11线路曲线测设 本章提要 本章介绍了铁路及公路线路曲线测设的基本概念和方法,重点讨论了用偏角法 切线支距法测设圆曲线、缓和曲线、圆曲线加缓和曲线及其遇障碍时的测设理论和方 法,并详细讨论了日愈广泛应用的极坐标法。最后介绍了长大曲线和回头曲线的测设 卡章的理论和方法是铁路及公路测量所必须的基本知识 11.1线路平面组成和平面位置的标志 铁路与公路线路的平面通常由直线和曲线构成,这是因为在线路的定线中,由于受地形 地物或其他因素限制,需要改变方向。在改变方向处,相邻两直线间要求用曲线连结起来,以 保证行车顺畅安全。这种曲线称平面曲线。 铁路与公路线上采用的平面曲线主要有圆曲线和缓和曲线。如图11-1所示,圆曲线是 有一定曲率半径的圆弧;缓和曲线是连接直线与圆曲线的过渡曲线,其曲率半径由无穷大(直 线的半径)逐渐变化为圆曲线半径。根据铁道部公布的《铁路工程技术规范》规定,在铁路干 线线路中都要加设缓和曲线;但在地方专用线、厂内线路及站场内线路中,由于列车速度不高, 有时可不设缓和曲线,只设圆曲线 图11-1线路平面的组成 在地面上标定线路的平面位置时,常用方木桩 打入地下,并在桩面上钉一小钉,以表示线路中心的 位置,在线路前进方向左侧约0.3m处打一标志桩, 写明主桩的名称及里程。所谓里程是指该点离线路 起点的距离,通常以线路起点为K0+000。图11-2 中的主桩为直线上的一个转点(ZD),它的编号为 31;里程为K3+402.31,K3表示3km;402.31 图11-2平面位置标志 表示公里以下的米数,即注明此桩离开线路起点的距离为3402.31m 11.2圆曲线及其主点的测设 11.2.1圆曲线概述 1.圆曲线半径 我国《新建铁路测量工程规范》和《铁路技术管理规程》中规定,在正线上采用的圆曲线 半径为4000、3002500、2000、1800、1500、1200、1000、800、700、600、550、500、 450、400和350米。各级铁路曲线的最大半径为4000米。Ⅰ、Ⅱ级铁路的最小半径在一般 地区分别为1000米和800米,在特殊地段为400米:Ⅲ级铁路的最小半径在一般地区为600 米,在特殊困难地区为350米。 我国《公路工程技术标准》中规定,高速公路的最小半径在平原微丘区为650米,在山岭 重丘区为250米;一级公路在上述两种地区分别为400米和125米,二级公路分别为250米 和60米:三级公路分别为125米和30米:四级公路分别为60米和15米 2.圆曲线主点 圆曲线的主点,如图11-3所示 ZY—一直圆点,即直线与圆曲线的分界点: q2一曲中点,即圆曲线的中点 2一圆直点,即圆曲线与直线的分界点。 图11-3圆曲线及其主点和要素
1 11 线路曲线测设 本 章 提 要 本章介绍了铁路及公路线路曲线测设的基本概念和方法，重点讨论了用偏角法、 切线支距法测设圆曲线、缓和曲线、圆曲线加缓和曲线及其遇障碍时的测设理论和方 法，并详细讨论了日愈广泛应用的极坐标法。最后介绍了长大曲线和回头曲线的测设。 本章的理论和方法是铁路及公路测量所必须的基本知识。 11.1 线路平面组成和平面位置的标志 铁路与公路线路的平面通常由直线和曲线构成，这是因为在线路的定线中，由于受地形、 地物或其他因素限制,需要改变方向。在改变方向处，相邻两直线间要求用曲线连结起来,以 保证行车顺畅安全。这种曲线称平面曲线。 铁路与公路线上采用的平面曲线主要有圆曲线和缓和曲线。如图 11-1 所示,圆曲线是具 有一定曲率半径的圆弧；缓和曲线是连接直线与圆曲线的过渡曲线,其曲率半径由无穷大(直 线的半径)逐渐变化为圆曲线半径。根据铁道部公布的《铁路工程技术规范》规定,在铁路干 线线路中都要加设缓和曲线；但在地方专用线、厂内线路及站场内线路中,由于列车速度不高, 有时可不设缓和曲线,只设圆曲线。 图 11-1 线路平面的组成 在地面上标定线路的平面位置时,常用方木桩 打入地下,并在桩面上钉一小钉,以表示线路中心的 位置,在线路前进方向左侧约 0.3 m 处打一标志桩, 写明主桩的名称及里程。所谓里程是指该点离线路 起点的距离,通常以线路起点为 K 0+000.0。图 11-2 中的主桩为直线上的一个转点(ZD)，它的编号为 31；里程为 K 3+402.31，K 3 表示 3 km；402.31 图 11-2 平面位置标志 表示公里以下的米数,即注明此桩离开线路起点的距离为 3 402.31 m。 11.2 圆曲线及其主点的测设 11.2.1 圆曲线概述 1．圆曲线半径 我国《新建铁路测量工程规范》和《铁路技术管理规程》中规定,在正线上采用的圆曲线 半径为 4000、3000、2500、2000、1800、1500、1200、1000、800、700、600、550、500、 450、400 和 350 米。各级铁路曲线的最大半径为 4000 米。Ⅰ、Ⅱ级铁路的最小半径在一般 地区分别为 1000 米和 800 米，在特殊地段为 400 米；Ⅲ级铁路的最小半径在一般地区为 600 米，在特殊困难地区为 350 米。 我国《公路工程技术标准》中规定,高速公路的最小半径在平原微丘区为 650 米,在山岭 重丘区为 250 米；一级公路在上述两种地区分别为 400 米和 125 米，二级公路分别为 250 米 和 60 米；三级公路分别为 125 米和 30 米；四级公路分别为 60 米和 15 米。 2． 圆曲线主点 圆曲线的主点,如图 11-3 所示： ZY——直圆点, 即直线与圆曲线的分界点； QZ——曲中点,即圆曲线的中点； YZ——圆直点,即圆曲线与直线的分界点。 图 11-3 圆曲线及其主点和要素
