Black- Litterman模型 Markowitz模型的缺点是构建的投资组合过于集中、对输入的参数及样本区间过于敏 感、以及估计误差被放大,这些原因影响了 Markowitz模型的使用。而 Black- Litterman 模型利用概率统计方法,将投资者对大类资产的观点与市场均衡回报相结合,产生新的预 期回报。该模型可以在市场基准的基础上,由投资者对某些大类资产提出倾向性意见,然 后,模型会根据投资者的倾向性意见,输出对该大类资产的配置建议。 BL模型并非对 Markowitz模型的全面否定。在 Markowitz均值方差模型上发展出来 的CAPM模型有两个基本假定:一是投资者对预期收益、标准差和风险资产相关性具有一 致预测:二是投资者行为遵循最优化原则,即所谓的投资者理性。而 Black andlittermar 认为更为合理的假定是,投资者对通常拥有与一致预期收益不一样的主观的、个人观点 ( investor views),显然这是一个与实际更贴近的假定。 、 Markowitz模型 在资产组合问题中,我们有如下结论:如果市场的无风险利率为,则最优的资产组合 由如下公式给出: R1) B-AR (1) 其中A=1E1=∑∑v>0 1∑ 最优组合就是切点组合,当资本市场处于均衡状态时,该组合也是市场组合。即W=W (1)变形得: 根据 Sharper ratio 这样,对于任意资产的隐含超额预期收益率可以写成:
1 Black-Litterman 模型 Markowitz 模型的缺点是构建的投资组合过于集中、对输入的参数及样本区间过于敏 感、以及估计误差被放大，这些原因影响了 Markowitz 模型的使用。而 Black-Litterman 模型利用概率统计方法，将投资者对大类资产的观点与市场均衡回报相结合，产生新的预 期回报。该模型可以在市场基准的基础上，由投资者对某些大类资产提出倾向性意见，然 后，模型会根据投资者的倾向性意见，输出对该大类资产的配置建议。 BL 模型并非对 Markowitz 模型的全面否定。在 Markotwitz 均值方差模型上发展出来 的 CAPM 模型有两个基本假定：一是投资者对预期收益、标准差和风险资产相关性具有一 致预测；二是投资者行为遵循最优化原则，即所谓的投资者理性。而 Black andlitterman 认为更为合理的假定是，投资者对通常拥有与一致预期收益不一样的主观的、个人观点 （investor views），显然这是一个与实际更贴近的假定。 一、Markowitz 模型 在资产组合问题中，我们有如下结论：如果市场的无风险利率为 ，则最优的资产组合 由如下公式给出： （1） 其中 最优组合就是切点组合，当资本市场处于均衡状态时，该组合也是市场组合。即 Wt=Wm （1）变形得： 根据 Sharper Ratio： 这样，对于任意资产的隐含超额预期收益率可以写成： 1 t R B AR Σ z 1 w 1 Σ z 1 T B ( ) R B AR t z 1 Σw 2 m m Z R 0 1 1 1 N i N j ij T A 1 Σ 1 v N j ij N i j z v 1 1
I=A∑wm (2) 其中,II=Z-R1 当市场处于均衡状态的时,投资者持有市值加权的组合。通过观察市场组合的回报和 方差,可以推出 Sharpe Ratio。例如,取市场的 Sharpe Ratio=4,根据观察到的市场组 合(市场各股票的权重),就可以由公式(2)得到资本市场的隐含超额收益率 二、 Black- Litterman模型 针对 Markowitz模型在资产配置中存在的这些问题, Black and litterman1992年提 出了新的预期收益合成方法——概率方法( Bayesian approach),文献中BL模型表达方 式如下 E[R]=【()-+P-1P[(r)1n+Pr1 其 E[R]:新的加权后的收益向量(n×1列向量 T:比例关系(常数) P:涉及主观看法资产矩阵(k×n矩阵) :看法置信度矩阵(k×k矩阵) ∏:隐含均衡收益率向量(N×1列向量) Q:看法向量(k×1列向量 Σ:对角矩阵 T:表示转置 1:表示逆矩阵 1、资本市场的隐含收益率(I)
2 （2） 其中， 当市场处于均衡状态的时，投资者持有市值加权的组合。通过观察市场组合的回报和 方差，可以推出 Sharpe Ratio。例如，取市场的 Sharpe Ratio =4，根据观察到的市场组 合（市场各股票的权重），就可以由公式（2）得到资本市场的隐含超额收益率 。 二、Black-Litterman 模型 针对 Markowitz 模型在资产配置中存在的这些问题，Black and Litterman1992 年提 出了新的预期收益合成方法——概率方法（Bayesian approach），文献中 BL 模型表达方 式如下： E[𝑅] = [(𝜏𝛴) −1 + 𝑃 𝑇Ω −1𝑃] −1 [(𝜏𝛴) −1Π + 𝑃 𝑇Ω −1 ] 其中： E[R]：新的加权后的收益向量（n×1 列向量） τ ：比例关系（常数） P：涉及主观看法资产矩阵（k×n 矩阵） Ω ：看法置信度矩阵（k×k 矩阵） Π ：隐含均衡收益率向量（N×1 列向量） Q：看法向量（k×1 列向量） Σ：对角矩阵 T：表示转置 -1：表示逆矩阵 1、资本市场的隐含收益率（Π） Σwm z 1R
