第三章中值定理与导数的应用总习题、自测题及其详解
第三章 中值定理与导数的应用 总习题、自测题及其详解
总习题三a-b0，试证1+ x3.证明：当a>b>0时，不等式nb"-'(a-b)1时成立4.求下列极限tanx-x(1) lim(2) limx-0 cosx-1x-0 x-sinxInsinxIn tan 7x(3) limlim(4)2x)x-0+lntan2xT1元X(6) lim x1(5) lim(1-x)taner2x→X-→0021limlim(7)(8)1nxInx(10) lim (cot xlim(9)1mr-0x-→0+X(12) lim x in(e*-I)(11) lim (cosx)2x-→0*X-→5.证明y=/2x-x2在区间(0,1)上单调增加，而在区间(1,2)上单调减少6.求下列函数的单调区间.(2) y=2x2-lnx :(1) y=x-er :(3) y=x-ln(1+x) 7.证明下列不等式的正确性当x>0时，有1+xln(x+/1+x)>/1+x
总习题三 1. 若 0 b a ，试证 ln a b a a b a b b − − . 2. 若 x 0 ，试证 ln(1 ) 1 x x x x + + . 3. 证明：当 a b 0 时，不等式 1 1 ( ) ( ) n n n n nb a b a b na a b − − − − − 在 n 1 时成立. 4.求下列极限. (1) 0 tan lim x sin x x → x x − − ； (2) 2 0 1 lim cos 1 x x e → x − − ； (3) 2 2 ln sin lim x ( 2 ) x x → − ； (4) 0 ln tan 7 lim x ln tan 2 x x → + ； (5) 1 lim(1 ) tan x 2 x x → − ； (6) 1 lim 1 x x x e → − ； (7) 2 1 2 1 lim x→ x x 1 1 − − − ； (8) 1 1 lim x ln ln x → x x − ； (9) tan 0 1 lim x x x → + ； (10) ( ) 1 ln 0 lim cot x x x → + ； (11) ( ) 2 2 lim cos x x x − − → ； (12) 1 ln( 1) 0 lim x e x x + − → ． 5. 证明 2 y x x = − 2 在区间 (0,1) 上单调增加，而在区间 (1, 2) 上单调减少. 6. 求下列函数的单调区间. (1) x y x e = − ； (2) 2 y x x = − 2 ln ； (3) y x x = − + ln(1 ) ． 7. 证明下列不等式的正确性. 当 x 0 时，有 2 2 1 ln( 1 ) 1 + + + + x x x x
8.求下列函数的极值.(1) y2Inx：(2) y=xex(4) y=(x-1)(2x+3)2(3)lnx9.求下列函数在所给区间上的最大值和最小值(1) y=x+2/x(0≤x≤4)(2) y=±-1(0≤x≤4)x+1元(3)y=sin2x-x2元tan1210°. 求lim- In(1 - x)er-esinx11. 求limr-0 x-sinx12. 求limx-x 1n(1+er+e13° 求lim（1991年数学三）x->0n14°已知f(x）在（-o0,+oo）内可导，且limf(x)=ex+elim=lim[f(x)-f(x-1)], 求c的值。 (2001 年数学三)15°设f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在E(0,3)，使f()=0.（2003年数学三)提示：使用最值定理、介值定理和罗尔定理
8. 求下列函数的极值. (1) 2 y x x = ln ； (2) 2 x y x e − = ； (3) ln x y x = ； (4) 3 2 y x x = − + ( 1) (2 3) ． 9. 求下列函数在所给区间上的最大值和最小值. (1) y x x = + 2 (0 4) x ； （2） 1 1 x y x − = + (0 4) x ； (3) y x x = − sin 2 ( ) 2 2 x − ． * 10 . 求 1 tan 2 lim x ln(1 ) x x → − − . * 11 . 求 sin 0 lim sin x x x e e → x x − − . * 12 . 求 2 1 lim ln(1 ) x x x → x − + . * 13 求 1 2 0 lim x x nx x x e e e → n + + + .（1991 年数学三） * 14 已 知 f x( ) 在 ( , ) − + 内 可 导 ， 且 lim ( ) x f x e → = ， lim lim ( ) ( 1) x x x x c f x f x → → x c + = − − − ，求 c 的值. （2001 年数学三） * 15 设 f x( ) 在 [0,3] 上连续，在 (0,3) 内可导，且 f f f (0) (1) (2) 3 + + = ， f (3) 1 = ，试证必存在 (0,3) ，使 f ( ) 0 = .（2003 年数学三） 提示：使用最值定理、介值定理和罗尔定理
