7.6 Brown:运动的几种变化 一.布朗桥 二.有吸收值的布朗运动 三.在原点反射的布朗运动 四.几何布朗运动 五.积分布朗运动 六.布朗运动的形式导数 七.带有漂移的布朗运动
7.6 Brown运动的几种变化 一.布朗桥 二.有吸收值的布朗运动 三.在原点反射的布朗运动 四.几何布朗运动 五.积分布朗运动 六.布朗运动的形式导数 七.带有漂移的布朗运动 1
一.布朗桥 1、定义：设{B(),≥0}为标准布朗运动，B(0)=0, 令X()=B()-B(1),0st≤1，则称{X(),0≤t≤1}为布 朗桥过程 2
2 一.布朗桥 1、定义：设{B(t), t≥0}为标准布朗运动，B(0)=0， 令X(t)= B(t)-tB(1)， 0≤ t ≤1，则称 {X(t),0≤ t ≤1}为布 朗桥过程
2、命题：布朗桥过程{X(),0≤t≤1}是EX()=0及s 时Cov(X(s),X()=s(1-t)的Gaussi过程. EX(t)=E[B(t)-tB(1)]=0 cov(X(s).x()) =cov(B(s)-sB(1),B()-tB(1)) =cov(B(s).B()-tcov(B(s).B(1))-scov(B(1).B()+st cov(B(1).B(1)) =s-ts-st+st =s(1-)
2、命题：布朗桥过程{X(t),0≤ t ≤1}是E(X(t))=0及s ≤t 时Cov(X(s),X(t))=s(1-t) 的Gauss过程. E(X(t))=E[B(t)-tB(1)]=0 3
二.有吸收值的布朗运动 设T为布朗运动B()首次击中x的时刻，x>0.令 ìB(t),t<T ()x. 则{Z(),≥0}是击中x后被吸收停留在x状态的布朗运动
设Tx为布朗运动B(t)首次击中x的时刻，x >0.令 则{Z(t),t≥0}是击中x后被吸收停留在x状态的布朗运动. 8 二.有吸收值的布朗运动
Z()是混合型随机变量， r收0t6e 2 dy 当yEx时，有 2)E以=E八，maxB(s)Ex} =B()￡y(0E,maxB()>x}
当 y x时，有 9 Z(t)是混合型随机变量
1P2)E=PBOE以P0)EmxB(S)P 而P).mx (s)>x} =P)E()yas8(o)}xB(6)x}红，<g )2x-y)=()= 2x-)2x- 因为<x 10
而 因为y < x 10
PZ()Ey=PB()Ey-PB()3 2x-y =PB(t)E y-PB(t)Ey-2x :PZ)E}=1, y>x 1p0)gpi 2 ,y=x +￥ u2
11
三.在原点反射的布朗运动 令Y()=B()，则称{Y),20}为在原点反射的布 朗运动. 当>0时，P()Ey}P{B()￡y} =PyEB()EyPB()-PB()f-y =2P{B()Ey}1 D80>月 i p()E=0 yE0 2 12
令 ，则称{Y(t),t≥0}为在原点反射的布 朗运动. 12 三.在原点反射的布朗运动 当y>0时
四.几何布朗运动 令W(t)=e0)，则{w,仑0称为几何布朗运动. 定理：若X~N(m,S2) 则 Eex e" frW-Ee)-e字 De'=e2ms'(e2-1 定理： E(W(t))-Ee")-e2, D(W(t))=e2-e
令 ，则{W(t),t≥0}称为几何布朗运动. 定理：若 则 定理： 13 四.几何布朗运动
注：在金融市场中，经常假定股票的价格按 照几何布朗运动变化： 例：股票期权的价值 设某人拥有某种股票的交割时刻为T,交割价格 为K的欧式看涨期权.假设这种股票目前的价格 为y,并按照几何布朗运动变化，请计算拥有这个 期权的平均价值. 14
设某人拥有某种股票的交割时刻为T,交割价格 为K的欧式看涨期权.假设这种股票目前的价格 为y,并按照几何布朗运动变化，请计算拥有这个 期权的平均价值. 14 注：在金融市场中,经常假定股票的价格按 照几何布朗运动变化. 例：股票期权的价值