当我们买入的是快要到期且处于平值状态的看涨期
1 期权定价的敏感度分析 期权定价有六种基本敏感性度量，主要是衡量影响期权价格的因素，包括：德尔塔 （delta）、 伽马（gamma）、 希塔（theta）、拉姆达 lambda、罗（rho）和维加（vega） （一）德尔塔（ ） 在任何确定的时间内，衍生证券的价值是标的资产价格的函数。这个函数对标的资产价 格变化的敏感度用希腊字母德尔塔（Delta， ）来描述。德尔塔是 Black-Scholes 期权定价 模型的一个重要衍生概念，在证券组合中对投资者具有重要意义。其公式表达为： S f 其中 f / S 是期权价值对股票价格的一阶偏导数。在 Black-Scholes 期权定价模型中， 德尔塔特性如下： （1）看涨期权的 Delta 为正，看跌期权的 Delta 一定为负值。这正负号表示期权价格 和标的资产价格之间的变动关系。 （2）Delta 数值的范围介于-1 和+1 之间。当 时，期权的价格收敛于 ， 期权的价格 与 的变化基本上是同步变化，于是 ；当 时的推理类似。 （3）平价期权的 Delta 数值约为 0.5。 (二) 伽马（gamma） Gammar 是衡量标的物价格变化所引起的 Delta 值的变化，即 Delta 对标的资产价格 S 的一阶偏导数（或期权价值对资产价格 S 的二阶偏导数），方程表达方式为： S T t N d S C S c ( 1) 2 2 这一指标反映了保值比率变动的幅度和频度。参数 既可以用来作为 对市场变化的反 应，也可以用来说明更敏感和更深入分析的对冲。在此，由于 的变化所引起的 的变化进 行展开，得到： 为了使股票价格变化之后，期权价格变化与执行匹配，我们必须“增加一些 ”。当 且到期时间很短时， 达到最大。因此，当我们买入的是快要到期且处于平值状态的看涨期 t S X T S X C t S 1 C S t S X c p 0 S C 1 2 ( ) 2 dC dS dS S X
权时,我们进行T的对冲成本将很低。如果做到这一点,并且重新调整股票数量以达到想要 的4对冲,则我们就同时完成了T对冲和△对冲 显然,当S>0和S→∞时,都有T→0。在期权临近平价时,值最大。在接近到期 期限时,处于平价状态的期权的匚会非常大,这意味着此时期权头寸的价值对股票价格的变 化极其敏感。 为说明期权定价的敏感度分析,在此进行举例说明。假定股票期权的执行价格X=30元 到期时间T为12个月,无风险利率r为5%股票波动率30%。当股票价格从10-50元价格波 动时,则的敏感性如何?为测算看涨期权对股票价格敏感性,在此我们通过 Matlab软件进 行模拟,则看涨期权的敏感性度量结果如图9-9所示。 0.14 0.06 0.04 T Deta 图1:看涨期权的敏感性度量 (三)西塔e) 西塔(6, Theta)是期权定价中的另一个重要参数。西塔(6)被定义为: f N(d,)--0ST ar 西塔度量的是衍生证券价值的变动方向。如果时间增加,期权曲线将向右移动。西塔正 是度量的曲线的这种移动。 通过以上介绍德尔塔(△)、伽马(I)和西塔(⊙,可见这些参数能够估计在一个小 的时期内衍生证券价值的变化。这样,将这三个参数写在一个方程中,就可以将B-S模型 进行重新表达。即根据期权定价的偏微分方程
2 权时，我们进行 的对冲成本将很低。如果做到这一点，并且重新调整股票数量以达到想要 的 对冲，则我们就同时完成了 对冲和 对冲。 显然，当 和 时，都有 。在期权临近平价时， 值最大。在接近到期 期限时，处于平价状态的期权的 会非常大，这意味着此时期权头寸的价值对股票价格的变 化极其敏感。 为说明期权定价的敏感度分析，在此进行举例说明。假定股票期权的执行价格 X=30 元; 到期时间 T 为 12 个月,无风险利率 r 为 5%;股票波动率 30%。当股票价格从 10-50 元价格波 动时，则的敏感性如何？