长春大学旅游学院教师教案20132014学年第二学期）课程名称：高等数学（线性代数）朱天晓任课教师：基础部所在分院（部）：长春大学旅游学院教务处制
长春大学旅游学院 教 师 教 案 （2 01 3 2 014 学年第 二 学期） 课 程 名 称： 高等数学（线性代数） 任 课 教 师： 朱天晓 所在分院（部）： 基础部 长 春 大 学 旅 游 学 院 教 务 处 制
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容第一章 行列式教学基本要求：（1）了解行列式的定义，掌握行列式的性质。（2）会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式的值。重点：行列式的性质：行列式按行（列）展开定理。第一节n阶行列式的定义、二阶行列式和三阶行列式1．二阶行列式(1)[a +a2x2 =b,二元线性方程组(2)[a2i,+a22x2=b,用加减消元法求得[(aua22 -ai2a21)x, = b,a22 -b,a12((aia22 -a12a21)x2 =b,a1 -b,a21引入行列式的b,a22 -b,a12X概念，帮助学生aiia22 —a12a21即(*)b,a-b,a21简化（*）的记Xaia22 —ai2a21忆定义1由22个数α,(i,j=1,2,3)构成的如下算式ana12=a22-a221叫做二阶行列式.记作D，a21a222页第
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 2 页 第一章 行列式 教学基本要求： （1）了解行列式的定义，掌握行列式的性质。 （2）会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式的值。 重点: 行列式的性质；行列式按行（列）展开定理。 第一节 n 阶行列式的定义 一、二阶行列式和三阶行列式 1. 二阶行列式 二元线性方程组 + = + = (2) (1) 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 用加减消元法求得 定义 1 由 2 2 个数 a (i, j =1,2,3) ij 构成的如下算式 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − 叫做二阶行列式.记作 D， 引 入 行 列 式 的 概 念 ，帮 助 学 生 简化（ * ）的记 忆 − = − − = − 11 22 12 21 2 2 11 1 21 11 22 12 21 1 1 22 2 12 ( ) ( ) a a a a x b a b a a a a a x b a b a 1 22 2 12 1 11 22 12 21 2 11 1 21 2 11 22 12 21 ( ) b a b a x a a a a b a b a x a a a a − = − − = − 即
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容anai2(1)即D==22-1221aaa22主对角线元素乘积取正号，次（1）式右端叫做二阶行列式的展开式.其中ai，αi2，α21，22，叫做对角线元素乘这个二阶行列式的元素，且a,(i=1,2;j=1,2)表示行列式D中第i行第j列积取负号的元素.（1）式右端的代数和是用对角线法则计算出来的。2.三阶行列式定义2由32个数a,(i,j=1,2,3)构成的如下算式a23a23a21a22=a223+23+a3232[a3a32a33aa23a2a22a33-a231叫做三阶行列式，记为D，即a2i3对角线法则仅适D=a21 a22a23=aa223+223a1+a13232用于二、三阶行列a31ag2a33式g22122i3-232上式右端叫做三阶行列式的展开式，它是6项的代数和，且每一项都是位于行列式中的不同行、不同列的三个元素之乘积.1０4例D=2 -1 2=14-130二、n阶行列式的定义在三阶行列式D分别划去元素αi，αi2，α3所在的行和列，把剩下的由三阶行列式元素按原来的顺序构成的二阶行列式得到三个二阶行列式如下引入展开法则a22a23a23a2ia22a21a33aalas2a32aaas第3页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 3 页 即 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a D = = − （1） （1）式右端叫做二阶行列式的展开式.其中 11 a ， 12 a ， 21 a ， 22 a ，叫做 这个二阶行列式的元素，且 a (i =1,2; j =1,2) ij 表示行列式 D 中第 i 行第 j 列 的元素. （1）式右端的代数和是用对角线法则计算出来的。 2. 三阶行列式 定义 2 由 2 3 个数 a (i, j =1,2,3) ij 构成的如下算式 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 叫做三阶行列式，记为 D ，即 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D = = + + − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 上式右端叫做三阶行列式的展开式，它是 6 项的代数和，且每一项都是 位于行列式中的不同行、不同列的三个元素之乘积. 例 1 3 0 2 1 2 1 0 4 − D = − =14 二、n 阶行列式的定义 在三阶行列式 D 分别划去元素 11 a ， 12 a ， 13 a 所在的行和列，把剩下的 元素按原来的顺序构成的二阶行列式得到三个二阶行列式如下 32 33 22 23 a a a a ， 31 33 21 23 a a a a ， 31 32 21 22 a a a a 主 对 角 线 元 素 乘 积 取 正 号 ，次 对 角 线 元 素 乘 积取负号 对角 线法则仅适 用于二、三阶行列 式 由 三 阶 行 列 式 引入展开法则
长春大学旅游学院课程教案用纸教案内容教学设计将它们依次叫做元素a，ai2，ag,的余子式，记为Mn，Miz2，Ms，即a2a23a2123a21a22M13=Mu=M/2=a32a33a31a33a31a32记 A =(-1)l*I M, A2 =(-1)*2 Mi2 A13 =(-1)l+3 M13 , 将 A1, A2 , A13分别叫做元素ai，a2，αi3的代数余子式一般地，三阶行列式D中元素a,的余子式是是指将D中第i行，第j列注意M,与Aij的各元素划去后剩余的元素按原来的顺序构成的行列式，记为M，而αa,的代区别数余子式为 A,=(-1)*" M,(i,j=1,2,3).定义3由n?个数组成的如下算式aa2..na21a22a2r=aA,+a2A2+...+anAaman2a..叫做n阶行列式，记作D，即较难理解，速度Jaai2.an放慢a21a22a=aiAt+a242 +.+anA,=Za,A,D=j=lanan2.amm其中A,是元素a,j=1,2,n)的代数余子式例计算四阶行列式D的值X0-2020采用不同行D05-10（列）展开300630-4解：a2=0,ai4=0,A=(-1)*0 50=18=90, A3006