以上三点总称为圆曲线的主点。 D一两直线的交点,也是一个重要的点,但不在线路上 3.圆曲线要素 7一切线长,即交点至直圆点或圆直点的直线长度; L—一曲线长,即圆曲线的长度(ZQ—圆弧的长度) E0—一外矢距,即交点至曲中点的距离(D至QZ之距离): a—一转向角,即直线转向角; R—圆曲线半径 7、L、E0、a、R总称为圆曲线要素 其间几何关系为 切线长T=R·tan 曲线长L=Ra.z (11-1) 外矢距E0 R=R( 式中,α和R分别根据实际测定和线路设计时选定,按式(11-1)即可计算圆曲线的要素 7L、E0。实际工作中,也可以a、R为引数,由专门编制的《铁路曲线测设用表》(以下简 称曲线表)查得相应的圆曲线要素 例:已知a=55°43′24″,R500m,求圆曲线各要素T,L,Eo 解:由公式(11-1)即可得:P=264.31m:L=486.28m:E0=65.56m 以上结果也通过曲线表查得。 11.2.2圆曲线主点里程计算 圆曲线的主点必须标记里程,里程增加的方向为Z→Q2→Yz如上例,若已知ZF点的 里程为R37+553.24,则Q及Z的里程可计算如下 ZY37+553.24 243.14 Qz37+79638 243.14 YZ38+03952 11.2.3圆曲线主点的测设 在交点(⑩安置经纬仪,如图11-3,以望远镜瞄准Ⅰ直线方向上的一个转点,沿该方向量 切线长T得ZF点,再以望远镜瞄准Ⅱ直线上的一个转点,沿该方向量切线长T得E点,平转望 远镜至内分角线方向,量Eo,用盘左、盘右分中法得Z点。这三个主点规定用方桩加钉小 钉标志点位。 11.3圆曲线的详细测设 11.3.1.偏角法测设圆曲线 圆曲线的主点ZF、QZ、z定出后,还不能在地面上标定出圆曲线的形状,作为勘测设计及 施工的依据,因而还必须对圆曲线进行详细测设,定出曲线上的加密点,这些点称曲线点。《新 建铁路测量规范》规定,曲线点的间距宜为20m,在地形复杂处一般取为10m,在点上要钉设 木桩,以标定曲线的形状,在地形变化处还要加钉木桩(称为加桩)。设置曲线点的工作称曲线 测设。测设圆曲线常用的方法有偏角法和切线支距法 1.测设原理:偏角即弦切角。如图11-4,偏角法测设圆曲线是根据偏角及弦长测设曲线
2 以上三点总称为圆曲线的主点。 JD——两直线的交点,也是一个重要的点,但不在线路上。 3．圆曲线要素 T——切线长,即交点至直圆点或圆直点的直线长度； L——曲线长,即圆曲线的长度(ZY——QZ——YZ 圆弧的长度）； E0——外矢距,即交点至曲中点的距离(JD 至 QZ 之距离)； α——转向角,即直线转向角； R——圆曲线半径。 T、L、E0、α、R 总称为圆曲线要素. 其间几何关系为： 切线长 2 tan T = R 曲线长 0 180 L = R (11-1) 外矢距 1) 2 (sec 2 sec 0 = − = − E R R R 式中, α和 R 分别根据实际测定和线路设计时选定，按式(11-1)即可计算圆曲线的要素 T、L、E0。实际工作中,也可以α、R 为引数，由专门编制的《铁路曲线测设用表》（以下简 称曲线表）查得相应的圆曲线要素。 例：已知α=55°43′24″，R=500 m，求圆曲线各要素 T，L，E0。 解：由公式（11-1）即可得： T=264.31 m；L=486.28 m；E0=65.56 m。 以上结果也通过曲线表查得。 11.2.2 圆曲线主点里程计算 圆曲线的主点必须标记里程,里程增加的方向为 ZY →QZ →YZ。如上例,若已知 ZY 点的 里程为 K37+553.24,则 QZ 及 YZ 的里程可计算如下: 38 + 039 52 243 14 2 + 37 + 796 38 243 14 2 + 37 + 553 24 YZ . . L QZ . . L ZY . 11.2.3 圆曲线主点的测设 在交点(JD)安置经纬仪,如图 11-3,以望远镜瞄准Ⅰ直线方向上的一个转点,沿该方向量 切线长 T 得 ZY 点,再以望远镜瞄准Ⅱ直线上的一个转点,沿该方向量切线长 T 得 YZ 点,平转望 远镜至内分角线方向，量 E0，用盘左、盘右分中法得 QZ 点。这三个主点规定用方桩加钉小 钉标志点位。 11.3 圆曲线的详细测设 11.3.1．偏角法测设圆曲线 圆曲线的主点 ZY、QZ、YZ 定出后,还不能在地面上标定出圆曲线的形状,作为勘测设计及 施工的依据,因而还必须对圆曲线进行详细测设，定出曲线上的加密点,这些点称曲线点。《新 建铁路测量规范》规定,曲线点的间距宜为 2Om，在地形复杂处一般取为 10m,在点上要钉设 木桩,以标定曲线的形状,在地形变化处还要加钉木桩(称为加桩)。设置曲线点的工作称曲线 测设。测设圆曲线常用的方法有偏角法和切线支距法。 1.测设原理：偏角即弦切角。如图 11-4，偏角法测设圆曲线是根据偏角及弦长测设曲线
