1.4条件概率、条件期望 一.条件概率 二.条件分布 三.条件期望 1.E(X Y=y) 2.E(X Y)
1.4 条件概率、条件期望 二.条件分布 1 三.条件期望 1. ( | ) E X Y y = 2. ( | ) E X Y 一.条件概率
一.条件概率 条件概率：设E为随机试验，Ω为其样本空间，A、B为 任意两个事件，若P(B)>0,则事件A关于事件B的条件概 率为： P(AB P(A B P(B 全概率公式与贝叶斯公式 设{Bn}是2的一个分割，且使得P(B)>0,i=1,2,. 则(1)对任意事件A,有 P(A)=∑PAIB,)P(B, i=1 (2)对任意事件A,若P(A)>0,有 P(A B,)P(B,) P(B,A)= ∑PAIB)PB) i=l
一.条件概率 条件概率：设E为随机试验，为其样本空间，A、B为 任意两个事件，若P(B)>0, 则事件A关于事件B的条件概 率为： | P AB P A B P B = （ ） （ ） （ ） 全概率公式与贝叶斯公式 设 { } B n 是 的一个分割，且使得 ( ) 0, 1,2, P B i i = 则（1）对任意事件A，有 1 ( ) | ) n i i i P A P A B P B = = （ （ ） （2）对任意事件A ，若 P（A） 0 ，有 1 | ) ( | ) | ) i i i n i i i P A B P B P B A P A B P B = = （ （ ） （ （ ） 2
二.条件分布 给定Y=时，X的条件分布定义为： F(x|y)=P{X≤x|Y=y}
给定Y=y时，X的条件分布定义为： F x y P X x Y y ( | ) | = = 3 二.条件分布
二维离散型 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列为P{X=xY=y}(i,广=1,2) 对一切使P{Y=y}>0的y,称 PX=y=- PX=xX=y,i=1,2. P{Y=y防} 为在给定Y=y,条件下随机变量X的条件分布列. 注：离散型随机变量的条件分布函数 对于固定的y,若PY=y}>0,则 Fxy(xy)=P{X≤x|Y=y}=∑P{X=x,IY=y以
( , ) { }( , 1,2 ) { } 0 , { , } { } , 1,2 { } 设二维离散型随机变量 的联合分布列为 ， 对一切使 的 称 为在给定 条件下随机变量 的条件分布列. i j j j i j i j j j X Y P X x Y y i j P Y y y P X x Y y P X x Y y i P Y y Y y X = = = = = = = = = = = = 二维离散型 注：离散型随机变量的条件分布函数 = { | } i i x x P X x Y y = = 对于固定的y P ，若 { } 0, Y y = 则 F x y X Y ( ) = P X x Y y { | = }
二维连续型 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y), 它关于Y的边际密度为f,（y),对一切使∫（y)>0的y,称 (化义为给定Y=y的条件下，X的条件密度函数. f(y) 记为1，(x)=c少 f(y) 称a-上：为在条件y下X 的条件分布函数，记为 Fmn=xs=月-ax
( , ) ( ) { } d . ( ) x X Y Y f x y F x y P X x Y y x − f y = = = 称 | ( , ) ( | )d d ( ) x x X Y Y f x y f x y x x − − f y = 为在条件 Y=y 下 X 的条件分布函数，记为 ( , ) ( ) ( ) X Y Y f x y f x y f y 记为 = 二维连续型 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ), , 0 , ( , ) 设二维连续型随机变量 的联合密度函数为 它关于 的边际密度为 对一切使 的 称 为给定 的条件下, 的条件密度函数. Y Y Y X Y f x y Y f y f y y f x y Y y X f y =
三.条件期望 1.E(X|Y=y) 条件分布的数学期望
三.条件期望 1. ( | ) E X Y y = 6 条件分布的数学期望
离散型随机变量 连续型随变量 X的分布 F(x)=P{X≤x P(X=x)P F()=∫fdu F(x,y)=PX≤x,Y≤y} (X,Y)的联合分布 P(X=xi,Y=y }=Pi Fx,)=∫∫fua,)dudv F(xly)=P{X≤xY=y Y=y的条件下，X的 Fw(xy=∫∫(dy)dx 条件分布 PX=P==P=r=理 PIY=y 其中（少 f,(y) X的期望 Er=F()∑xP{X=x ()d E(X Y=y) Y=y的条件下，X的 条件期望 -[xdF(xly) ∑xPX=xIY=y八 f国y4
7 X的分布 （X,Y）的联合分布 Y=y的条件下， X 的 条件分布X的期望 Y=y的条件下， X 的 条件期望 F x y P X x Y y ( , ) { , } = { , } P X x Y y p = = = i j ij ( , ) ( , ) d d y x F x y f u v u v − − = F x P X x ( ) { } = P X x p { }= = i i ( ) ( )d x F x f t t − = F x y P X x Y y ( | ) | = = E X Y y ( | ) = ( | ) i i i x P X x Y y = = ( ) X Y x d f x y x − { , } { } { } i j i j j P X x Y y P X x Y y P Y y = = = = = = ( ) ( )d ( , ) ( )= ( ) 其 中 X Y X Y x X Y Y F x y f x y x f x y f x y f y − = xf x dx ( ) + − 1 i i i x P X x = = EX xdF x( ) + − = 离 散 型 随 机 变 量 连 续 型 随 机 变 量 - xdF x y ( | ) + =
1.条件期望E(XIY=y) 给定Y=y时，X的条件期望定义为： E(XIY=y)=xdF(xly) ∑xP(X=xY=),(X,Y)为二维离散型随机变量 厂水-血(X为-金本续型变量
1.条件期望 E X Y y xdF x y ( | ) ( | ) + − = = 给定Y=y时，X的条件期望定义为： 8 E X Y y ( | ) = ( | ),( , ) ( , ) ( | ) ,( , ) ( ) i i i Y x P X x Y y X Y f x y xf x y dx x dx X Y f y + − − = = = = 为二维离散型随机变量 为二维连续型随机变量
例：设在Y=y(0≤<1)条件下，X的条件概率密度为 3x2 f(xly)=y 0<x<y 求E(XY=y): 0, 其它 解：E(XY=y)=f(xy =3=0y<1 9
例: 设在Y=y(0<y<1)条件下, X的条件概率密度为 2 3 3 , 0 ( | ) 0, x x y f x y y = 其它 解: 9 求E X Y y ( ). = E X Y y xf x y dx ( ) ( ) − = = 2 3 0 3 3 ,0 1. 4 y x y x dx y y = =
注：在Y=y的条件下X的条件期望E(XY=y)是y 的函数，它是一个变量，这不同于无条件期望E(X), 不仅在于计算公式上，还在于含义上. 例如，X表示中国成年人的身高，则EX表示中国 成年人的平均身高.若用Y表示中国成年人的足长， 则EXY=y)表示足长为y的中国成年人的平均身高. 我国公安部门研究获得：E(XY=y)=6.876y, 若测得案犯留下的足印长为25.3cm,则可推算出案犯 的身高约174cm. 10
注：在Y=y的条件下X的条件期望E(X|Y=y) 是y 的函数,它是一个变量, 这不同于无条件期望E(X) , 不仅在于计算公式上，还在于含义上. 例如,X表示中国成年人的身高, 则EX表示中国 成年人的平均身高. 若用Y表示中国成年人的足长， 则E(X|Y=y)表示足长为y的中国成年人的平均身高. 10 我国公安部门研究获得： E(X|Y=y) =6.876y， 若测得案犯留下的足印长为25.3cm,则可推算出案犯 的身高约174cm