同济大学：《现代大地控制测量》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 城市及工程平面控制网的测设与数据处理（5-7）边角网的按坐标参数平差

§5.7边角网的按坐标参数平差 5.7.1边角网平差中误差方程式的列立 1、边长观测值误差方程式 S,+ (x-x)2+(y-y) 线性化可得: vH=-coSTK &, -sin TK Syk+CoS TK a +sinT Ov+ls 其中,L=s (x-x)2+( 上式也可写为, Ve=-coSTM Gx -sin T Sy +coST&x,+sin T Sy,+l

§5.7 边角网的按坐标参数平差 2 2 ( ) ( ) ki s i j i j S v x x y y k i + = − + − 5.7.1边角网平差中误差方程式的列立 1、边长观测值误差方程式 ik ik ik i ik i ik k ik k s v = − T x − T y + T x + T y + l 0 0 0 0 cos sin cos sin 上式也可写为， 线性化可得： k i ki ki k ki k ki i ki i s v = − T x − T y + T x + T y +l 0 0 0 0 cos sin cos sin s k i k i i k i k k i l s s x x y y s k i = − = − + − − 0 0 0 2 0 0 2 其中， ( ) ( )

5.7.1边角网平差中误差方程式的列立 2、方向观测值误差方程式 L+v+z0+6=z()+c)-(y+8y (x+x)-(x8+x) VH=-2k+anSx+b,,dx-b,dy+lm y=YK p"sin T p coS To 100s 100s To=arct.o (y2-y)+(x2-x To+45=arct(: -yk)+(x-xo) VI=VK k=arct

5.7.1边角网平差中误差方程式的列立 k i k k i k k i k k i i k i i k i i i k k i i k k k i k i k k v z a x b y a x b y l x x x x y y y y L v Z z arctg = − + + − − + + − + + − + + + + =         ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 = ki p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 45 100 cos , 100 sin , ( ) ( ) 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 k k k k i k i k i k i k k i i k i k k i k i k i k i k i k i k i k i k i k i k k i i k i k x x y y Z T arctg y y x x y y x x T arctg x x y y T arctg s T b s T a l T L Z s x x y y − − = = − − + − − + − + = − − =  = −  = = − − = − + −    2、方向观测值误差方程式

5.7.1边角网平差中误差方程式的列立 定向角未知数的近似值也可用下式计算:0 ki 对向观测方向的误差方程为: +a,δC+b.C ik &X -bSv +l +a,&x+bdi &x-b dy+l k k k i 角度为两个方向之差,其误差方程式为: k-1k+1 kk+ k.k-1 (aA1-a1)x+(b-b)8+a1+bb1 y+(l-1 kk+1k+ k+1k+1 k,k-1

5.7.1边角网平差中误差方程式的列立 =  − = n i k Tki Lki n Z 1 0 0 ( ) 1 i k i k k i k k i i k i i ik ik i ik i ik i ik k ik k ik z a x b y a x b y l v z a x b y a x b y l = − + + − − + = − + + − − +         ( ) ( ) ( ) , 1 1 , 1 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 1 , 1 1 1, 1 , 1 , 1 + + + + + − + − + − − − − − − + + − − − + − = − + − + + = − k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k a x b y l l a a x b b y a x b y v v v      定向角未知数的近似值也可用下式计算： 对向观测方向ik的误差方程为： 角度为两个方向之差，其误差方程式为：

5.7.1边角网平差中误差方程式的列立 (1).消去定向角未知数 个测站mk个方向的误差方程为 VkI=-EK+akak+bkoyk-akax-bkdxv+lK(pk=D) k2 Ek +ak2dxk+bk2Oyk -ak2dx-bk2dx+lk2(pk2=l) k 21+a k k 消去定向角未知数的等效误差方程可表示为: VA=a,S,+bSy-andx-bdx +l (PD1=1) vl=an,ax,+b,, Syi-ardx-b, a,+l ak Sx+b dv-akn ax-b ax,+lEm +∑b (anx+by)+∑l(p =1

5.7.1边角网平差中误差方程式的列立 ( 1) ( 1) ( 1) 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + + − − + = = − + + − − + = = − + + − − + = k k k k k k k kn k kn k kn k kn kn y kn kn k k k k k k k k y k k k k k k k k k k y k k v z a x b y a x b x l p v z a x b y a x b x l p v z a x b y a x b x l p              ( ) ( ) ) 1 ( ) ( ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 k k n i k i n i k k i i k i i n i k k i n i k k i k n k n k k n k k n k n y k n k n k k k k k k k y k k k k k k k k k y k k n v a x b y a x b y l p v a x b y a x b x l p v a x b y a x b x l p v a x b y a x b x l p k k k k k k k k k k k  =  +  −  + +   = −  = + − − +  =  = + − − +  =  = + − − +  = = = = =                  一个测站 nk 个方向的误差方程为： 消去定向角未知数的等效误差方程可表示为： (1). 消去定向角未知数