点,从Z点出发,根据偏角δ1及弦长C(ZF1)测设曲线点1;根据偏角δ2及弦长C(1一 2)测设曲线点2…等。偏角法实质上是一种角度、距离交会法。 2.偏角及弦长的计算: (1)偏角计算: 按几何关系,偏角等于弦所对应的圆心角 半。如图11-4,ZF1曲线长为,所对圆心角 p=.180 则相应的偏角 图11-4圆曲线偏角计算 δ=9K180 2R 当所测曲线各点间的距离相等时,以后各点的偏角则为第一个偏角δ1的累计倍数。即: 6 qk180 22R丌 62=281 (11-2) 63=36 6=n 分弦的偏角:在实际工作中,曲线点要求设置在整数(20m的倍数)里程上,即里程尾数 为00,20,40,60,80m等点上。但曲线的起点Zy,中间点及终点zZ常不是整数里程,因此 曲线两端及中间出现小于20m的弦,即分弦。例如前面例题中:Zy的里程为37+553.24;4z 的里程为37+796.38;z的里程为38+039.52,因而曲线两端及中间出现四段分弦。其所对应 的曲线长分别为五1,,K,K如图11-5. 图11-5圆 K=560.00-55.24=6.76m,相应的偏角值d=夕。K1180 22R丌 =796.38-780.0016.38m,相应的偏角值δ、=9K2180 2 k=800138362m,.相应的偏角值6=9=.180 22R丌 K=039.52020.001.52m,相应的偏角值O4=9=K4180° 偏角值的计算可按公式(11-2)用计算器计算,也可以由曲线表第三册中查取 (2)弦长计算 在圆曲线测设中,一般规定:R≥150m时,曲线每隔20m测设一个细部点:50m≤R<150m 时,曲线上每隔10m测设一个细部点:R<50m时,曲线上每隔5m测设一个细部点。由于铁
3 点，从 ZY 点出发,根据偏角δ1 及弦长 C（ZY-1）测设曲线点 1; 根据偏角δ2 及弦长 C（1 一 2）测设曲线点 2……等。偏角法实质上是一种角度、距离交会法。 2．偏角及弦长的计算： （1）偏角计算： 按几何关系,偏角等于弦所对应的圆心角 之半。如图 11-4,ZY-1 曲线长为 K,所对圆心角 180 = · R K 则相应的偏角 图 11-4 圆曲线偏角计算 180 · 2 2 = R K = 当所测曲线各点间的距离相等时,以后各点的偏角则为第一个偏角δ1 的累计倍数。即： 1 3 1 2 1 1 3 2 180 · 2 2 = n R K n = = = = （11-2） 分弦的偏角：在实际工作中,曲线点要求设置在整数（20m 的倍数）里程上,即里程尾数 为 00,20,40,60，80m 等点上。但曲线的起点 ZY,中间点 QZ 及终点 YZ 常不是整数里程,因此 曲线两端及中间出现小于 2Om 的弦，即分弦。例如前面例题中: ZY 的里程为 37+553.24;QZ 的里程为 37+796.38;YZ 的里程为 38+039.52,因而曲线两端及中间出现四段分弦。其所对应 的曲线长分别为 K1，K2，K3，K4 如图 11-5. 图 11-5 圆曲线的分弦 K1=560.00-553.24=6.76m,相应的偏角值 180 · 2 2 = 1 1 R K = K2=796.38-780.00=16.38m，相应的偏角值 180 · 2 2 = 2 2 R K = K3=800.00-796.38=3.62m，相应的偏角值 180 · 2 2 = 3 3 R K = K4=039.52-020.00=19.52m，相应的偏角值 180 · 2 2 = 4 4 R K = 偏角值的计算可按公式（11 一 2）用计算器计算,也可以由曲线表第三册中查取。 （2）弦长计算 在圆曲线测设中，一般规定：R≥150m 时，曲线每隔 20m 测设一个细部点；50m≤R<150m 时，曲线上每隔 10m 测设一个细部点；R<50m 时，曲线上每隔 5m 测设一个细部点。由于铁