总习题三详解a_a-ba-b1.若00，试证1+xIn(1 + xx分析：由于x>0时<ln(1+x)<x可表示为X1+x1+xxIn(1 + x)容易想到，对函数f(t)=ln(1+t)，在[0,x]区间上应用拉格朗日中值x定理.证明：设函数f(t)=ln(1+t)，则其在[0,x|上连续，在(0,x)内可导，故其满足
总习题三详解 1. 若 0 b a ，试证 ln a b a a b a b b − − . 分析：首先将不等式 ln a b a a b a b b − − 写为 1 ln ln 1 a b a a b b − − ， 由 ln ln a b a b − − 可以想到，对函数 f x x ( ) ln = ，在区间 b a, 上应用拉格朗日中值定理 证明：根据题意，设函数 f x x ( ) ln = ，则其在 b a, 上连续， ( , ) b a 内可导 (0 ) b a ，故其满足拉格朗日中值定理条件，所以有 f a f b f a b ( ) ( ) ( )( ) − = − ， 即 1 ln ln ( ) ( ) a b a b b a − = − ， ln ln 1 a b a b − = − ， 因为 b a ，所以 1 1 1 a b ，因此有 1 ln ln 1 a b a a b b − − ， 即 ln a b a a b a b b − − （ b a ）. 当 a b = 时等式成立，故有 ln a b a a b a b b − − . 2. 若 x 0 ，试证 ln(1 ) 1 x x x x + + 分析：由于 x 0 时 ln(1 ) 1 x x x x + + 可表示为 1 ln(1 ) 1 1 1 x x x + + ，由 ln(1 ) x x + 容易想到，对函数 f t t ( ) ln(1 ) = + ，在 0, x 区间上应用拉格朗日中值 定理. 证明：设函数 f t t ( ) ln(1 ) = + ，则其在 0, x 上连续，在 (0, x) 内可导，故其满足
拉格朗日中值定理条件，所以有f(x)-f(0)= f'(5)(x-0)(00时1因为0b>0时，不等式nb"-"(a-b)1时成立3.分析：由不等式nb"-l(a-b)1, b1),即有因为bl,所以b"-l <="-l <a"-,nb"-l <n="-l <na"-l,a"-b"nb"-1<na"-1因此，a-b即
拉格朗日中值定理条件，所以有 f x f f x ( ) (0) ( )( 0) − = − (0 ) x ， 即 1 ln(1 ) ln1 ( ) , 1 x f x x + − = = + ln( 1) 1 1 x x + = + ， 因为 x ，所以 1 1 1 x 1 1 1 + + ， 1 ln( 1) 1 x x x + + ，从而当 x 0 时 有 ln(1 ) 1 x x x x + + ． 3. 证明：当 a b 0 时，不等式 1 1 ( ) ( ) n n n n nb a b a b na a b − − − − − 在 n 1 时成立. 3. 分 析 ： 由 不 等 式 1 1 ( ) ( ) n n n n nb a b a b na a b − − − − − 可表示为 1 1 ( ) n n n n a b nb na a b − − − − ，容易想到，对函数 ( ) n f x x = ，在区间 b a, 上应用拉格 朗日中值定理. 证明：设函数 ( ) n f x x = ，则此函数在区间 b a, 上连续，在 (b a, ) 内可导，故其满 足拉格朗日中值定理条件，所以有 ( ) ( ) ( )( ) n n f a f b a b f a b − = − = − = 1 ( ) n n a b − − （ n 1，b a ）， 即有 ( ) 1 1 n n a b n n n a b − − = − ， 因为 b a ， n 1 ，所以 1 1 1 1 1 1 , n n n n n n b a nb n na − − − − − − ， 因此， 1 1 n n n n a b nb na a b − − − − ， 即
