第十四章动能定理
第十四章 动 能 定 理
动力学本章重点、难点1.重点力的功和物体动能的计算质点系的动能定理和机械能守恒定律的应用2.难点动力学普遍定理的综合应用
本章重点、难点 ⒈重点 力的功和物体动能的计算。 质点系的动能定理和机械能守恒定律的应用。 ⒉难点 动力学普遍定理的综合应用
动力学与动量定理和动量矩定理用失量法研究不同，动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量一动能和作用力的物理量一一功之间的联系，这是一种能量传递的规律力的功s 14-1力的功是力沿路程累积效应的度量。一． 常力的功FMMM2saW =FScosαS=F.S时,负功。元时,正功;α=时,功为零;α>力的功是代数量。α<.122单位：焦耳（J）；1J=IN-1m
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用 能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重 要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能 定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功 之间的联系，这是一种能量传递的规律。 § 14-1 力的功 力的功是力沿路程累积效应的度量。 F S W FS = = cos 力的功是代数量。 时,正功； 时,功为零； 时,负功。 单位：焦耳（Ｊ）； 2 2 = 2 1J=1N1m 一．常力的功
动力学Iz二． 变力的功M21．力的元功MisW= FcosodsMdr= F,dsy0= F.drZ小x= Xdx + Ydy + Zdzy(F = Xi + Yj + Zk, dr = dxi + dyj + dzkF . dr = Xdx + Ydy + Zdz)2.力F在曲线路程 MM,中作功M.M,W= {Fcosads= JF,ds（自然形式表达式）M,M
⒉ 力 F 在曲线路程 M1 M2 中作功 二．变力的功 F ds = = F dr = Xdx +Ydy + Zdz (F = Xi +Yj + Zk ,dr = dxi + dyj + dzk F dr = Xdx+Ydy + Zdz) W =Fcosds ⒈ 力的元功 = = 2 1 2 1 cos M M M M W F ds F ds （自然形式表达式）
动力学MF.dr1（矢量式）MiM（直角坐标表达式）Xdx + Ydy + ZdzM三．合力的功质点M受n个力F,F,,F，作用合力为R=ZF则合力R的功M2W= {R·dr= (F+E, +.+F)drMiMIM2-[Fdr+ [F, dr+.+ [F, dr = W, +W, +...+WMiMiMi
三．合力的功 质点M 受n个力 作用合力为 则合力 的功 F F Fn , , , 1 2 R = Fi R W R dr F F F dr n M M M M = = + ++ ( ) 2 1 2 1 1 2 F dr F dr F dr M M n M M M M = + ++ 2 1 2 1 2 1 1 2 W W +Wn = + + 1 2 = + + 2 1 M M Xdx Ydy Zdz （直角坐标表达式） = 2 1 M M F dr （矢量式）
动力学即W-ZW在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。四．常见力的功ZIMi1． 重力的功MM2质点：重力在三轴上的投影：Z1Img1Z2y0X=0,Y=0,Z=-mgW = [ -mgdz= mg(zf-z2) x质点系:W-W =m,g(zil-zi2)=Mg(zcl-zc2 )质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关
四．常见力的功 1．重力的功 = − = − 2 1 ( ) 1 2 z z W mgdz mg z z 质点系： ( ) ( ) i i i1 i2 C1 C2 W =W =m g z −z =Mg z −z 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重 心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。 X =0,Y =0, Z =−mg 质点：重力在三轴上的投影： 即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。 W =Wi
动力学2.弹性力的功弹簧原长l。，在弹性极限内 F=-k(r-l。)rk-一弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。N/m,N/cm。。=r/r01W= (F.dr= {-k(r-l.)r-drMIMM1riro-dr-L.dr=_.d(r-r)-d(r2)=dr2r21M212020k-2.W-[-k(r-l.)dr=d(r-l.)2lo02Nn[(1-10) -(5-10)1令8, =r-10,82 =r2-lo弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了即 W-2(8° -8,)变形有关，而与质点运动的路径无关
2．弹性力的功 弹簧原长 ，在弹性极限内 k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位 变形时所需的力。N/m , N/cm。 0 l 0 0 F =−k(r−l )r r r/r 0 = = = − − 2 1 2 1 0 0 ( ) m M M M W F dr k r l r dr d r dr r d r r r dr r r r dr = = = ( )= 2 1 ( ) 2 1 2 0 2 0 0 ( ) 2 ( ) 2 1 2 1 d r l k W k r l dr r r r r = − − =− − 1 1 0 2 2 0 2 2 0 2 1 0 [( ) ( ) ] , 2 r l r l r l r l k = − − − 令 = − = − ( ) 2 2 2 1 2 = − k 即 W 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 变形有关，而与质点运动的路径无关
动力学4．作用于转动刚体上的力的功，力偶的功设在绕z轴转动的刚体上M点作用有力，计算刚体转过一角度β时力F 所作的功。M点轨迹已知。F=F+F,+FSW -Fds=F, -rdp=m,(F)dp逃.. W-[ m.(F)dp(=,-)Fb作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。dp如果作用力偶，m，且力W={ mdpF偶的作用面垂直转轴MFnP1若m =常量, 则 W =m(Pz -P)瀘注意：功的符号的确定
W =F ds=F rd=mz (F)d ( ) =2 −1 = 2 1 ( ) W mz F d 作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。 = 2 1 W md 若m = 常量, 则 ( ) W = m 2 −1 注意：功的符号的确定。 如果作用力偶，m , 且力 偶的作用面垂直转轴 4．作用于转动刚体上的力的功，力偶的功 设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力 ，计算刚体转过 一角度 时力 所作的功。M点轨迹已知。 F F F = F + Fn + Fb
动力学六．功率与机械效率1. 功率力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。SWP :dtF.drSWF.v=FV作用力的功率：PdtdtSWdpn元-M-0=M力矩的功率：PM一E30dtdt功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），1W=1J/s
1．功率 力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重 要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。 dt W P = 作用力的功率： F v F v dt F dr dt W P = = = = 力矩的功率： 30 n M M dt d M dt W P z z = z = = = 功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），１W=１J/s 。 六．功率与机械效率
动力学2.机械效率dT/dt有效功率与输入功率之比称为机械效率P有用有效功率x100%n=Pa输入功率2n是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下n<1
是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下 ＜１。 2．机械效率 有效功率与输 入功率之比称为机械效率。 dT dt = = 100% 输入 有用 输入功率 有效功率 P P