路曲线半径一般很大,20m的弦长与其相对应的曲线长之差很小,在测量误差允许范围以内, 故在测设工作中若曲线长在20m及20m以下时,就用弦长代替相应的曲线长进行圆曲线测 设。若需要根据偏角计算其对应的弦长时,可用公式C=2Rsinδ进行计算,弦弧差为: △l=C-K= K 如R=450m时,弦弧差为2mm,一般当R>400m时,不考虑弦弧 差的影响 算例:按前面算例,要求在圆曲线上每20m测设一曲线 点。 测站设在ZF点,如图11-6,以切线ZF-D为零方向, 曲线ZY-Z为顺时针方向旋转,由于偏角值与水平度盘读数 增加方向一致,各曲线点的偏角称为“正拨”。己知Z的里 程为R37+553.24,Q37+796.38,R500m, 第一点的偏角所对应的曲线长为6.76m, 按公式(11-2)计算, 图11-6偏角法测设圆曲线(正拨) 第1点的偏角值23′15″ 曲线长20m的偏角值1°08′45″,累加得曲线点2的偏 角值为23′15″+1°08′45″=1°32′00″;同法可计算出 3、4……各点的偏角值,算至Q偏角为13°55′51″,其值 应为一,对应的曲线长为243.14m(本例已知a=55°43′ 4″)。计算时应按里程列表计算各点的偏角值(如表11-1) 图11-7偏角法测设圆曲线(反拨) 测站设在HZ点,如图11-7。测设另一半曲线时,以切线m为零方向,曲线-42为 逆时针方向旋转,由于偏角值与水平度盘读数增加方向相反,各曲线点的偏角称为“反拨” 按以上述类似方法计算,同样按里程列出各点的偏角值(如表11-2) 表11-1偏角计算表(正拨) 不zy37+553 24 切线方向 +560,00 23′15 +580,00 I”3200 +760.00 780。00 2000 125933 Qz37+79638 16.38 353(4) 核 表11-2偏角计算表(反拨) 角 注 记 不yZ39+039,52 切线方向 358°52′54 20。00 346“16′3 QZ37+796.38 346°04 (-80°4) (核被!) 3.测设方法
4 路曲线半径一般很大, 2Om 的弦长与其相对应的曲线长之差很小,在测量误差允许范围以内, 故在测设工作中若曲线长在 2Om 及 2Om 以下时,就用弦长代替相应的曲线长进行圆曲线测 设。若需要根据偏角计算其对应的弦长时，可用公式 C = 2Rsin 进行计算，弦弧差为: 2 3 24R K l = C − K = − 。如 R=450m 时，弦弧差为 2mm，一般当 R>400m 时，不考虑弦弧 差的影响。 算例:按前面算例,要求在圆曲线上每 2Om 测设一曲线 点。 测站设在 ZY 点,如图 11-6, 以切线 ZY -JD 为零方向, 曲线 ZY—QZ 为顺时针方向旋转，由于偏角值与水平度盘读数 增加方向一致，各曲线点的偏角称为“正拨”。己知 ZY 的里 程为 K37+553.24, QZ K37+796.38,R=500m, 第一点的偏角所对应的曲线长为 6.76m, 按公式(11-2)计算, 图 11-6 偏角法测设圆曲线 （正拨） 第 1 点的偏角值 23′15″ 曲线长 20m 的偏角值 1°08′45″,累加得曲线点 2 的偏 角值为 23′15″+1°08′45″=1°32′OO″；同法可计算出 3、4……各点的偏角值，算至 QZ 偏角为 13°55′51″，其值 应为 4 a ，对应的曲线长为 243.14m（本例已知α=55°43′ 24″）。计算时应按里程列表计算各点的偏角值（如表 11-1）。 图 11-7 偏角法测设圆曲线（反拨） 测站设在 YZ 点,如图 11-7。测设另一半曲线时,以切线 YZ-JD 为零方向, 曲线 YZ—QZ 为 逆时针方向旋转，由于偏角值与水平度盘读数增加方向相反，各曲线点的偏角称为“反拨” 按以上述类似方法计算,同样按里程列出各点的偏角值(如表 11-2)。 表 11-1 偏角计算表 （正拨） 表 11-2 偏角计算表 （反拨） 3. 测设方法
以测站设在Z点为例(如图11-6) (1)将经纬仪安置于ZF点上,度盘拨0°,后视点或后视Z点切线方向上的一个转点 (ZD),此时,视线位于切线(ZF→D)方向上(度盘仍保持读数为0°)。 (2)打开照准部,按表11-1,“正拨”拨角δ1(=23′15″);在视线上用钢尺量出弦长 6.76m,插以测钎,定曲线点1 3)打开照准部,拨角δ2(=1°32′00″):同时用钢尺自曲线点1起量,以20m分划处 对准望远镜视线,插测钎,定曲线点2,拔去1点的测钎,在地面点1插孔处打入木板桩 (4)同法,继续前进定出曲线点3、4……。最后,测设到曲中(4Z)点 类似地,将测站设在点,(如图11-7),可测设另一半曲线 注意:弦长丈量是从点到点,在4Z点的总偏角为一,应检核所测设的QZ点点位是否闭合, 如超限,须及时检查原因,重新测设。 11.3.2切线支距法测设圆曲 1.测设原理:切线支距法即直角坐标法。以曲线起点Z或曲线终点z为坐标原点,切 线为直角坐标系的x轴,切线的垂线为直角坐标系的y轴(如图11-8),按曲线点的直角坐标 (x,y)测设曲线点。