3.2与Poi sson过程相联系的若干分布 一.事件发生时间间隔Xn的分布 二.事件发生时刻Tn的分布 三.事件发生时刻的条件分布
3.2 与Poisson过程相联系的若干分布 1 二.事件发生时刻Tn的分布 一.事件发生时间间隔Xn的分布 三.事件发生时刻的条件分布
N(t)的样本函数 Nt) 是跃度为1 的阶梯函数 To T1 T2 T3 T4 T,n表示事件A第n次发生的时刻， X,表示第n-1次与第n次事件发生的时间间隔
t T1 T2 T3 T4 . N(t) 是跃度为1 的阶梯函数 Tn表示事件A 第n次发生的时刻， T0 2 N(t)的样本函数 Xn表示第n-1次与第n次事件发生的时间间隔
一.事件发生时间间隔Xn的分布 定理设{Xm,n≥1}是参数为2的泊松过程{Nt),仑0}的时 间间隔序列，则{X,≥1相互独立同服从指数分布，且 EXn=1/2. 证： (1) 因{X>)={(0,内事件A不出现) P(X >t)=P(N(1)=0)=e-i Fx()=1-P{X1>}=1-e,t≥0. 即X,服从均值为1几的指数分布
设{Xn , n≥1}是参数为λ的泊松过程{N(t), t≥0}的时 间间隔序列， 定理 则{Xn , n≥1}相互独立同服从指数分布,且 E Xn =1/λ. 证: (1) 因 {X1>t}={(0, t]内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt 一.事件发生时间间隔Xn的分布 ( ) 1 1 1 1 , 0. t F t P X t e t X − = − = − 即X1 服从均值为1/λ的指数分布. 3
(2)由泊松过程的平稳独立增量性，有 P{X2>X=S}=P{在(s,t什s内事件A不发生X=S} =P{N(t+s)-N(s)=0 X=s) 。X X2 0 =P{Nt+S)-N(s=0} t什s -PNr0-e 与s无关 故X,与X相互独立，且X也服从均值为1/λ的指数 分布
由泊松过程的 独立增量性,有 P{X2>t|X1=s}= s X2 t+s =P{N(t+s) －N(s)=0 |X1=s} = P{N(t+s) －N(s)=0 } = P{N(t)=0}= e－λt 与s 无关 故X2与X1相互独立，且X2也服从均值为1/λ的指数 分布. 4 P{在(s,t+s]内事件A不发生|X1=s } X1 (2) 平稳
(3)对于一般n>1和t>0,以及r1,2,，n-10, 有 P{Xm>tX,=t,1≤in-1} =P{N(t+r1+.+rn-1)一N(1+r2+.+rn-1=0} =P{W(t)-W0)=0}=e-u 即 Fn(t)=P{Xn≤t}=1-e,t≥0
(3) 对于一般 n＞1 和t＞0,以及 r1，r2，.，rn-1>0, 有 P{Xn>t |Xi=ri ,1≤i≤n－1} =P{N(t+r1+ . +rn－1 ) －N(r1+r2+.+rn－1 )=0} = P{N(t) －N(0)=0}= e－λt . ( ) 1 , 0. t F t P X t e t n n − = = − 即 5
注上述定理的结果应该在预料之中， 因为泊松过程有平稳独立增量， 过程在任何时刻都“重新开始”， 这恰好就是“无记忆性”的体现， 正好与指数分布的“无记忆性”是对应的. 6
注 上述定理的结果应该在预料之中, 6 因为泊松过程有平稳独立增量, 过程在任何时刻都“重新开始”, 这恰好就是“无记忆性”的体现, 正好与指数分布的“无记忆性”是对应的
例1 ●●●● ●● 甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽车的到达分别 为10分钟1辆（甲），15分钟1辆（乙）的Poiss0n过程.假定车总不 会满员，试问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所 需等待时间的概率分布及其期望. 解 甲、乙两路公共汽车到达分别为参数2=1/10和%2=1/15 的泊松过程N(t),N(t) 两路车混合到达过程为N(t)=N,(t)+N(t), 所以NO=N①+N,O为参数元=+L的泊松过程 10156 公共汽车的到达时间间隔服从均值为6分钟的指数分布. 再由指数分布的无记忆性，这位乘客的等待时间也服从均 值为6分钟的指数分布
甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽车的到达分别 为10分钟1辆(甲)，15分钟1辆(乙)的Poisson过程. 假定车总不 会满员，试问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所 需等待时间的概率分布及其期望. 例1 解 两路车混合到达过程为 1 2 N t N t N t ( ) ( ) ( ), = + 甲、乙两路公共汽车到达分别为参数 和 的泊松过程 N t 1 ( ) ， 2 N t( ) 1/10 1 = 2 =1/15 公共汽车的到达时间间隔服从均值为6分钟的指数分布. 7 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) = = 10 15 6 所以N t N t N t = + + 为参数 的泊松过程. 再由指数分布的无记忆性，这位乘客的等待时间也服从均 值为6分钟的指数分布
二.事件发生时刻Tn的分布 定理对于参数为的泊松过程N,仑0}，事件A第n次出 现的等待时间Tn服从「(n,2)分布，其概率密度为： .)= te-i (At) t≥0； (n-1): 0, t<0 注1： T(x,)的密度函数为 I(a)=[xaedx,I(a+1)=ar(a),I(n+1)=n! 注2：在排队论中称T服从爱尔朗分布
( ) 1 ( ) , 0; ( 1)! 0, 0 T n n t t e t f t n t − − = − 对于参数为λ的泊松过程{N(t),t≥0},事件A第n 次出 现的等待时间Tn服从 ( , ) n 分布,其概率密度为： 二.事件发生时刻Tn的分布 定理 8 注1： ( , ) 的密度函数为 ( ) ( ) 1 , 0, x f x x e x − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 , 1 , 1 ! x x e dx n n + − − = + = + = 注2：在排队论中称Tn服从爱尔朗分布
注3：若X~r(a,A),有Ex-%DX=是 注4：若X~T(必，)，Y~T(42,),且X与Y独立， 则X+Y~T(%+2,)
( ) 2 X EX DX ~ , , , 若 = = 有 若X Y X Y ~ , , ~ , , , ( 1 2 ) ( ) 且 与 独立 则X Y+ + ~ , . ( 1 2 ) 9 注 3 ： 注 4 ：
证1：因Tn是事件A第n次出现的等待时间，故 [Tn≤}={（0，（内A至少出现n次）={Nt)≥n 5.0=PT≤g-2e",≥0 k- k! 天1=元-· e i k=r =ea(- t≥0. (n-1) 0
( ) ( ) , 0 ! n k t T n k n t F t P T t e t k − = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 1 ! ! n n k k t t T T k n k n t t f t F t e e k k − − − = = = = − − ( ) 1 , 0. ( 1)! n t t e t n − − = − ｛Tn≤t}={（0, t]内A至少出现n次} ={N(t)≥n} 证1: 因Tn是事件A 第 n次出现的等待时间,故 10