225大地线 大地线的定义与性质 法截弧:由椭球面上A点的法线与B点所确定的法截面与 椭球面相割得到的曲线称为A到B的法截弧。 相对法截弧:A到B的法截弧与B到A的法截弧。 由相对法截弧构成的椭球面三角形 不是闭合图形 Kb B
2.2.5 大地线 1、大地线的定义与性质 法截弧：由椭球面上A点的法线与B点所确定的法截面与 椭球面相割得到的曲线称为A到B的法截弧。 相对法截弧：A到B的法截弧与B到A的法截弧。 由相对法截弧构成的椭球面三角形 不是闭合图形
225大地线(续1) 大地线的定义:大地线的主法线与曲面法线处处重合 大地线的性质:1、大地线上任何点的密切平面就是该点 的法截面; 2、曲面上连接任何两点的最短直线必为 大地线。 、大地线的测地曲率等于0 曲线的测地曲率:曲线的曲率在曲面切平面上的投影 大地线的曲率: cos A sin=A 1 NN (1+/ cos2 A) M 大地线的挠率 sin a cos a sin a cos a N M N
2.2.5 大地线（续1） 大地线的定义：大地线的主法线与曲面法线处处重合。 大地线的性质：1、大地线上任何点的密切平面就是该点 的法截面； 2、曲面上连接任何两点的最短直线必为 大地线。 3、大地线的测地曲率等于0 曲线的测地曲率：曲线的曲率在曲面切平面上的投影。 大地线的曲率： 大地线的挠率 ( A) N N A M A kg 2 2 2 2 1 cos cos sin 1 = + = + A A N A A N M g sin cos sin cos 1 1 2 = − = −
22.5大地线(续2) 2、大地坐标系中大地线的微分方程 1).大地线的二阶微分方程 以up为参数的一般曲面的大地线微分方程可表示为: d'vn dv d v dy +O +r +s FG-GG +2GF GE-FG EG +FG +2FF P 2IEG-F EG-F 2EG-F2 R- Eg-FE. GE +FE +2FF fe +EE-2EF EG-F2× 2EG-F2 2IEG-F2 下标为相应的偏导数
2.2.5 大地线（续2） 2、大地坐标系中大地线的微分方程 (1). 大地线的二阶微分方程 以u,v 为参数的一般曲面的大地线微分方程可表示为： 下标为相应的偏导数。 ( ) ( ) ( ) 2( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 EG F FE EE EF S EG F G E FE FF EG F EG FE R EG F EG FG FF EG F G E FG Q EG F FG G G G F P S du dv R du dv Q du dv P du d v v u u v u u v u v u v v u v u v − + − = − + + + − − = − − + + − − − = − − − + = + + + =
225大地线(续3) 对于椭球面,有: E=M F=0 G=NcOS B 代入前面公式,得: P=v2cosBsinB 0=0 R=(2+n/v2)t S=o 则旋转椭球面上大地线的微分方程为: L n d L 2+1n2\dB +k sin bcos B d B
2.2.5 大地线（续3） 对于椭球面，有： 代入前面公式，得： 则旋转椭球面上大地线的微分方程为： E M F G N B 2 2 2 = = 0 = cos cos sin 0 (2 ) 0 2 2 2 P =V B B Q = R = + V t S = 3 2 2 2 2 2 2 sin cos + = + dB dL V B B dB dL V t dB d L
22.5大地线(续4) (2).克莱劳定理 直角坐标系中的椭球面方程: XYZ F 1=0 b 椭球面法向量为:N aF OFOF(2X 2Y 2Z aX ar aZ 以大地线弧长为参数的大地线主法线向量为: d 2x day d2z n s ds 两者指向一致,即 2X/a 2Y 2Z/b2 d'x/ds dy/ds2 d2z/dS2
2.2.5 大地线（续4） (2). 克莱劳定理 直角坐标系中的椭球面方程： 1 0 2 2 2 2 2 2 = + + − = b Z a Y a X F 椭球面法向量为： = = 2 2 2 2 2 2 b Z a Y a X Z F Y F X F N 以大地线弧长为参数的大地线主法线向量为： = 2 2 2 2 2 2 dS d Z dS d Y dS d X n 两者指向一致，即： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d Z dS Z b d Y dS Y a d X dS X a = =