x、y由下式计算 x=R·sna1 y=R-R R(-cosa) (11-3) R 式中,R为圆曲线半径,Li为曲线点i至ZY(或YZ)的曲线长,一般定为10n 30m 即每10m一桩。根据R及Li值,即可计算相应的x,y。 也可以从曲线表第三册第九表中查取每10m长的(Lix)及y值,如表11-3 图11-8切线支距原理 图11-9切线支距法测设圆曲线 表11-3圆曲线切线支距表 R=70 R=600 R=500 L L L 10 0.000.070.000.080.000.10 000.290.000.330.010.40 0.01 0.640.01 0.021.140.031 1.790.062 2.50 2.测设方法:如图11-9所示,设在圆曲线上每10m测设一点,测设时,先沿切线上每10m 量一点,然后于10m处回量Lx1即10x,得一点,在此点上向切线垂直方向量y,即定出圆曲 线上第1点,于切线20m处回量Lx2即20-x2,得另一点,在此点上,向切线垂直方向量y,即定 出圆曲线上第2点。同法,可定出圆曲线上其余各点 由于y值较小,y轴方向可用一般定直角的方法测设;只有在y值大时,根据需要,才用 经纬仪拨直角测设y轴方向 切线支距法适用于地势较平坦的地区。 5
5 以测站设在 ZY 点为例（如图 11-6）。 （1）将经纬仪安置于 ZY 点上,度盘拨 0°,后视 JD 点或后视 ZY 点切线方向上的一个转点 （ZD）,此时,视线位于切线（ZY→JD）方向上（度盘仍保持读数为 0°）。 （2）打开照准部,按表 11-1,“正拨”拨角 1（=23′15″）;在视线上用钢尺量出弦长 6.76m,插以测钎,定曲线点 1。 （3）打开照准部,拨角 2（=1°32′00″）；同时用钢尺自曲线点 1 起量,以 20m 分划处 对准望远镜视线,插测钎，定曲线点 2,拔去 1 点的测钎,在地面点 1 插孔处打入木板桩。 （4）同法,继续前进定出曲线点 3、4……。最后,测设到曲中（QZ）点。 类似地,将测站设在 YZ 点, (如图 11-7),可测设另一半曲线。 注意：弦长丈量是从点到点,在 QZ 点的总偏角为 4 a ,应检核所测设的 QZ 点点位是否闭合, 如超限,须及时检查原因,重新测设。 11.3．2 切线支距法测设圆曲线 1．测设原理：切线支距法即直角坐标法。以曲线起点 ZY 或曲线终点 YZ 为坐标原点,切 线为直角坐标系的 x 轴,切线的垂线为直角坐标系的 y 轴（如图 11-8）,按曲线点的直角坐标 （x,y）测设曲线点。x、y 由下式计算： 0 180 (1 cos ) cos sin = = − = − = R L R y R R x R i i i i i i i （11-3） 式中，R 为圆曲线半径， Li 为曲线点 i 至 ZY（或 YZ）的曲线长，一般定为 10m、20m、 3Om……，即每 10m 一桩。根据 R 及 Li 值，即可计算相应的 xi，yi 。 也可以从曲线表第三册第九表中查取每 10m 长的（Li-xi ）及 yi 值，如表 11-3。 图 11-8 切线支距原理 图 11-9 切线支距法测设圆曲线 表 11-3 圆曲线切线支距表 L R=700 R=600 R=500 L-x y L-x y L-x y 10 20 30 40 50 0.00 0.00 0.01 0.02 0.04 0.07 0.29 0.64 1.14 1.79 0.00 0.00 0.01 0.03 0.06 0.08 0.33 0.75 1.33 2.08 0.00 0.01 0.02 0.04 0.08 0.10 0.40 0.90 1.60 2.50 2．测设方法:如图 11-9 所示,设在圆曲线上每 10m 测设一点,测设时，先沿切线上每 1Om 量一点,然后于 10m 处回量 L-x1 即 10-x1,得一点,在此点上向切线垂直方向量 y1,即定出圆曲 线上第 1 点,于切线 2Om 处回量 L-x2 即 20-x2,得另一点,在此点上,向切线垂直方向量 y2,即定 出圆曲线上第 2 点。同法,可定出圆曲线上其余各点。 由于 y 值较小，y 轴方向可用一般定直角的方法测设；只有在 y 值大时,根据需要,才用 经纬仪拨直角测设 y 轴方向。 切线支距法适用于地势较平坦的地区