nb"-'(a-b)11~002Y(7) limlim(8)1nsnxlimlim (cot(9)(10)x-→0*-0-(12) lim x in(e-1)(11) limcosxx-→0+sectanx-xcos"(1) lim=lim解：limx-0 1-cosxx→>01-cOSxx-0 x-sin x-2cos-3 x(-sin x)2limcos-3 x= limx→>0x-→0sinx= 2;2xet?4e-1elim(2)lim2limx-o sinxx-0 cosx-1x-0-sinx-x=2;SOREInsinxcotxlimlimlim(3)T-2x)22(元-2x)(-2)4元+8x元（元-1CSCX= limlim88x sin*x
1 1 ( ) ( ) n n n n nb a b a b na a b − − − − − . 4.求下列极限. (1) 0 tan lim x sin x x → x x − − ； (2) 2 0 1 lim cos 1 x x e → x − − ； (3) 2 2 ln sin lim x ( 2 ) x x → − ； (4) 0 ln tan 7 lim x ln tan 2 x x → + ； (5) 1 lim(1 ) tan x 2 x x → − ； (6) 1 lim 1 x x x e → − ； (7) 2 1 2 1 lim x→ x x 1 1 − − − ； (8) 1 1 lim x ln ln x → x x − ； (9) tan 0 1 lim x x x → + ； (10) ( ) 1 ln 0 lim cot x x x → + ； (11) ( ) 2 2 lim cos x x x − − → ； (12) 1 ln( 1) 0 lim x e x x + − → ． 解： （1） 0 tan lim x sin x x → x x − − 2 2 1 cos 0 0 sec 1 1 lim lim 1 cos 1 cos x x x x → → x x − − = = − − ( ) 3 3 0 0 2cos sin lim 2limcos x x sin x x x x − − → → − − = = = 2 ； （2） 2 0 1 lim cos 1 x x e → x − − 2 2 0 0 2 lim 2lim sin sin x x x x xe e x x x → → = = − − =−2 ； （3） 2 2 ln sin lim x ( 2 ) x x → − ( ) cos sin 2 2 cot lim lim 2( 2 ) 2 4 8 x x x x x x x → → = = − − − + 2 2 csc lim x 8 x → − = 2 2 1 1 lim 8 sin x x → = −
187 sc27x7In tan 7xsin2xcos2xtan7xlimlim(4)lim2sec*2x21~0*+ In tan 2xr-→>0+sin7xcos7xx-→0+tan2x7-71sin4x4cos4xlimlim=2x~0*sin14x2 x→0+14cos14x27=1-×=2-11-x元xlim=lim(5) lim(1-x)tan=2csc2元Xx-→1 cot xx-→1x→1222元Xlimsin2元-1元一1-erer-1limlimlimxex(6)-xx-+00X-00X-→001=limex=1:x->02-(x+1)2x +1= limlim(lim(7)大x-→>1-1x-→1(x-1)(x+1)x-i (x-1)(x+1)Xx-111-lim-lim2x- (x+1)- (x-1)(x+1)11-x-1x=lim(8)lim(=lim1lnxx-→>1lnxx→1 lnxx-→1Y=-limx =-1:x-→1tan tanx.In!-lim* = ex-o* tan x.ln xlim=lime(9)X0+x-→0*
18 =− ； （ 4 ） 0 ln tan 7 limx ln tan 2 xx → + 22 sec 7 tan 7 sec 2 0 0 tan 2 7 7 sin 2 cos2 lim lim 2 2 sin 7 cos7 xxx x x x x x x x → → + + = = 0 0 7 sin 4 7 4cos4 lim lim 2 sin14 2 14cos14 7 2 1 2 7 x x x x x x → → + + = = = = （ 5 ） 1 lim(1 ) tan x 2x x → − 2 1 1 2 2 2 1 1 lim lim cot csc x x x x x → → − − = = − 2 1 2 limsin x 2 x → = 2 = ； （ 6 ） 1 lim 1 x x x e → − ( ) 1 1 2 1 2 1 lim lim x x x x x e e xx − → → − − − = = − 1 lim x x e → = ＝１； （ 7 ） 2 1 2 1 lim( ) x→ x x 1 1 − − − ( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 2 1 