同济大学：《现代大地控制测量》第二章（2-5） 参心坐标系和参考椭球

§2.5参心坐标系和参考椭球 251垂线偏差与 Laplace方程 1、天文经度、天文纬度和天文方位角 天文经度:包含测站垂线的子午面与起始子午面的夹角; 天文纬度:测站垂线的与赤道面的夹角; 天文方位角:包含测站垂线的子午面与测站垂线和照准 面所张成的垂直面的夹角; 天文天顶距:测站垂线与观测方向的夹角

§2.5 参心坐标系和参考椭球 2.5.1 垂线偏差与Laplace方程 1、天文经度、天文纬度和天文方位角 天文经度：包含测站垂线的子午面与起始子午面的夹角； 天文纬度：测站垂线的与赤道面的夹角； 天文方位角：包含测站垂线的子午面与测站垂线和照准 面所张成的垂直面的夹角； 天文天顶距：测站垂线与观测方向的夹角

251垂线偏差与 Laplace方程 因地极移动,观测的天文经纬度、方位角需要 归算到地极原点,称为极移改正,其公式如下 △=9-9=xc0S元-ySn A=n-ho=(xsin a+cos a)tan osin / coS sec 观测值在地面取得,归算到椭球面上时, 天文纬度和方位角需要作如下改正: △o”=-017lsin(2H e cos P sin(2a)H 2a

2.5.1 垂线偏差与Laplace方程 因地极移动，观测的天文经纬度、方位角需要 归算到地极原点，称为极移改正，其公式如下： ( )    (  )             sin cos sec sin cos tan cos sin 0 0 0 x y x y x y  = − = +  = − = +  = − = − 观测值在地面取得，归算到椭球面上时， 天文纬度和方位角需要作如下改正： ( ) ( )H标 a e H      cos sin 2 2 0.171sin 2 2 2  =   = −

251垂线偏差与 Laplace方程 2、垂线偏差和大地水准面差距 大地水准面 dN=-EdS E4=S COS A+nsin A 参考椭球面 数值积分,得: 2 ∑(;cosA+nsnA)△S

2.5.1 垂线偏差与Laplace方程 2、垂线偏差和大地水准面差距 大地水准面 参考椭球面 dN A  dN dS dS A = −  A = cos A+sin A ( ) = − = − +  n i N N i Ai i Ai Si 1 2 1  cos  sin  − = − 2 1 2 1 S S N N  A dS 数值积分，得：

251垂线偏差与 Laplace方程 3、垂线偏差公式和 Laplace方位角 如图所示:xyz为大地 站心坐标系,x1y1z1为天文 R 站心坐标系。两者的关系为 90B y=R2△R()Rn()n x yI 1△A X △A1my1

x y 1 y 1 x A 2.5.1 垂线偏差与Laplace方程 3、垂线偏差公式和Laplace方位角 ( ) ( ) ( )                     − − −   =           =  −           1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 z y x A A z y x A z y x z y x     R R  R  如图所示：xyz为大地 站心坐标系，x1 y1 z1为天文 站心坐标系。两者的关系为： 1

25.垂线偏差与 Laplace方程 天文和大地坐标系分别与原点在站心,坐标轴与 三维空间直角坐标系指向相同的坐标系的关系如下 sin b cosL -sin L cos B cosLx XYZ sin bsin cos cos bsin l coS B 0 SIn B sin p cos n -sin n cos cos n XYZ sin o sin n coS/ cos sin a COS SIn

2.5.1 垂线偏差与Laplace方程 天文和大地坐标系分别与原点在站心，坐标轴与 三维空间直角坐标系指向相同的坐标系的关系如下：                     − − − =                               − − − =           1 1 1 cos 0 sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos cos 0 sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos z y x Z Y X z y x B B B L L B L B L L B L Z Y X            

251垂线偏差与 Laplace方程 由上面第一式代入第二式,略去高次项,整理得: sin B(-L) -B x y =-sin Ba-L coso(2-D)‖y (-B) cos o(n-L 上式与①式相比较,得 B cos p(a-L) sin p