11.4圆曲线加缓和曲线及其主点测设 11.4.1缓和曲线的概念 列车在曲线上运行时,会产生离心力,离心力的大小取决于列车重量、运行速度和圆曲线 的半径。由于离心力的影响、使曲线外轨的负荷压力骤然增大,内轨负荷压力相应减小,当离 心力超过某一限度时,列车就有脱轨和倾复的危险。为了抵消离心力的不良影响,铁路在曲线 部分采用外轨超高的办法,即把外轨抬高一定数值.使车辆向曲线内倾斜,以平衡离心力的作 用,从而保证列车安全运行。图11-10a)、(b)为采用外轨超高前、后的情况。此外,由于车 辆的构造要求,需进行内轨加宽,如图11-11。无论是外轨超高还是内轨加宽都不可能突然进 行,而是逐渐完成,因此在直线与圆曲线之间加设一段平面曲线,其曲率半径p从直线的曲率 半径∞(无穷大)逐渐变化到圆曲线的半径R,这样的曲线称为缓和曲线或过渡曲线。在此曲线 上任一点p的曲率半径p与曲线的长度l成反比,如图11-12所示,以公式表示为 p·l=C (11-4) (b) 图11-10外轨超高 图11-1内轨加宽 图11-12缓和曲线的设置 式中C为常数,称曲线半径变更率 当l=l0时,p=R,按(11-4)式,应有 C=pl=R·l (11-5) 式(11-4)或(11-5)是缓和曲线必要的前提条件。在实用中,可采取符合这一前提条件的 曲线作为缓和曲线。常用的有辐射螺旋线及三次抛物线。我国采用辐射螺旋线。 11.4.2缓和曲线方程式 按上列前提条件导出缓和曲线上任一点的坐标x、y为 x=l 40C23456C 6c336C34 +4210c 实际应用时,舍去高次项,代入C=R·l,采用下列公式: 6
6 11.4 圆曲线加缓和曲线及其主点测设 11.4.1 缓和曲线的概念 列车在曲线上运行时,会产生离心力,离心力的大小取决于列车重量、运行速度和圆曲线 的半径。由于离心力的影响、使曲线外轨的负荷压力骤然增大,内轨负荷压力相应减小,当离 心力超过某一限度时,列车就有脱轨和倾复的危险。为了抵消离心力的不良影响,铁路在曲线 部分采用外轨超高的办法,即把外轨抬高一定数值.使车辆向曲线内倾斜,以平衡离心力的作 用,从而保证列车安全运行。图 11-10(a)、（b）为采用外轨超高前、后的情况。此外,由于车 辆的构造要求,需进行内轨加宽，如图 11-11。无论是外轨超高还是内轨加宽都不可能突然进 行,而是逐渐完成,因此在直线与圆曲线之间加设一段平面曲线,其曲率半径ρ从直线的曲率 半径∞(无穷大)逐渐变化到圆曲线的半径 R,这样的曲线称为缓和曲线或过渡曲线。在此曲线 上任一点 p 的曲率半径ρ与曲线的长度 l 成反比,如图 11-12 所示,以公式表示为： ∝ l 1 或 l = C （ 11-4） 图 11-10 外轨超高 图 11-11 内轨加宽 图 11-12 缓和直线的设置 图 11-11 内轨加宽 图 11-12 缓和曲线的设置 式中 C 为常数,称曲线半径变更率。 当 0 l = l 时， = R ，按（11-4）式，应有 0 C = l = Rl （11-5） 式(11-4)或（11-5）是缓和曲线必要的前提条件。在实用中,可采取符合这一前提条件的 曲线作为缓和曲线。常用的有辐射螺旋线及三次抛物线。我国采用辐射螺旋线。 11.4.2 缓和曲线方程式 按上列前提条件导出缓和曲线上任一点的坐标 x、y 为： 4 9 2 5 40 3456C l C l x = l − + …… 5 11 3 3 7 6 336 42240C l C l c l y = − − + …… 实际应用时,舍去高次项,代入 0 C = R l ,采用下列公式： （a） （b）
x=l- 40R22 6RI 式(11-6)表示以直缓(点或缓直(B点为原点, 相应的切线方向为横轴的直角坐标系中,缓和曲线上任 点的直角坐标。如图11-13所示: 图11-13缓和曲线上任一点的坐标 l为缓和曲线上任一点p到直缓(H点的曲线长 R为圆曲线半径 l为缓和曲线总长度 当Fb时,则x=x0,y=y,代入(11-6)式,得 xo=lo 40R (11-7) Vo x0、J0为缓圆()点或圆缓(功点的坐标。 1.4.3缓和曲线常数 图11-14(b)是没有加设缓和曲线的圆曲线。缓和曲线是在不改变直线段方向和保持圆 曲线半径不变的条件下,插入到直线段和圆曲线之间的。为了在圆曲线与直线之间加入一段 缓和曲线b,原来的圆曲线需要在垂直于其切线的方向移动一段距离p,因而圆心就由O移到 O,而原来的半径R保持不变,如图11-14(a) 图11-14缓和曲线的形成 由图中可看出,缓和曲线约有一半的长度是靠近原来的直线部分,而另一半是靠近原来的 圆曲线部分,原来圆曲线的两端其圆心角为Bo相对应的那部分圆弧,现在由缓和曲线所代替, 因而圆曲线只剩下m到H这段长度即Lo,现在由于在圆曲线两端加设了等长的缓和曲线b 后,曲线的主点为:直缓点(Z、缓圆点(m、曲中点(Q、圆缓点(H、缓直点(B。 βo、δ0、m、p、x0、y统称为缓和曲线常数: B0为缓和曲线的切线角,即在缓圆点或圆缓点H的切线与直缓点ZH(或缓直点B 的切线交角,亦即圆曲线BP→H两端各延长一部分所对应的圆心角 δ0为缓和曲线总偏角,即从直缓点(Z1测设缓圆点(m或从缓直点(测设圆缓点( 的偏角 m为切垂距,即Z(或B至自圆心O1向Z点或B点的切线作垂线垂足的距离 p为圆曲线移动量,即垂线长与圆曲线半径R之差。 7