Litterman (2003 )4E "modern investment management-an equilibrium approach”一文中对隐含均衡收益有过深入讨论。均衡状态是一种理想状态,表明市场供 求处于平衡,这一样种状态尽管在实际中很少发生,市场更多地是处于不均衡中。但这样 一种状态正像一只无形的手一样,牵引着市场不断地朝这个方向发展,正如我们在期权市场 中反求隐含波动率一样,我们可以从市场观察到的价格、市场权重去反推出市场隐含均衡 收益率: II=8∑Wm 其中,根据 Satchell and scowcroft(2000的方法,δ表示单位风险的超额收益: E(r):市场组合收益 r:无风险收益 G2:市场组合方差 Wm:市值权重 2、比例关系(τ) 采用 Idzorek的定义,刻度因子τ表示组合历史误差与看法误差的比例,计算公式 如下 P'ΣP (1/k)*∑(CF/LC1) 其中: LC:表示投资对第i个资产超额收益信心水平 CF:标准刻度因子,CF≈P∑Pr 3、涉及主观看法资产矩阵(P) P是涉及看法的资产矩阵,是k×n矩阵,k表示几种看法,n表示资产数量。采用 Satchell and scowcroft(2000)方法,具体构造以下三个看法来例举阐述
3 Litterman （2003）在“modern investment management-an equilibrium approach”一文中对隐含均衡收益有过深入讨论。均衡状态是一种理想状态，表明市场供 求处于平衡，这一样种状态尽管在实际中很少发生，市场更多地是处于不均衡中。但这样 一种状态正像一只无形的手一样,牵引着市场不断地朝这个方向发展，正如我们在期权市场 中反求隐含波动率一样，我们可以从市场观察到的价格、市场权重去反推出市场隐含均衡 收益率： Π = δΣ𝑊𝑚 其中，根据 Satchell and Scowcroft(2000)的方法，δ表示单位风险的超额收益： δ = 𝐸(𝑟) − 𝑟𝑓 𝜎 2 E(r)：市场组合收益 rf ： 无风险收益 σ 2： 市场组合方差 Wm ：市值权重 2、比例关系（τ ） 采用 Idzorek 的定义，刻度因子τ 表示组合历史误差与看法误差的比例，计算公式 如下： 其中： LCi：表示投资对第 i 个资产超额收益信心水平 CF：标准刻度因子, 3、 涉及主观看法资产矩阵（P） P 是涉及看法的资产矩阵，是 k×n 矩阵,k 表示几种看法，n 表示资产数量。采用 Satchell and Scowcroft(2000)方法，具体构造以下三个看法来例举阐述。 1 50% T P P CF
1、H资产绝对收益为20%,信心水平70% 2、A资产比B资产收益率高10%,信心水平80% 3、C、D资产比E、F、G资产收益高6%,信心水平90% 假定资产数量为10个,A、B、C、D、E、F、G、H依次排序为前八个,则P矩阵如下: 0000000001 1100000000 11111 22333 第一行代表第一个看法,这是一种绝对方式表达,涉及H资产,看法正面为1。第二行是 相对看法,涉及A、B两资产,看法正面为1,负面为-1。第三行涉及多个资产,看法为正 面的之各为1,看法为负面的之和为-1 4、看法(Q) 在上例中,看法( vIews)数量k=3,列向量为(20%,10%,6%) 5、看法置信度矩阵(a) Ω表示投资者的看法与真实情况有所差别,这样的一种预测差异,可以在误差的协方 差矩阵中表示,继续上例,三个看法表示如下: CF/LC Q2=0 CF/LC2 0 0 CF/LO ∑(z-R) 由公式(1),W,=B-AR可以进一步简化为: IΣ∏ 得到的新的资产配置反应了投资者的的主观预期
4 1、H 资产绝对收益为 20%,信心水平 70%; 2、A 资产比 B 资产收益率高 10%,信心水平 80%; 3、C、D 资产比 E、F、G 资产收益高 6%,信心水平 90% 假定资产数量为 10 个，A、B、C、D、E、F、G、H 依次排序为前八个，则 P 矩阵如下： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 − 1 3 − 1 3 − 1 3 0 0 0 第一行代表第一个看法，这是一种绝对方式表达，涉及 H 资产，看法正面为 1。第二行是 相对看法，涉及 A、B 两资产，看法正面为 1,负面为-1。第三行涉及多个资产，看法为正 面的之各为 1,看法为负面的之和为-1。 4、看法（Q） 在上例中，看法（views）数量 k=3，列向量为(20%,10%,6%)T 5、看法置信度矩阵（Ω） Ω 表示投资者的看法与真实情况有所差别，这样的一种预测差异，可以在误差的协方 差矩阵中表示，继续上例，三个看法表示如下： 由公式（1）： 可以进一步简化为： 得到的新的资产配置反应了投资者的的主观预期。 1 t R B AR Σ z 1 w 1 1 1 t T Σ w Σ