2.5.1 垂线偏差与Laplace方程 由上面第一式代入第二式，略去高次项，整理得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                     − − − − − − − − − =           1 1 1 cos 1 sin 1 cos 1 sin z y x B L B L L B L B z y x         上式与 1 式相比较，得： ( ) ( )           − − − =            L L B A        sin cos

25.垂线偏差与 Laplace方程 并得出 Laplace方程 A=a-△4=a-(A-L)ing 顾及天文站心系(x1,y1,x1)与大地站心系(x,y,z)的关系: △41 n‖y 77 和天顶距、方位角和站心坐标的关系: Dsin acos a Dsin z cos a D sin Zain a D= Dsin Z sin a Dcos z Dcos Z

2.5.1 垂线偏差与Laplace方程 并得出Laplace方程： A= −A= −( − L)sin                      − − −   =           1 1 1 1 1 1 z y x A A z y x     顾及天文站心系（x1，y1，z1）与大地站心系（x，y，z）的关系： 和天顶距、方位角和站心坐标的关系：           =           D Z D Z A D Z A z y x cos sin sin sin cos           =           1 1 1 1 1 1 cos sin sin sin cos D Z D Z D Z z y x  

251垂线偏差与 Laplace方程 将第二式代入第一式,得: Sin z cos △A5siZ1cosa sin z sin a △A1msiz1sina coS Z 5-n cOS sin z cos a 0△4 Sinl cos a sin Z, sin a + -AA 0 n sin Z sin a cOS 7 cOS 将展开式 sin a=sin A+Cos A(a-A), sin Z =sin Z+cos Z( CoS a= cos A-sin A(a-A), cos Z,=cosZ-Sin Z(Z-z

2.5.1 垂线偏差与Laplace方程 将第二式代入第一式，得：                     − − −   +           =                     − − −   =           1 1 1 1 1 1 1 1 1 cos sin sin sin cos 0 0 0 cos sin sin sin cos cos sin sin sin cos 1 1 1 cos sin sin sin cos Z Z Z A A Z Z Z Z Z Z A A Z Z A Z A               将展开式： ( ) ( ) A A( A) Z Z Z(Z Z) A A A Z Z Z Z Z = − − = − − = + − = + − 1 1 1 1 cos cos sin , cos cos sin sin sin cos , sin sin cos    

25垂线偏差与 Laplace方程 代入上式,并略去二次以上的项,得: sin z sin a COSZ cOS 0△ 4 sin Z1cosa (a-a sin Z cos a-(z, -z)cos Z sin A=-AA 0 n sin Z, sin a sIn Z cOS 由第三式,得:z=Z1+(csA+ nsin A 由第一式或第二式,顾及上式,并略去高次项得: A=a-AA-(5 sin A-ncos A)ctg a-(a-L) -(E sin A-ncos A)ctgZ

2.5.1 垂线偏差与Laplace方程 代入上式，并略去二次以上的项，得： ( ) ( )                     − − −  =           − − −          − − − 1 1 1 1 cos sin sin sin cos 0 0 0 sin cos sin cos cos 0 sin cos sin sin Z Z Z A A Z Z A Z A Z A Z Z Z A A        由第三式，得： ( ) ( ) ( ) 1 1 sin sin cos ctg sin cos ctg L A A Z A A A A Z         = − − − − = −  − − Z Z ( cos A sin A) = 1 +  + 由第一式或第二式，顾及上式，并略去高次项得：

25.1垂线偏差与 Laplace方程 如果椭球短轴不平行与地轴,大地起始子午面不 平行大地起始子午面,则还要考虑三个旋转角的影响, 此时,大地经纬度和方位角与天文经纬度和方位角的 关系可推广为 B q-5 sn久 cos a 08 L=1n-nsec -cos n tan sin n tan o a-ntan p)(cos asec o sin a secp 0 ez

2.5.1 垂线偏差与Laplace方程 如果椭球短轴不平行与地轴，大地起始子午面不 平行大地起始子午面，则还要考虑三个旋转角的影响， 此时，大地经纬度和方位角与天文经纬度和方位角的 关系可推广为：                     − − −           − − − =           Z Y X A L B                      cos sec sin sec 0 cos tan sin tan 1 sin cos 0 tan sec