7 = = − 0 3 2 0 2 5 6 40 Rl l y R l l x l 式(11-6)表示以直缓(ZH)点或缓直(HZ)点为原点, 相应的切线方向为横轴的直角坐标系中，缓和曲线上任 一点的直角坐标。如图 11-13 所示: 图 11-13 缓和曲线上任一点的坐标 l 为缓和曲线上任一点 p 到直缓（ZH）点的曲线长； R 为圆曲线半径； l0 为缓和曲线总长度。 当 l=l0 时，则 x=x0,y=y0,代入（11-6）式,得： = = − R l y R l x l 6 40 2 0 0 2 3 0 0 0 (11-7) x0、y0 为缓圆(HY)点或圆缓(YH)点的坐标。 11.4.3 缓和曲线常数 图 11-14（b）是没有加设缓和曲线的圆曲线。缓和曲线是在不改变直线段方向和保持圆 曲线半径不变的条件下，插入到直线段和圆曲线之间的。为了在圆曲线与直线之间加入一段 缓和曲线 l0，原来的圆曲线需要在垂直于其切线的方向移动一段距离 p,因而圆心就由 O 移到 O1,而原来的半径 R 保持不变,如图 11-14（a）。 图 11-14 缓和曲线的形成 由图中可看出,缓和曲线约有一半的长度是靠近原来的直线部分,而另一半是靠近原来的 圆曲线部分,原来圆曲线的两端其圆心角为β0 相对应的那部分圆弧,现在由缓和曲线所代替， 因而圆曲线只剩下 HY 到 YH 这段长度即 L0,现在由于在圆曲线两端加设了等长的缓和曲线 l0 后,曲线的主点为：直缓点（ZH）、缓圆点(HY)、曲中点(QZ)、圆缓点(YH)、缓直点(HZ)。 0、 0 、m、p、x0、y0 统称为缓和曲线常数： β0 为缓和曲线的切线角,即在缓圆点 HY（或圆缓点 YH）的切线与直缓点 ZH(或缓直点 HZ) 的切线交角,亦即圆曲线 HY→YH 两端各延长 2 0 l 部分所对应的圆心角。 0 为缓和曲线总偏角,即从直缓点(ZH)测设缓圆点（HY）或从缓直点(HZ)测设圆缓点(YH) 的偏角。 m 为切垂距,即 ZH(或 HZ)至自圆心 O1 向 ZH 点或 HZ 点的切线作垂线垂足的距离。 p 为圆曲线移动量,即垂线长与圆曲线半径 R 之差。 （a） （b） (11-6)
xo、1的计算由(11-7)式求出,其余B0、p、m、δ计算式为: l180 β=2R兀 24R (11-8) 2240R Bo Io 36R丌 根据R及l,缓和曲线常数可按上式直接计算,也可以在曲线表中的缓和曲线常数表中 查取(摘录如表11-4) 表11-4缓和曲线常数表 公式(117)、(11-8)导证:设B为缓和曲线上任一点的切线角;x、y为这一点 的坐标:p为这一点上曲线的曲率半径;1为从Z点到这点的缓和曲线长(如图11-15) 1.求B0 先求B,由图11-15知: PP(已知。R·L d/ -dl 1- dl B 1·dl= R·loR·l 2R·l 2R 时,B=B0 =5 80 图11-15缓和曲线常数 2R丌 2.求 即求(11-6)式之x、y dx=dl·cosB dy=dl·snB 将cosB、sinB按级数展开: B=1 B- B 2!4! B=B B'B
8 x0、y0 的计算由（11-7）式求出,其余 0 、p、m、 0 计算式为： = = = − = = 180 3 6 2 240 24 180 2 0 0 0 2 3 0 0 2 0 0 0 R l R l l m R l p R l （11-8） 根据 R 及 l0，缓和曲线常数可按上式直接计算，也可以在曲线表中的缓和曲线常数表中 查取（摘录如表 11-4）。 表 11-4 缓和曲线常数表 公式（11-7）、（11-8）导证：设 为缓和曲线上任一点的切线角；x、y 为这一点 的坐标； 为这一点上曲线的曲率半径；l 为从 ZH 点到这点的缓和曲线长（如图 11-15）。 1.求β0 先求β，由图 11-15 知： 0 R l dl l dl d = = （已知 l R l 0 = ） 0 2 0 0 0 0 0 2 1 R l l l dl R l R l l dl d l l l = = = = 或 0 0 2 180 2 = R l l 当 l=l0 时,β=β0 0 0 0 180 2 = R l 2.求 x0、y0 即求（11-6）式之 x、y： sin cos = = dy dl dx dl 将 cosβ、 sinβ按级数展开： = − + − = − + − 3! 5! sin 2! 4! cos 1 3 5 2 4 图 11-15 缓和曲线常数
已知β= ,连上两式一并代入d、式中,积分,略去高次项得x、y的普遍表 2R lo 40R212 图11-16m、p、50的计算 6R 即(11-6)式。ll时,得 xo=lo 40R 6R 即(11-7)式。 求 由图11-16中几何关系知: m=xo-R. Bo 将x及 sin Bo的表达式代入上式得 2240R (取至b三次方) 4.求p 由图11-16中几何关系知: R(1-cos Bo) 将及cosB0代入上式即得 (取至l二次方) 5.求S0 由图11-16中知: 因60很小,故 6o≈ tan d= yo 将x0、代入上式,取至l二次方 l。B 6R3
