《应用随机过程》课程教学课件（PPT讲稿）第1章 预备知识 1.2 随机变量和分布函数

1.2随机变量和分布函数 一.一维随机变量与分布函数 二.多维随机变量与分布函数

1.2 随机变量和分布函数 一.一维随机变量与分布函数 1 二.多维随机变量与分布函数

一.一维随机变量与分布函数 设(2，.学，P)是概率空间，X会X(o)是定义在2上取值于实 数集R的函数，如果对于任意实数x∈R都有{o:X(o)≤x}∈，字， 则称X(o)是.上的随机变量。 F(x)=P{X≤x},-o0<x<o 称为随机变量的分布函数

一.一维随机变量与分布函数   ( , ,P) , ( ) R x R ( ) x ( ) X X X X          设 是概率空间 是定义在 上取值于实 数集 的函数，如果对于任意实数 都有 ： ， 则称 是 上的随机变量。 2 F F F F x P X x x ( ) , =  −      称为随机变量X的分布函数

特征性质：若F(x)是X的分布函数，则有 (I)Fx)单调不降； (2) 有界：0≤Fx)≤1，F(-o)=0,F(+o)=1; 3) 右连续.即对任意实数x,有F(x+O)=F()

特征性质： (1) F(x) 单调不降； (2) 有界：0F(x)1，F(−)=0，F(+)=1； (3) 右连续. 3

离散型随机变量分布列与分布函数的关系 分布列 Pk=P(X=xKY 分布函数 F(x)=P{X≤x}=∑P Xk≤x 连续型随机变量密度函数与分布函数的关系 F(x)="f(t)dt f(x)=F'(x)

  =  = x x k k 分布函数 F( x) P{X x} p 分布列 { } k k p = P X = x 离散型随机变量 ( ) ( )d x F x f t t − =  连续型随机变量 4 分布列与分布函数的关系 密度函数与分布函数的关系 f x F x ( ) ( ) = 

常见分布 两点分布 P{X=k=p(1-p)(k=0,I) 二项分布B(n,p)P{X=k}=C0p(1-p)(k=0,12,) 泊松分布2PN=利=行，=2

常见分布 二项分布 泊松分布 两点分布 { } , 0,1,2, , ! k e P X k k k   − = = = { } 1 0 1 2, , ( ) n k k k P X k C p p k n n − = = − = （ ， ） ( ) 1 { } 1 0 1 k k P X k p p k − = = − = （ ，） B n p ( , ) P( ) 

均匀分布U(a,b) a0 其它 指数分布Z(2)=T(1,) fx)=0 Aei,x>0 x≤0 分布x=r32 1x21e，x>0 f)-2r3 T(a)=∫xa-edx(a>0) 0 其它

6 均匀分布 1 , ( ) 0, 其 它 a x b f x b a    =  −  正态分布 2 2 ( ) 2 1 ( ) , 2π x μσ f x e x σ − − = −     1 , 0 ( ) ( ) 0 其 它 α x x e x f x α  − −    =     分布 指数分布 , 0 ( ) 0 0 x e x f x x   −   =   1 0 ( ) d ( 0) x x e x    +  − −  =   1 2 2 2 1 0 ( ) 2 ( ) 2 0 ，其 它 n x n x e x n f x  − −    =    2 分布  ( ) n 2  U a b ( , )2 N( , ) μ σ ( , )  Z( )  = (1, )   1 = ( , ) 2 2 n 

二.多维随机变量与分布函数 ●● ● ●●●● 1.n维随机变量 ●●● 设(2，.，P)是概率空间，X1=X1(o),X2=X2(o),.,Xn=Xn(⊙)是定义 在2上的随机变量，由它们构成的一个n维随机向量(X,X2,Xn)叫做 n维随机向量或n维随机变量。 2.n维随机变量的分布函数 定义对于任意实数x1,x2,.,xn,n元函数F(x1,x2,.,xn)= P{X1≤x1,X2≤x2,.,Xn≤xn}称为n维随机变量(X1,.,Xn)的 分布函数或随机变量X1,X2,.,Xn的联合分布函数。 F(G,5),n)=PX1≤X,X≤S,X≤x}

定义 对于任意实数 1 2 , , , n x x x ，n 元函数 1 2 ( , , , ) F x x xn = 1 1 2 2 { , , , } P X x X x X x    n n 称为 n 维随机变量 1 ( , , ) X Xn 的 分布函数或随机变量 1 2 , , , X X Xn的联合分布函数。 二.多维随机变量与分布函数 1. n维随机变量 2. n维随机变量的分布函数 ( ) 1 1 2 2 1 2 ( , ,P) , = ( ), = ( ) = ( ) n n n X X X X X X X X X n n      设 是概率空间 ， , 是定义 在 上的随机变量，由它们构成的一个n维随机向量 ， ， , 叫做 维随机向量或 维随机变量。 F

3.概率密度函数 定义若存在非负函数f(x1,x2,.,xn),使对于任意实数 七1七2，.，Xn有 Fx,x)=∫0fx,x)dxdx,dx 则称f(1,x2,.,xn)为(X1,X2,.,Xn)的概率密度函数

1 2 1 2 ( , , , ), , , , 若存在非负函数 使对于任意实数 有 定义 n n f x x x x x x 3. 概率密度函数 1 1 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , )d d d , n n x x x F x x x f x x x x x x n n n − − − − =    1 2 1 2 ( , , , ) ( ) , , , . n n 则称 f x x x 为 X X X 的概率密度函数

4.边际分布函数 n维随机变量(X1,X2,Xm)关于X,的边缘分布函数. Fx,(x1)=F(x1,0,0,.,o) n维随机变量(X1,X2,.,Xn)关于(X1,X2)的边缘分布函数. FX1,X2(K1,X2)=F(X1,X2,∞，0，.，o)

1 2 1 维随机变量 ( , , , ) 关于 的边缘分布函数. n X X X X n 4. 边际分布函数 1 1 1 ( ) ( , , , , ) F x F x X =    1 2 1 2 维随机变量 ( , , , ) ( , ) 关于 的边缘分布函数. n X X X X X n 1 2 , 1 2 1 2 ( , ) ( , , , , , ) F x x F x x X X =   

5.条件分布 设f(x1,.,xa)是随机变量X1,.,X。的联合密度函数，则 X1,.,X在给定X+1,.,X时的条件密度f1m4(山，.，山x+1,.,xa) 定义为 fi(,.,4|x+1,x） f（山，4x+1.,工） R"-fw,z)a.d

5. 条件分布