为测算看涨期权对股票价格敏感性，在此我们通过 Matlab 软件进 行模拟，则看涨期权的敏感性度量结果如图 9-9 所示。 图 1：看涨期权的敏感性度量 （三）西塔( ) 西塔( ,Theta)是期权定价中的另一个重要参数。西塔( )被定义为： 西塔度量的是衍生证券价值的变动方向。如果时间增加，期权曲线将向右移动。西塔正 是度量的曲线的这种移动。 通过以上介绍德尔塔（ ）、伽马（ ）和西塔( )，可见这些参数能够估计在一个小 的时期内衍生证券价值的变化。这样，将这三个参数写在一个方程中，就可以将 B-S 模型 进行重新表达。即根据期权定价的偏微分方程 S 0 S 0 2 2 2 1 ( ) 2 rT f re XN d S t
c)edt+rs dS+-o2s2 dt-rV=0 ,可得: SA+loST=rle 特别地,用O∫、δ·S、δ1表示∫、S和t的微小变化,则有 △··f+r×(6.S)2+ex8·t 作为。的一阶近似。 (四)维加(vega,A) 当波动率变化一个单位时(通常为1%),衍生证券的价值变化称为维加(vega,A)。 用公式表达为: λ反映的是证券价格本身波动对衍生证券价格的影响。若构造的组合使λ值等于零,则 该组合的价值不受波动率变化的影响。按照 Black-Scholes期权定价公式,可以得到不支付 红利股票的欧式看涨期权和看跌期权的A表达式: Ac- OC= Sw(d, od,- (T-ON'(d,)=ST-E(d, ap as a 从上式可以看出,AP=Ac>0 也就是说,欧式看涨期权和看跌期权的价格都随着波 动率σ的增加而增加。 (五)罗(P) 当利率变化一个单位时(通常为1%),衍生证券的价值变化称为罗(P)。用公式表达 为: 可见,P反映的是衍生产品价格对利率变化的比率。按照BS定价公式,可以得到不支 付红利股票的欧式看涨期权和看跌期权的尸表达式 dr=e-r(r-ny Pp ar =-X(T-)e-(-N(-d2) 从上式可以看出,当P>0时,随着无风险利率增加,欧式看涨期权的价值也相应增加
3 ，可得： 特别地，用 f 、 S 、 t 表示 f 、 S 和 t 的微小变化，则有： f f S t 2 ( ) 2 1 作为 f 的一阶近似。 （四）维加（vega， ） 当波动率变化一个单位时（通常为 1%），衍生证券的价值变化称为维加（vega， ）。 用公式表达为： 反映的是证券价格本身波动对衍生证券价格的影响。若构造的组合使 值等于零，则 该组合的价值不受波动率变化的影响。按照 Black-Scholes 期权定价公式，可以得到不支付 红利股票的欧式看涨期权和看跌期权的 表达式： 从上式可以看出， 。也就是说，欧式看涨期权和看跌期权的价格都随着波 动率 的增加而增加。 （五）罗（ ） 当利率变化一个单位时（通常为 1%），衍生证券的价值变化称为罗（ ）。用公式表达 为： 可见， 反映的是衍生产品价格对利率变化的比率。按照 B-S 定价公式，可以得到不支 付红利股票的欧式看涨期权和看跌期权的 表达式： 从上式可以看出，当 0 C 时，随着无风险利率增加，欧式看涨期权的价值也相应增加； 2 2 2 2 1 0 2 c c c c V V V dt rS dS S dt rV t S S 1 2 2 2 c rS S rV f 1 ( ) 1 2 1 ( ) ( ) ( ) r T t C C d SN d Xe N d S T tz d ( ) ( ) r T t P C P S Xe S 0 P C f r ( ) 2 ( ) r T t C C Xe N d r ( ) 2 ( ) ( ) r T t P P X T t e N d r
当pp<0时,欧式看跌期权的价值随着无风险利率增加而减少;当p=0时,该组合的价值 不受利率变化的影响
4 当 0 P 时，欧式看跌期权的价值随着无风险利率增加而减少；当 0 时，该组合的价值 不受利率变化的影响