9 已知 0 2 2R l l = ，连上两式一并代入 dx、dy 式中,积分，略去高次项得 x、y 的普遍表 达式： = = − 0 3 2 0 2 5 6 40 Rl l y R l l x l 即（11-6）式。l=l0 时,得: = = − R l y R l x l 6 40 2 0 0 2 3 0 0 0 即（11-7）式。 3、求 m 由图 11-16 中几何关系知： 0 0 m = x − Rsin 将 x0 及 sinβ0的表达式代入上式得： 2 3 0 0 2 240R l l m = − （取至 l0 三次方） 4. 求 p 由图 11-16 中几何关系知： (1 cos ) = 0 − R − 0 p y 将 y0 及 cosβ0 代入上式即得： R l p 24 2 0 = （取至 l0 二次方） 5.求δ0 由图 11-16 中知： 0 0 0 tan x y = 因δ0 很小，故 0 0 0 0 tan x y = 将 x0、y0 代入上式，取至 l0 二次方： 6 3 0 0 0 = = R l 图 11-16 m、p、δ0 的计算
例:R=500m,b=60m,求缓和曲线常数。 根据(1107)、(11-8)式,计算得 B0=3°26′16″;60=1°08′45 m=29.996m p=0.300m x0=59.978m; 1=1.200m 以上结果也可直接从表11-4查得。 11.4.4圆曲线加缓和曲线的综合要素及主点测设 1.圆曲线加缓和曲线的综合要素(如图11-14) 7—切线长; L—一曲线长(包括圆曲线长L及两倍缓和曲线长2l0) E0——外矢距 切曲差 从图11-14的几何关系,可得综合要素7、L、E0等的计算公式 T=(R+ P).tan+ L0+2l0=R(a-2B E0=(R+p) R =2T-L 当圆曲线半径R、缓和曲线长b及转向角a已知时,曲线要素7、L、E0、q的数值可根据 (11-8)、(11-9)式计算也可由曲线表第一、二册中第一表(如表11-5)查得。 表11-5综合要素表 注:上表中的Δ栏中有两个数,为1′与2′之插算值,单位均为厘米 例:已知R500m,lo=60m,a=28°36′20″,Zm点里程为33+424.67,求综合要素及主点 的里程 (1)综合要素计算,根据式(1-8)、(11-9)式,计算得: P177.57+0.11-20.12=157.56m l=349.44+0.20-40.00=309.64m Eo=16.83+0.03-0.55=16.3lm 5.70+0.01-0.24=5.47m 以上结果,也可查表11-5(综合要素表)求得。 (2)主点里程计算 已知:Z点里程为33+424.67,则有
10 例： R=500m, l0=60m,求缓和曲线常数。 根据(11-7)、（11-8） 式，计算得 β0=3°26′16″；δ0=1°08′45″； m=29.996m； p=0.300 m； x0=59.978 m； y0=1.200 m。 以上结果也可直接从表 11-4 查得。 11.4.4 圆曲线加缓和曲线的综合要素及主点测设 1．圆曲线加缓和曲线的综合要素（如图 11-14） T——切线长； L——曲线长(包括圆曲线长 L0 及两倍缓和曲线长 2l0)； E0——外矢距； q——切曲差。 从图 11-14 的几何关系,可得综合要素 T、L、E0 等的计算公式: = − = + − = + = − + = + + q T L E R p R L L l R l T R p m 2 2 ( )sec 2 180 2 ( 2 ) 2 ( ) tan 0 0 0 0 0 （11-9） 当圆曲线半径 R、缓和曲线长 l0 及转向角α已知时,曲线要素 T、L、E0、q 的数值可根据 （11-8）、（11-9）式计算也可由曲线表第一、二册中第一表 (如表 11-5)查得。 表 11-5 综合要素表 R=500 注:上表中的 栏中有两个数,为 1′与 2′之插算值，单位均为厘米。 例：已知 R=500m,l0=6Om,α=28°36′20″，ZH 点里程为 33+424.67,求综合要素及主点 的里程。 （1）综合要素计算，根据式（1-8）、（11-9）式，计算得： T=177.57+0.11-20.12=157.56m L=349.44+0.20-40.00=309.64m E0=16.83+0.03-0.55=16.31m q=5.70+0.01-0.24=5.47m 以上结果，也可查表 11-5（综合要素表）求得。 （2）主点里程计算 已知： ZH 点里程为 33+424.67，则有：
