同济大学：《现代大地控制测量》第五章（5-5） 观测值的权之先验确定和方差分量估计

§5.5观测值的权之先验确定和方差分量估计 5.5.1观测值的权之先验确定 权的一般概念 E(△)=0 D=D(△=Q=0P

§5.5 观测值的权之先验确定和方差分量估计 2 1 0 2 0 ( ) ( ) 0 − =  = =  = DL D QL PL E   5.5.1 观测值的权之先验确定 权的一般概念

5.5.1观测值的权之先验确定 对于同类、等精度的观测值 采用相同的权,且以观测值精 度作单位权中误差 0 (1,2) oO (3,2) 110∥(2) (4,3) (3) ((4) 1100 2-10 σ2方向-12-1 角度=2o.2 2 方向 角度 角度角度=a 角度

5.5.1 观测值的权之先验确定 1、对于同类、等精度的观测值 采用相同的权，且以观测值精 度作单位权中误差。 0 1 2 3 4                         − − − =           (4) (3) (2) (1) 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 (4,3) (3,2) (1,2)           − − − − =               − − −           − − − = 0 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 2 D角度 D方向  方向 2 2  角度 = 2 方向                 − − − − = = − 1 2 1 0 2 1 1 2 1 0 2 1 1 2 1 2 D角度  角度 P角度  角度

5.5.1观测值的权之先验确定 2、对于同类、不等精度的观测值 a+bs 2 a+bs 2 O 2 77

5.5.1 观测值的权之先验确定 2 2 0 2 2 2 2 i i i i s S S i s i m P a bS m a b S   = = + = + 2、对于同类、不等精度的观测值

5.5.1观测值的权之先验确定 3、对于不同类且不等精度的观测值 方向观测值的权:P 距离观测值的权:P 若选方向的权为单位权:P=1 则距离观测值的权:P 若选角度的权为单位权:P 则距离观测值的权:P

5.5.1 观测值的权之先验确定 3、对于不同类且不等精度的观测值 2 2 0 2 2 0 i i s s r r m P m P   = = 2 2 1 i i S r s r m m P P = = 2 2 1 i i S S m m P P   = = 方向观测值的权： 距离观测值的权： 若选方向的权为单位权： 则距离观测值的权： 若选角度的权为单位权： 则距离观测值的权：

5.5.2赫尔默特方差分量估计法 、方差分量估计的计算公式 误差方程和=AX-1 权阵为P 基准方程为:Gx=0 其最小二乘解为: X=(APA+GGPA'PL Q=(APA+GGP APA(A PA+GGR

5.5.2 赫尔默特方差分量估计法 1 1 ˆ 1 ( ) ( ) ( ) ˆ − − − = + + = + T B B T T T B B T X T T B B T Q A PA G G A PA A PA G G X A PA G G A PL ˆ 0 ˆ 1 = = − G X V AX T B 1、方差分量估计的计算公式 误差方程和 基准方程为： 权阵为 P 其最小二乘解为：

5.5.2赫尔默特方差分量估计法 将观测值分成相互独立的两类,即: P=(),A=() 误差方程为: (A 相应的最小二乘解为: X=(A PA+APA+GG(API+A Pl) =(N+N+GGR(API+A Pl) Q=(N,+N,+GGP(N,+N(+N,+GGP

5.5.2 赫尔默特方差分量估计法         =         = = =         = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , ( ), ( ), , V V V l l l A A A P P P L L L         −         =        2 1 2 1 2 1 ˆ l l X A A V V 将观测值分成相互独立的两类，即： 1 1 2 1 2 1 ˆ 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ − − − − = + + + + + = + + + = + + + T B B T X B B T T T B B T T T B B T T Q N N G G N N N N G G N N G G A Pl A Pl X A PA A P A G G A Pl A Pl 误差方程为： 相应的最小二乘解为：

