7.线弹性结构的互等定理 Reciprocal Theory in Linear Structures) 、线性杆系结构的变形能 根据能量守恒,对线弹性、小变形结构, 外力所做的功恒等于储存于体内的应变能。 由第一节所复习的材料力学知识可知 2 =∑∫ F kF d+∑∫ M ds 2E4 240 ∑∫ 2ET M +∑∫ S 2GI
7. 线弹性结构的互等定理 （Reciprocal Theory in Linear Structures) 一、线性杆系结构的变形能 根据能量守恒，对线弹性、小变形结构， 外力所做的功恒等于储存于体内的应变能。 由第一节所复习的材料力学知识可知 + = + + s GI M s EI M s GA kF s EA F V x d 2 d 2 d 2 d 2 P 2 2 2 Q 2 N ε
或者 ∑∫ EAe ds+∑ GA ds +∑∫Ee2ds+∑∫GIp2ds) V的性质: (1)总为正; (2)与路径无关,是状态的函数 (3)内力或位移的二次式; (4)叠加原理不适用;
或者 + + = + EI s GI s ) s k GA V ( EA s d d d d 2 1 2 P 2 2 2 ε Vε的性质： (1) 总为正; (3) 内力或位移的二次式; (4) 叠加原理不适用; (2) 与路径无关,是状态的函数
二、线弹性结构的互等定理 1.功的互等定理: 方法 先加广义力P1,后加广义力P2 m 第I状态 4242 W1=1P1A41+P1A+2242
二、线弹性结构的互等定理 1. 功的互等定理: 方法一 11 P2 12 222 1 1 11 1 12 2 22 2 1 2 1 W = P + P + P 11 第 I 状态 先加广义力P1，后加广义力P2
先加广义力P2,后加广义力P1 4 第Ⅱ状态 12 W2=P242+P2421+B41 2 2 由W1=W2 R42=P2421 在线性变形体系中,I状态的外力在Ⅱ状态位移上所 做应功,恒等于Ⅱ状态外力在I状态位移上所做应 功 功的互等定理
12 P2 11 212 22 2 2 22 2 21 1 11 2 1 2 1 W = P + P + P 12 P2 22 2 由 W1 =W2 P1 12 = P2 21 在线性变形体系中，I 状态的外力在 II 状态位移上所 做虚功，恒等于 II 状态外力在 I 状态位移上所做虚 功。 功的互等定理 第 Ⅱ 状态 先加广义力P2，后加广义力P1
方法二 P 第状态马 12第Ⅱ状态 由虚功原理P142=P2A21 12 ∑∫(-mN2+k Q1 Q2 MM M 十 x1 x2 )ds GA El GI P W21=P2421 ∑∫(x2Nx+ kFo2For+M2M1M2M xl )ds EA GA El GI P
方法二 由虚功原理 12 P2 2 第 I 状态 第 II 状态 21 W12 = P112 ) s GI M M EI M M GA F F k EA F F ( x x d P N1 N2 Q1 Q2 1 2 1 2 = + + + W21 = P221 ) s GI M M EI M M GA F F k EA F F ( x x d P N2 N1 Q2 Q1 2 1 2 1 = + + + P1 12 = P2 21
2.位移互等定理: 由功的互等定理,等式两边同除广义力乘 积P1P2,则可得 2=21位移互等定理 上式表明,第二个单位广义力引起,第一个 单位广义力作用处沿第一广义力方向的位移 恒等于第一个单位广义力引起,第二个单位广 义力作用处沿第二广义力方向的位移。 若记 12÷-2 8,=4则8 12 21
2. 位移互等定理: 12 = 21 由功的互等定理，等式两边同除广义力乘 积 P1 P2 ，则可得 1 21 2 12 P P = 上式表明，第二个单位广义力引起，第一个 单位广义力作用处沿第一广义力方向的位移， 恒等于第一个单位广义力引起，第二个单位广 义力作用处沿第二广义力方向的位移。 若记 2 12 12 P = 1 21 21 P = 则 位移互等定理
由 A122 12 21 可见 1.单位广义力是量纲为一的量; 2.互等不仅是指数值相等,且量纲也相同。 如图示长L,EⅠ为常数的简支梁 跨中CP=1B P=1 B C 第I状态 第Ⅱ状态 数值、量纲都相等 621=0B16EI 2 16EI
可见 1. 单位广义力是量纲为一的量； 2. 互等不仅是指数值相等，且量纲也相同。 由 21 1 21 2 12 12 = = = P P 第 II 状态 P2 = 1 A C B C f 如图示长 l ，EI 为常数的简支梁 EI l B 16 2 21 = = EI l f c 16 2 12 = = 第 I 状态 B A 跨中C P1 = 1 B 数值、量纲都相等
互等定理中的数是 值和量纲问题是[否 否已得到解决?
互等定理中的数 值和量纲问题是 否已得到解决? 是 否
国家有关部门最近规定,对新近出版的教 材,要求在对公式进行数值运算时,必须带 物理量的单位 若上例简支梁受的是广义力,而不是单位广 义力,则 Pl 21 B 412=f= 16El 16ET P1的量纲为MLT2,P2的量纲为MLT2 根据功的互等定理,有:B·f=POg 两边同除W、P2?B分' P P2 116EIP216E
国家有关部门最近规定，对新近出版的教 材，要求在对公式进行数值运算时，必须带 物理量的单位。 EI P l B 16 2 1 21 = = EI P l f c 16 2 2 12 = = 若上例简支梁受的是广义力，而不是单位广 义力，则 P 1的量纲为MLT-2 ， P 2的量纲为ML2T-2 根据功的互等定理，有： c P B P1 f = 2 两边同除以P 1 · P 2得： EI l P P P P EI l P P P P 16 16 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 =
或 称为单位广义力 更确切,应称为广义力系数,它有广义力 的三要素(数值为一),但无单位和量纲。 因此,与其说施加单位广义力,倒不如 说施加广义力系数。这样 1·l 12=1 16E 16El 21 数值、单位(量纲)都相同
或 1 1 P P 2 2 P P 称为单位广义力。 更确切，应称为广义力系数，它有广义力 的三要素（数值为一），但无单位和量纲。 因此，与其说施加单位广义力，倒不如 说施加广义力系数。这样 21 2 2 12 16 1 1 16 1 1 = = = EI l EI l 数值、单位（量纲）都相同