225大地线(续5) 由上式的前两个方程得: d24 d 2X Y 0 积分得:-Y+ S 将三维空间坐标与大地坐标的关系及其微分关系: X=N cos Bcos L=rB cosL Y=N cos Bsin L=rB sin L COS L dY0snL+hc0S功 ds ds B L ds dsds 7S 代入①式,整理得: dL rB ds
2.2.5 大地线（续5） 由上式的前两个方程得： C dS dY X dS dX Y dS d Y X dS d X Y − + = − + = 0 2 2 2 2 积分得： 将三维空间坐标与大地坐标的关系及其微分关系： dS dL L r L dS dr dS dY dS dL L r L dS dr dS dX X N B L r L Y N B L r L B B B B B B cos sin sin cos cos cos cos cos sin sin = − = + = = = = 1 代入 1 式，整理得： C dS dL rB = 2 2
225大地线(续6) 将关系: radl= sin Ads 代入上式,即得克莱劳定理: Atd Bsin A=c 即:大地线上各点的平行圈 MB 半径与该点的大地线方位角 正弦的乘积是常数。 rdL
2.2.5 大地线（续6） 将关系： 即：大地线上各点的平行圈 半径与该点的大地线方位角 正弦的乘积是常数。 rB dL = sin AdS 代入上式，即得克莱劳定理： rB sin A =C B r rB dL A dSA+ dAMdB dL
225大地线(续7) (3).大地线的一阶微分关系式 B COS A MadB= cos Ads→ ds M Ncos BdL= sin ads→ d sin a Atd ds N cos B 由克莱劳定理,微分得: MdB drg sin A+rB coS AdA=0 sin a tan a da r cos a
2.2.5 大地线（续7） (3). 大地线的一阶微分关系式 B r rB dL A dSA+ dAMdB dL N B A dS dL N BdL AdS M A dS dB MdB AdS cos sin cos sin cos cos = = = = 由克莱劳定理，微分得： B B B B B B dr r A dr r A A dA dr A r AdA tan cos sin : sin cos 0 = − = − + = 则
225大地线(续8) 又如图所示: dr=-Mdbsin B BMaB B 代入上式,得: da- Sin aM sin BaB Ncos B cos A sin am sin b cos a sin ads Ncos B Cos A M L ds tan B 三个微分关系式可整理为: db cos a d sin A da tan B sin a ds nosb ds N
2.2.5 大地线（续8） 又如图所示： MdB −dr B drB = −MdBsin B 代入上式，得： AdS N B dS M A N B A AM B N B A AM BdB dA sin cos tan cos cos sin sin cos cos sin sin = = = 三个微分关系式可整理为： A N B dS dA N B A dS dL M A dS dB sin tan cos sin cos = = = 3
225大地线(续9) 3、以弧长和大地方位角为参数的大地线方程 大地线始点坐标P(B,Lo),大 地线上任何点的位置向量都可以展 开成S,A的级数形式: r r s+ s-+ PlB ds 2 ds s+ 24d 120ds Frenet标架的坐标轴定义:x指向 大地线的切向t,y指向大地线的 主法向n,向内为正,z指向大地 线的副法向b,构成左手系
2.2.5 大地线（续9） 3、以弧长和大地方位角为参数的大地线方程 大地线始点坐标P0(B0,L0)，大 地线上任何点的位置向量都可以展 开成S,A的级数形式： ( ) + + + = + + 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 120 1 24 1 6 1 2 1 s ds d s ds d s ds d s ds d s ds d s r r r r r r Frenet标架的坐标轴定义：x´指向 大地线的切向t， y´指向大地线的 主法向n，向内为正， z´指向大地 线的副法向b，构成左手系。 ( ) 0 0 0 P B , L A S P(B,L) x´ y´ z´ 4