《无机材料物理性能》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 无机材料的受力形变 1.2 无机材料的弹性形变

1. 广义虎克定律 1.2无机材料的弹性形变 2. 弹性变形机理 3. 影响弹性模量的因素 1.2.1各向同性体的弹性常数 6 6 长方体在轴向的相对伸长为：8ox/E 应力与应变之间为线性关系，E一-弹性模， 对各向同性体，弹性模量为一常数

x L L b c c b x z x y 长方体在轴向的相对伸长为：x =x/E 应力与应变之间为线性关系，E-弹性模， 对各向同性体，弹性模量为一常数。 1.2 无机材料的弹性形变 1. 2.1各向同性体的弹性常数 1. 广义虎克定律 2. 弹性变形机理 3. 影响弹性模量的因素

b 当长方体伸长(X轴)时，横向收缩： 8y=-△c/c 8=-△b/b 横向变形系数（泊松比）：u=8v/ε=8z/εx 则 ey=一u8x=一uoE ez=一uox/E 如果长方体在oσ，σ，的正应力作用下，虎克定律表示为： ex=oE-μo,E-uo/E=[ox-u(oy十oz）]/E 8-o,E-uoE一μo,E=o,-u(（o十oz）]/E 8zo/E-HoE-μo,E=[o2-μ(o十oy)]E

当长方体伸长（X 轴）时，横向收缩： y =－c/c z= － b/b 横向变形系数（泊松比）：=| y / x | =| z / x | 则 y =－  x= － x /E z= － x /E 如果长方体在x y z的正应力作用下，虎克定律表示为： x =x /E－ y /E － z /E= [x－ （y＋ z ）]/E y =y /E－ x /E － y /E= [y－ （x＋ z ）]/E z =z /E－ x /E － y /E= [z－ （x＋ y ）]/E b c c b

对于剪切应变，根据虎克定律，则有如下关系： Yxy-txy/G Yyz-ty/G Yax=tx/G 式中，G为剪切模量或刚性模量。 G,E,u参数的关系： E G= 2(1+ 如果σ、=σv=σz,材料的体积模量K为各向同等 的压力与其引起的体积变化率之比。 P E K=- 3(1-2μ) V

对于剪切应变，根据虎克定律，则有如下关系： xy =xy/G yz =yz/G zx =zx/G 式中，G 为剪切模量或刚性模量。 G, E, 参数的关系: 如果 x = y =  z ，材料的体积模量K为各向同等 的压力与其引起的体积变化率之比

1.2.2单晶的弹性常数 作用力对不同方向正应变的影响 各种弹性常数随方向而不同，即：E≠E,≠Ez, μy≠山zμa,在单向受力o时，在y,方向的应变为： ex=-h8,=22=(20=S1, exx=x=Sa10x 式中，S2,S31为弹性柔顺系数。1,2,3分别表示x,y,z

作用力对不同方向正应变的影响 各种弹性常数随方向而不同，即：Ex Ey  Ez , xy  yz zx，在单向受力x时，在y，z方向的应变为： 1.2.2 单晶的弹性常数 式中，S21, S31为弹性柔顺系数。1, 2,3分别表示x，y，z 。 ε yx ε zx =-µzx

同时受三个方向的正应力，在x,y方向的应变为： Sxx=Ox/Ex+S12 Owy +S13z w=Ow/Ey+S21 Owy +S23z z/Ez+S31 Owy +S32z

同时受三个方向的正应力，在x, y, z方向的应变为： xx= xx/Ex+S12 yy +S13 zz yy= yy/Ey+S21 yy +S23 zz zz= zz/Ez+S31 yy +S32 zz

正应力对剪应变有影响，剪应力对正应变也有影响， 总共有36个系数，通式为： x=SIOx+S12 Ow +S13 z+S14 Tyz+S15Ta+S16txy Ew=S220wy+S21 x+S23 zS24 Tyz +S25ta+S26 txy S330z+S31 Ow +S322S34 Tyz +S35Tx+S36 Txy Yy=S410xx+S42 Owy +S43 z+S44 Tyz +S45ta+S46 Txy Yn=S51Oxx+S52 Ow +S53 Oz+S54Tyz +S55tax+S56 Txy Yxy=S6IOx+S62 Oyy+S63 z+S64 Tyz +S65Tx+S66 Txy

正应力对剪应变有影响，剪应力对正应变也有影响， 总共有36个系数，通式为： xx= S11xx+S12 yy +S13 zz+S14 yz+S15zx+S16xy yy= S22yy+S21 xx +S23 zzS24 yz +S25zx+S26 xy zz= S33zz+S31 yy +S32 zzS34 yz +S35 zx+S36 xy yz= S41xx+S42 yy +S43 zz+S44 yz +S45zx+S46 xy zx=S51xx+S52 yy +S53 zz+S54 yz +S55zx+S56 xy xy=S61xx+S62 yy +S63 zz+S64 yz +S65zx+S66 xy

1.2.3弹性模量的物理本质 (1) 原子间相互作用力和弹性常数的关系 (2)原子间的势能与弹性常数的关系 (3)弹性刚度系数 (4)用原子间振动模型求弹性常数 虎克定律表明，对于足够小的形变，应力与应变成 线性关系，系数为弹性模量E。作用力和位移成线性关系， 系数为弹性常数K

1.2.3弹性模量的物理本质 虎克定律表明，对于足够小的形变，应力与应变成 线性关系，系数为弹性模量E。作用力和位移成线性关系， 系数为弹性常数K。 (1) 原子间相互作用力和弹性常数的关系 (2) 原子间的势能与弹性常数的关系 (3) 弹性刚度系数 (4) 用原子间振动模型求弹性常数

(a)原子间相互作用力和弹性常数的关系 在=ro时，原子1和2处于平 衡状态，其合力F=0 当原子受到拉伸时，原子2 向右位移，起初作用力与位移呈 线性变化，后逐渐偏离，达到 时，合力最大，此后又减小。合 力有一最大值，该值相当于材料 断裂时的作用力

r r ro  r 1 2 ＋ － ＋ － F Um 在r=ro时，原子1和2处于平 衡状态，其合力F=0. 当原子受到拉伸时，原子2 向右位移，起初作用力与位移呈 线性变化，后逐渐偏离，达到r 时，合力最大，此后又减小。合 力有一最大值，该值相当于材料 断裂时的作用力。 (a) 原子间相互作用力和弹性常数的关系

断裂时的相对位移：'一r。=δ 把合力与相对位移的关系看作线性关系， 则弹性常数： K≈ 结论：K是在作用力曲线=ro时的斜率，因此K的 大小反映了原子间的作用力曲线在=ro处斜率的大小

结论：K是在作用力曲线r=ro时的斜率，因此K的 大小反映了原子间的作用力曲线在r=ro处斜率的大小. 断裂时的相对位移：r－ro = 把合力与相对位移的关系看作线性关系， 则弹性常数：

(b)原子间的势能与弹性常数的关系： du d2) U(ro+8)=U(ro)+( 62 dr dr2 To 1 =U(To)+ 2 62 dr2 两边对r求导，得： F=. du (r) ) dr dr2 (K=(dU/dr2)m就是势能曲线在最小值u(ro)处的曲率。) 结论：弹性常数的大小实质上反映了原子间势能 曲线极小值尖峭度的大小

（K =(d 2U/dr2 )ro就是势能曲线在最小值u(ro)处的曲率。） (b) 原子间的势能与弹性常数的关系： 结论：弹性常数的大小实质上反映了原子间势能 曲线极小值尖峭度的大小。 两边对r求导，得：