1 lim lim x x 1 1 1 1 x x → → x x x x − + − + = = − + − + ( )( ) ( ) 1 1 1 1 lim lim x x 1 1 1 x → → x x x − = − = − − + + 12 = − ； （ 8 ） 1 1 lim( ) x ln lnx → x x − 1 1 1 1 1 lim lim x x ln x x → → x − − = = 1 limx x → = − =− 1 ； （ 9 ） tan 0 1 lim x x x → + 0 1 tan .ln lim tan .ln 0 lim x x x x x x e e → + + − → = =
-sin?x-lim sin.x-lim-lim-.lim sinxx=ex-0*csc2xer~ot=er-0+ xX→0=1e(2)lim In(cotx)lim1-xX→0+x)inx = lim ei(cotx)nx0x0+(10) lim (cot x)=eX-0*limcc)12xx11- xX→0+lim-lim=ex→0+sinxcosx→0+2sin.xcosx=e2e-sinxcos1(元-2x)limIn cos.xlim(2)limX7224cotx(r-2x)2元-2x(11) lim (cos)eex-(π-2x)sin2 x[2(元-2 x)(-2)limlim4-1cSc~x=e° =1=e=e1lim-n1In.xlim x i(e-)=ex-0*me-)= lim ec-)(12)x-→0x->0+1limexlim -!lim-ex=ex-ote'+xet=er~0*xere_l=e=e.5.证明y=2x-x2在区间(0,1)上单调增加，而在区间(1,2)上单调减少。证明：因为=/2x-x2，所以2x-x2≥0，解得0x2，故函数的定义域为[0,2]，又因为2-2x/2x-x(x±0,x±22/2x-x[1-x>02(1- x)所以xE(0,2)时y,即00，函数单调增加，[o<x<2·即1<x<2时<0, 两数单调减少,6.求下列函数的单调区间
2 2 0 0 0 0 1 sin sin lim lim lim . lim sin csc 0 1 x x x x x x x x x x x e e e e → → → → + + + + − − − = = = = = （10） ( ) 1 ln 0 lim cot x x x → + ( ) ( ) ( ) 1 2 cot 0 1 ln 0 csc ln cot lim 1 lim ln cot ln 0 lim x x x x x x x x x x e e e → + → + + − → = = = ( ) 1 2 cot 0 0 0 csc lim 1 2 lim lim sin cos 2sin cos x x x x x x x x x x x x e e e → + → → + + − − − = = = 1 e = ； （11） ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 sin cos ln cos lim 1 2 lim ( 2) lim 2 2 4 cot 2 2 2 2 lim cos x x x x x x x x x x x x x e e e − − → − → → − − − − − − − − − → = = = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 ( 2) 2 sin lim lim 4 1 csc 0 1 x x x x x x e e e − − → → − − − − − − = = = = （12） 1 ln( 1) 0 lim x e x x + − → 1 ln ln( 1) ln( 1) 0 ln lim 0 lim x x x e e x x x e e − → + − → + = = 1 1 0 1 0 0 lim 1 lim lim x x x x x x x x x e x x e e e xe e xe e e e e → + + + − → → − + = = = = ． 5. 证明 2 y x x = − 2 在区间 (0,1) 上单调增加，而在区间 (1, 2) 上单调减少。 证明：因为 2 y x x = − 2 ，所以 2 2 0 x x − ，解得 0 2 x ，故函数的定 义域为 0,2 ，又因为 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0, 2 2 2 x y x x x x x x − = − = − ， 所以 x(0,2) 时 ( ) 2 2 1 2 2 x y x x − = − 中的分母恒大于 0，当 1 0 0 2 x x − ，即 0 x 时 y 0 ，函数单调增加，当 1 0 0 2 x x − ，即 x 2 时 y 0 ，函数单调减少， 6. 求下列函数的单调区间