5.5.2赫尔默特方差分量估计法 随机向量V1的数学期望和方差为:E(1)=0 E(V 且有性质: e(PF=tr(PD)+e(Pe(=tr(PD) 将最小二乘解代入误差方程的第一式,得: V=A(M+N,+GGP(AP/+A,Pl)-l =[A(N,+,+GGPA P-I+A(N+N,+GGr"APe

5.5.2 赫尔默特方差分量估计法 ( ) ( ) 0 1 1 1 1 T DV E V V E V = 随机向量V1的数学期望和方差为： = ( ) tr( ) ( ) ( ) tr( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 V T V T E V PV = PD + E V PE V = PD 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) A N N G G A P I l A N N G G A Pl V A N N G G A Pl A Pl l T T B B T T B B T T T B B − − − = + + − + + + = + + + − 且有性质： 将最小二乘解代入误差方程的第一式，得： 1

5.5.2赫尔默特方差分量估计法 协方差阵与权的关系: 01 L 0212 D=LA(M+N,+G GAP-I PIPA(N +N,+GGPA-1I +A(M+N,+GG PA (N+N,+GGEA (P--2A(N, +N,+GGrA'+ A(N+N,+G"N(+N,+GGrA' +oA(N +N,+GG N,(N+N,+GGA

5.5.2 赫尔默特方差分量估计法 1 2 2 02 1 1 2 01 2 2 1 1 − − = = = = D D P D D P l L l L   T T B B T B B T T B B T B B T T B B T T B B T T B B T T B B T T V B B A N N G G N N N G G A A N N G G N N N G G A P A N N G G A N N G G A A N N G G A P P P A P PA N N G G A I D A N N G G A P I 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 0 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 0 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 0 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ] [( 2 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] 1 − − − − − − − − − − − − + + + + + + + + + = − + + + + + + + + + + − = + + −     协方差阵与权的关系：

5.5.2赫尔默特方差分量估计法 将上式代入○,顾及矩阵迹的性质: tr(Gh)=tr(Hg), tr(G+B)=tr(G)+tr(h) 1: E(V P=n -2tr[(N, +N,+GGP"N] +tr[(N +N,+ GrN(+N,+GGp mi +tr[(M, +N+GGPN(N,N,+GG"N,Jo 同理,得: E(r,P=tr[(N, +N,+GGrN,(,+N,+GGNo +in, -2tr[(N,+N,+GGrN, +tr[(, +N,+GGN,(N+,+GGNIo

5.5.2 赫尔默特方差分量估计法 将上式代入 ，顾及矩阵迹的性质： 2 2 0 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 0 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 tr[( ) ( ) ] tr[( ) ( ) ]} ( ) { 2tr[( ) ]   N N G G N N N G G N N N G G N N N G G N E V PV n N N G G N T B B T B B T B B T B B T B B T − − − − − + + + + + + + + + + = − + + tr(GH) = tr(HG), tr(G + H) = tr(G) + tr(H) 1 得： 2 2 0 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 0 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 tr[( ) ( ) ]} { 2tr[( ) ] ( ) tr[( ) ( ) ]   N N G G N N N G G N n N N G G N E V PV N N G G N N N G G N T B B T B B T B B T B B T B B T − − − − − + + + + + + − + + = + + + + 同理，得：

5.5.2赫尔默特方差分量估计法 上述两式可转换成如下形式: oIn-tr(2N-N+N-N,N-IN) tr(NNNN, tr(NN,NN n,-tr(2N-N,+N-NN-N)Py 其中:N=N+N,+GGn 若系数矩阵满秩,不需要再加基准方程,则 W=M+w

5.5.2 赫尔默特方差分量估计法 上述两式可转换成如下形式：                 − + − + =      − − − − − − − − − − − 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 2 2 0 1 ( ) (2 ) (2 ) ( ) ˆ ˆ V PV V PV t r N N N N n t r N N N N N N n t r N N N N N N t r N N N N T T   N = N1 + N2 T 其中： N = N1 + N2 +GBGB 若系数矩阵满秩，不需要再加基准方程，则： 2