第十三章动量矩定理
第十三章 动量矩定理
动力学812-1转动惯量一． 定义J.-Emr?rdn若刚体的质量是连续分布，则刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度，转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kg:m2。二．转动惯量的计算1．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
§12-1 转动惯量 一．定义 = 2 z i i J m r Jz = m r dm2 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的 大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg·m2 。 若刚体的质量是连续分布，则 二．转动惯量的计算 １．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
动力学[例1] 匀质细直杆长为l,质量为m求：对z轴的转动惯量Jz'z对2轴的转动惯量 J,xVAV4102m解:J-[，Cxym/2x ydxdxdx12工mlx2=dx32.回转半径J.由p=所定义的长度β_称为刚体对z轴的回转半径m2J. = mp
[例1] 匀质细直杆长为l ,质量为m 。 求： 对z轴的转动惯量 ； 对z' 轴的转动惯量 。 2 2 2 2 12 1 dx ml l m J x l z = l = − 2 0 2 3 1 dx ml l m J x l z ' = = 解： 2. 回转半径 由 所定义的长度 称为刚体对z 轴的回转半径。 m Jz = z 2 z m z J = z J z' J
动力学对于均质刚体，p.仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的I和p_，以供参考,3. 平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。(1) 定理J, = Jc +md2刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积
在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质 刚体的 Iz 和 z ，以供参考。 2 J J md z' = zC + 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行 的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。 ⑴ 定理 3. 平行移轴定理 对于均质刚体， 仅与几何形状有关，与密度无关。对 于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回 转半径是相同的。 z
动力学(2)证明设质量为m的刚体，质心为C,Jc=Emr -Em(x +y)J, =Emr-Em(x+y2):x =x', yl=y +dZ1Z1r. J, =Zm[x +(y, +d)]rd=m,(x,2 +y)+(m, )d?miy(y)C福+2dmiyiyiEm =m,m y, = myc = 0X;=XiyixI. J, = J.c +md刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值
⑵ 证明 设质量为m的刚体，质心为C， = = ( + ) 2 2 2 zC i i i i i J m r m x y = ' = ( ' + ' ) ' 2 2 2 z i i i i i J m r m x y = + + = = + [ ( ) ] ' , ' ' 2 2 J m x y d x x y y d z i i i i i i i + = + + i i i i i i d m y m x y m d 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 0 J J md m m m y my z z C i i i C = + = = = , 刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值
动力学例如，对于例1中均质细杆对z'轴的转动惯量为J.-J.+m(-1mP+1mlP-1ml3AZ'Z.1m21dxmlx/12x1m养m/2dxx y dxLxydx34.计算转动惯量的组合法当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分（物体）的转动惯量，然后再加起来就是整个物体的转动惯量若物体有空心部分，要把此部分的转动惯量视为负值来处理
2 2 2 2 3 1 4 1 12 1 2 m l m l m l l Jz = Jz + m( ) = + = 2 2 2 2 12 1 dx ml l m J x l z = l = 2 0 2 3 1 dx ml l m J x l z ' = = 当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。 4．计算转动惯量的组合法 例如，对于例1中均质细杆对 z' 轴的转动惯量为
动力学[例2]钟摆：均质直杆ml，l;均质圆盘：m2,R。求 Io°解: J。=Jo杆+Jo盘=m,P+=m,R2+m,(I+R)2gm,2+m,(3R2+212 +41R)2R[例3]提升装置中，轮A、B的重量B分别为P_、P2,半径分别为 ri、r2,012可视为均质圆盘；物体C的重MiAa量为P，；轮A上作用常力矩M，11C求物体C上升的加速度
O O杆 O盘 J = J + J 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 3 1 = m l + m R +m l+R (3 2 4 ) 2 1 3 1 2 2 2 2 1 = m l + m R + l + lR 解： [例2] 钟摆： 均质直杆m1 , l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 IO。 [例3] 提升装置中，轮A、B的重量 分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重 量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。 求 物体C上升的加速度
动力学[例3]提升装置中，轮A、B的重量分别为P、P，,半径分别为ri、r2，可视为均质圆盘；物体C的重B量为P，；轮A上作用常力矩M。0F2求物体C上升的加速度MiA解：①取轮A为研究对象；受力如a图；轮A角加速度为ε，由刚体定轴0riC转动微分方程则有：Io = M, -Tr(1)BM162ATYo2tPrO2Xo2Iot=-Yon1O2 gXo1P2②取轮B连同物体C为研究对象：PTi8受力如图；轮B速度为の，，角加速C度为$；物体C速度为v，加速度P3为α；由质点系的动量矩定理则有：
[例3] 提升装置中，轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重 量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。 求 物体C上升的加速度。 ②取轮B连同物体C为研究对象； 受力如图；轮B速度为w2 ，角加速 度为e2 ；物体C速度为v ，加速度 为a ；由质点系的动量矩定理则有： (1) 1 1 M1 Tr1 I O e = − 解: ①取轮A为研究对象；受力如 图；轮A角加速度为 e1 ，由刚体定轴 转动微分方程则有： 2 1 2 1 1 1 r g P I O =
动力学P3-dlo2 = M -Zmo(F(0), LoIP2:0,vr2+r二dt2 ggCBr-0,+Evn)-Th-Ph(2)dt 2 ggB③运动学补充方程Mi62ATYozt(3)rg =r82O2Xo2YorO2 (4)XoiV=r02, a=r8,PPiTi8化简(2)得: B+2Pa=T-PC2gnP.M-T+P3a=化简(1)得：2gr2(M /r - P).a=9P +P +2P
③运动学补充方程： (3) 1 1 2 2 re = r e 化简(1) 得： 化简(2) 得： 3 2 3 ' 2 2 a T P g P P = − + T r M a g P = − 1 1 1 2 g P P P M r P a + + − = 1 2 3 1 1 3 2 2( / ) ) ' (2) 2 1 ( 2 2 3 2 3 2 2 2 2 v r T r P r g P r g P dt d w + = − , (4) 2 2 2 2 v = rw a = r e 2 3 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 1 ( ) , v r g P r g P M m F L dt dL O e O e O O = = = w +
动力学S 12-2动量矩质点动量定理：动量的改变一→外力（外力系主矢）质点系质心运动定理：质心的运动一→外力（外力系主矢）若当质心为固定轴上一点时，v=0，则其动量恒等于零质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。一．质点的动量矩1.质点对点0的动量矩矢量大小：mo(mv)=240ABmo(mv)=rxmy
质点 动量定理： 质点系 动量的改变—→外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了 质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外 力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。 §12-2 动量矩 一．质点的动量矩 质心运动定理：质心的运动—→外力（外力系主矢） m mv r mv O ( )= ⒈ 质点对点O的动量矩 矢量 大小： mO (mv) =2OAB