5.7.1边角网平差中误差方程式的列立 求得坐标改正数后,可利用下式计算定向角未知数 ∑ +∑ i=1 i=1 (1).合并对向观测误差方程式 两个对向观测的误差方程式为: k=akak+bk dxk-akdx-bk a+lki adx tb,sx k k k k &x 6, dx.+ 可合并成等效误差方程如下 v L. +l &x,+b d bsx+ 对多个误差方程则合并为:=a+b+…+p

5.7.1边角网平差中误差方程式的列立 j j n i j i j n i j i i j i i j i n i j i j i n i j i j j n v l n a x b x n b x n a x n z j j j j  + =         − +         +         =     =1 =1 =1 =1 1 ( ) 1 1 1     i k ki k ki k ki i ki i i k ki ki k ki k ki i ki i ki v a x b x a x b x l v a x b x a x b x l  = + − − +  = + − − +         求得坐标改正数后，可利用下式计算定向角未知数。 (1). 合并对向观测误差方程式 两个对向观测的误差方程式为： ( 2) 2  = +  = + − − + k i k i ik k i k i k k i k k i i k i i p l l v a x b x a x b x p pl v a x b y [ ]  =  +  ++ 可合并成等效误差方程如下： 对多个误差方程,则合并为：

5.7.2控制网平差定位的各种处理方法 1、控制网秩亏问题的实质及基准数据的引入 秩亏的实质是缺少必要的基准数据。各类控制 网的必要基准数据如下 水准网: 平面控制网:4 三维控制网:7 四维控制网:11 消除秩亏只能靠引入基准数据,不同的基准引入 方法对应于不同的计算方法

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 1、控制网秩亏问题的实质及基准数据的引入 秩亏的实质是缺少必要的基准数据。各类控制 网的必要基准数据如下： 水准网： 1 平面控制网： 4 三维控制网： 7 四维控制网： 11 消除秩亏只能靠引入基准数据，不同的基准引入 方法对应于不同的计算方法

5.7.2控制网平差定位的各种处理方法 (1).引入作为固定值的基准数据 固定基准数据的数目不能少于必要的基准数据。 如果等于必要基准数据,称为独立网,如果超过必要 基准数据,称为附合网 (2).引入作为加权位置约束的基准数据 将坐标参数分成两组,分别对应于基准数据坐标 m与待定点坐标m2;m1≥d (3).基准数据用于拟合(伪逆法)

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 (1). 引入作为固定值的基准数据 固定基准数据的数目不能少于必要的基准数据。 如果等于必要基准数据，称为独立网，如果超过必要 基准数据，称为附合网 。 (2).引入作为加权位置约束的基准数据 将坐标参数分成两组，分别对应于基准数据坐标 m1与待定点坐标 m2 ； m1  d。 (3). 基准数据用于拟合（伪逆法）

5.7.2控制网平差定位的各种处理方法 相应的误差方程可表示为: AA(8XX\o P 其法方程及其解为: P+AP44PAY∝y~0 A P. APA AP.A人R P+a p PA APA八(4P

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 相应的误差方程可表示为：                  =      +                 1 1 1 , ˆ 0 ˆ 0 2 1 1 2 X L m X P P V l V X X I A A                  + = −         =        +                 + − A Pl A Pl A P A A P A P A P A A P A X X A Pl A Pl X X A P A A P A P A P A A P A L T L T L T L T L T L T x L T L T L T L T L T L T x 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ   其法方程及其解为：

5.7.2控制网平差定位的各种处理方法 (3)基于伪逆( Moore-penrose广义逆)的平差定 位 广义逆对应于最小范数解。 (4).附加基准方程消除 形式的基准方程为:G8X=0 与误差方程一起组成的法方程为 A PA G8X/APL / 0 0 SX APA G(API 解为: K 0

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 (3). 基于伪逆（Moore-penrose广义逆）的平差定 位 广义逆对应于最小范数解。 (4). 附加基准方程消除秩亏 0 0 ˆ 0 =        +                 A Pl K X G A PA G T T T  一般形式的基准方程为： G X ˆ = 0 T  与误差方程一起组成的法方程为： 解为：                 = −         − 0 0 ˆ 1 A Pl G A PA G K X T T T 

5.7.2控制网平差定位的各种处理方法 以一点、一方位作为基准的系数矩阵 sin t-cost -sinT COST...00 0 个 第t个点 相应于伪逆解的系数矩阵 0 10 0 Rankg)=d=3

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 第t个点 sin cos sin cos 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2            − − =       T T T T G T B Rank( ) 3 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 = =           − − = G d y x y x y y G E i i m m T E       以一点、一方位作为基准的系数矩阵 相应于伪逆解的系数矩阵