(2) y=2x2-lnx :(1) y=x-er :(3) y=x-ln(1+x):解：（1）因为y=xe，所以函数定义域为(-o0,+oo）对函数求导：=1-er,令y=0，得到x=0为驻点，x=0将定义域(-o0,+)分成两个子区间，列表如下：x0(-0,0)(0, +)+0yy个↓所以y=x-e"在(-oo,0)单调增加，y=x-e°在(0,+)单调减少；(2）因为y=2x2-lnx，所以函数定义域为(0,+o)，对函数求导：=4x_！,，令y=0，得到x=舍去）为驻点，（x22x将定义域(0,+o)分成两个子区间，列表如下：X=2x1-2(1(α),+)0+山y+个工所以y=2x2-lnx在0内单调减少，y=2x2-lnx在2内单调增加：（3）因为y=x-ln(1+x)，所以1+x>0，x>-1，即函数的定义域为(-1, +)
(1) x y x e = − ； (2) 2 y x x = − 2 ln ； (3) y x x = − + ln(1 ) ． 解：（1）因为 x y x e = − ，所以函数定义域为 (− + , ) ， 对函数求导： 1 x y e = − ,令 y = 0 ，得到 x = 0 为驻点， x = 0 将定义域 (− + , ) 分成两个子区间，列表如下： x (−,0) 0 (0,+) y + 0 − y 所以 x y x e = − 在 (−,0) 单调增加， x y x e = − 在 (0,+) 单调减少； （2） 因为 2 y x x = − 2 ln ，所以函数定义域为 (0,+) ， 对函数求导： 1 y x4 x = − ，,令 y = 0 ，得到 1 2 x = 为驻点，（ 1 2 x = − 舍去） 1 2 x = 将定义域 (0,+) 分成两个子区间，列表如下： x 1 0, 2 1 2 1 , 2 + y − 0 + y 所 以 2 y x x = − 2 ln 在 1 0, 2 内单调减少， 2 y x x = − 2 ln 在 1 , 2 + 内单调增加； （3）因为 y x x = − + ln(1 ) ，所以 1 0 + x ， x − ，即函数的定义域为 (− + 1, )
X对函数求导得：y'=1令y=0，得到x=0为驻点，1+x 1+xx=0将定义域-1,+oo)分成两个子区间，列表如下：x0(-1,0)(0, +)0+y个+所以y=x-ln(1+x)在(0,+oo)内单调增加，y=x-ln(1+x)在(-1,0)内单调减少.7．证明下列不等式当x>0时，有1+xln(x+/1+x)>/1+x2证明：设f(x)=1+xln(x+V1+x)-/1+x，有f'(x)=(1+xln9(x+ /1+x)-/1+x= In(x+/1+x)+(x+/+x)_ (I+x)2/1+x2x+/i+x?= In(x+ /1+x)当x>0时，f(x)>0,f(x)单调递增，故有f(x)>f(O)，即1+xln(x+/1+x)-/1+x2>0所以，当>0时有1+xln(x+ /1+x)> /1+x28．求下列函数的极值.(2) y=xe-x(1) y=x? lnx(4) y=(x-1)(2x+3)2(3)1lnx
对函数求导得： 1 1 1 1 x y x x = − = + + ，令 y = 0 ，得到 x = 0 为驻点， x = 0 将定义域 (− + 1, ) 分成两个子区间，列表如下： x (−1,0) 0 (0,+) y − 0 + y 所以 y x x = − + ln(1 ) 在 (0,+) 内单调增加， y x x = − + ln(1 ) 在 (−1,0) 内单调减少． 7. 证明下列不等式 当 x 0 时，有 2 2 1 ln( 1 ) 1 + + + + x x x x 证明：设 2 2 f x x x x x ( ) 1 ln( 1 ) 1 = + + + − + ，有 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 ln9( 1 ) 1 ( 1 ) (1 ) ln( 1 ) 1 2 1 ln( 1 ) f x x x x x x x x x x x x x x x x = + + + − + + + + = + + + − + + + = + + 当 x 0 时， f x( ) 0, f x( ) 单调递增，故有 f (x) f (0) ，即 2 2 1 ln( 1 ) 1 0 + + + − + x x x x ， 所以，当 x 0 时有 2 2 1 ln( 1 ) 1 + + + + x x x x ． 8. 求下列函数的极值. (1) 2 y x x = ln ； (2) 2 x y x e − = ； (3) ln x y x = ； (4) 3 2 y x x = − + ( 1) (2 3) ．