第7章Brown:运动 7.1基本概念与性质 7.2Gawu过程 7.38aww运动的鞅性质 7.4Bawe运动的Mam6ou性 7.5Bawm运动的最大值变量及反正弦律 7.6B运动的几种变化 7.7高维8a%运动
第7章 Brown运动 7.1 基本概念与性质 7.2 Gauss过程 7.3 Brown运动的鞅性质 7.4 Brown运动的Markov性 7.5 Brown运动的最大值变量及反正弦律 7.6 Brown运动的几种变化 7.7 高维Brown 运动 1
7.1基本概念与性质 一.引言 二.定义 三.性质
7.1 基本概念与性质 一.引言 二.定义 三.性质 2
一.引言 设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔△t时间，等 概率地向左或向右移动△x的距离.以X()表示时刻t粒子的 位置，则 X(t)=Dx(X +L +XD) 其中 ì+1，如果第步向右 X:=1」 P{X,=1=P{X,=-1}= i-1, 如果第步向左 2 且X相互独立
3 设一粒子在直线上随机游动,即粒子每隔△t 时间,等 概率地向左或向右移动△x的距离.以X(t)表示时刻t粒子的 位置,则 其中 如果第i步向右 如果第i步向左 且Xi相互独立. 一.引言
因为 EX,=0,Var(X )=1 所以 E[X(t)]=0,Var(X(t)=(Dx)2[t/Dt] 当Dt®0时，应有Dx®0 令Dx=SVDt 则当Dt®0时，有 E[X(t)]=0,Var(X(t))Rs2t 注：若Dx=(D)当a>1/2时，Var(X(t)®0， 当a<1/2时，Var(X(t)®￥
因为 所以 当 时，应有 令 则当 时，有 注：若 当 时， 当 时， 4
二.定义 定义1随机过程X),仑0}如果满足： (1)X(0)=0; (2){X(),仑0}有平稳独立增量； (3)对每个t>0,X(~N(0,σ2)， 则称{X),≥0}为Brown2运动，也称为Wieneri过程，常记为 {B(),仑0}或{W),仑0} 注：Brown:运动与随机游动的关系 一维Brown:运动可看作质点在直线上作简单随机游动的极限
5 二.定义 定义1 随机过程{X(t)，t≥0} 如果满足： (1) X(0)=0; (2) {X(t)，t≥0}有平稳独立增量; (3) 对每个t >0, X (t) ~ N (0,σ2 t), 则称{X(t)，t≥0}为Brown运动，也称为Wiener过程,常记为 {B(t)，t≥0} 或{W(t)，t≥0}. 注：Brown运动与随机游动的关系 一维Brown运动可看作质点在直线上作简单随机游动的极限
等价定义 设B心，仑是一个随机过程，若满足 1、增量服从正态分布对固定的t,B()~N(0,o), 以及对>s有B()-B(⑨~N0,σ2t-s》 2、增量是独立的对任意的0<4不2，<4， B(t-B(m-,B(-B(m-,.,B(t-B(t),B(t是相 互独立的 3、路径的连续性B(O=O,B是的连续函数 则称{B),仑O是布朗运动， 当σ=1时称之为标准布朗运动： 6
6 设{B(t) , t≥0} 是一个随机过程，若满足 1、增量服从正态分布 对固定的t，B (t) ~ N (0,σ2 t)， 以及对t>s有 B (t)-B (s) ~ N(0, σ2 (t-s)) 2、增量是独立的 对任意的 0<t 1<t 2< , .,<tn , B(tn )-B (tn-1) , B(tn-1)-B (tn-2) , . , B(t2 )-B (t1 ) , B(t1 ) 是相 互独立的 3、路径的连续性 B (0)=0, B(t)是t的连续函数 则称{B(t) , t≥0} 是布朗运动. 等价定义 当σ=1时称之为标准布朗运动
例设B()，2O}为标准Bou运动，试分别求 PB(2)E0PB(O)E0,B(1)E0,B(2)E0
设{B(t) , t≥0} 为标准Brown运动,试分别求 7 例
三.性质 1.若B(O)=x称之为始于x的布朗运动，记为Bx(), 记B为始于0的布朗运动，即标准布朗运动， 则 B*(t)x=B°(t) 即布朗运动具有空间齐次性
1. 若B(0)=x称之为始于x的布朗运动，记为Bx (t)， 记B0 (t)为始于0的布朗运动，即标准布朗运动， 则 即布朗运动具有空间齐次性. 8 三.性质
2.布朗运动的对称性 PB(+)>B(6)=} =PB(to+t)xB(to)=x 上式表明，给定初始条件B(t)=x,对于任意的>0， 布朗运动在t+t时刻的位置高于或低于初始位置的概率相 等这种性质称为布朗运动的对称性
上式表明，给定初始条件B(t 0 )=x0 ，对于任意的t>0， 布朗运动在t 0+t时刻的位置高于或低于初始位置的概率相 等.这种性质称为布朗运动的对称性. 2.布朗运动的对称性 9
3.平移不变性： 若{B,仑O为布朗运动，则 {B(t什-B(),≥（为常数)也是布朗运动. 4.尺度不变性：若{B(),仑0为布朗运动，则 也是布朗运动， o
4. 尺度不变性：若{B(t), t≥0}为布朗运动，则 也是布朗运动. 3. 平移不变性： 若{B(t) , t≥0}为布朗运动，则 {B(t+a)-B(a) , t≥0}（a为常数）也是布朗运动. 10