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 4 页 将它们依次叫做元素 11 a ， 12 a ， 13 a 的余子式，记为 M11，M12，M13 ，即 32 33 22 23 11 a a a a M = ， 31 33 21 23 12 a a a a M = ， 31 32 21 22 13 a a a a M = 记 11 1 1 11 A ( 1) M + = − ， 12 1 2 12 A ( 1) M + = − ， 13 1 3 13 A ( 1) M + = − ，将 A11，A12 ，A13 分别叫做元素 11 a ， 12 a ， 13 a 的代数余子式 一般地，三阶行列式 D 中元素 aij 的余子式是是指将 D 中第 i 行，第 j 列 各元素划去后剩余的元素按原来的顺序构成的行列式，记为 Mij .而 aij 的代 数余子式为 = (−1) ( , =1,2,3) + A M i j ij i j ij . 定义 3 由 2 n 个数组成的如下算式 n n n n nn n n a A a A a A a a a a a a a a a 11 11 12 12 1 1 1 2 21 22 2 11 12 1 . . . . . . . = + ++ 叫做 n 阶行列式，记作 D ，即 n n n n nn n n a A a A a A a a a a a a a a a D 11 11 12 12 1 1 1 2 21 22 2 11 12 1 . . . . . . . = = + ++ = = n j a j A j 1 1 1 其中 A1 j 是元素 ( 1,2, , ) a1 j j = n 的代数余子式. 例 计算四阶行列式 D 的值 3 0 0 6 1 0 5 0 2 3 0 4 4 0 2 0 − − − D = 解： 0, 0, a12 = a14 = 18 3 0 6 1 0 0 2 3 4 90, ( 1) 0 0 6 0 5 0 3 0 4 ( 1) 1 3 13 1 1 11 − = − = = − − = − + + A A 注 意 M ij 与 Aij 的 区别 较 难 理 解 ，速 度 放 慢 采用不同行 （列）展开
长春大学旅游学院课程教案用纸教案内容教学设计所以由定义3得D=4×90-2×18=324例计算n阶行列式D的值（D叫做下三角行列式）0aua300000a21a22a44..a43,.=ajia(-1)/D:.=aa22a33*ammaalan2aunJan3an4..ann...3-1 2|3-51例DT=求Al +Ai2 +A3 +A14,2011-53稍难，可选讲-3-或留做思考题解Au+Ai2+A3+A1432-4第二节n阶行列式的性质ainaa2注意：行列式的a2azna21将n阶行列式D=定义不适合计aniamnan2.算行列式的值，因此有必要探的行与列互换（不改变它们的前后顺序）后得到一个新的行列式讨其性质a1a21anlai2a22.an2DT=anaan..amn称DI为行列式D的转置行列式.显然D也是D的转置行列式，于是也称D与DI互为转置行列式.性质1行列式转置后其值不变，即D=DT由此性质可知，行列式的性质凡是对行成立的对列也成立第5页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 5 页 所以由定义 3 得 D = 490−218 = 324 例 计算 n 阶行列式 D 的值（ D 叫做下三角行列式） an an ann a a a D . . . . . . 0 0 . 0 1 2 21 22 11 = nn n n nn a a a a a a a a a a = a a − = = + 11 22 33 3 4 43 44 33 1 1 11 22 . . . . . . 0 0 . 0 ( 1) T 11 12 13 14 11 12 13 14 3 1 1 2 5 1 3 4 . A A A A , 2 0 1 1 1 5 3 3 1 1 1 1 1 1 0 5 A A A A 4 1 3 1 3 2 4 1 3 D − − − = + + + − − − − + + + = = − − − − 例 求 解 第二节 n 阶行列式的性质 将 n 阶行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D . . . . . . . 1 2 21 22 2 11 12 1 = 的行与列互换（不改变它们的前后顺序）后得到一个新的行列式 n n nn n n T a a a a a a a a a D . . . . . . . 1 2 12 22 2 11 21 1 = 称 T D 为行列式 D 的转置行列式.显然 D 也是 T D 的转置行列式，于是也称 D 与 T D 互为转置行列式. 性质 1 行列式转置后其值不变，即 T D = D . 由此性质可知，行列式的性质凡是对行成立的对列也成立. 稍难，可选讲 或留做思考题 注 意 ：行 列 式 的 定 义 不 适 合 计 算行列式的值， 因 此 有 必 要 探 讨其性质
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容性质2互换行列式的任意两行（列），行列式变号，由三阶行列式互换i,j两行（列）记为r台r(c,台c,)归纳总结性质推论若行列式中有两行（列)元素完全相同，则行列式为零性质3行列式某一行(列)中各元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式.第i行(列)乘以数k，记为kr(kc.)推论行列式中某行(列)的元素的公因子可提到行列式符号的外面.性质4行列式中若有两行(列)元素对应成比例，则此行列式等于零性质5若行列式某一行(列)的所有元素都是两数之和，则该行列式可表示为两个行列式的.例如第；行的各元素都是两数之和，性质6把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个非零数k加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。（用数k乘第i行（列）加性质6重点讲解，经常使用到第j行（列）上，记作kr+r,(c,+c)性质7行列式D等于它的任一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即D=aA+ai2A2++amA(i=1,2,",n)或D=a,A4, + a2,A, ++amA,(j =1,2,",n)这个性质也叫做行列式按（列）展开法则，此性质的重要推论如下推论行列式任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即anA,n+aiz24,2++anAm=0(i+j）或ayA,+az,A2, +..+amA,=0(i+ i)31-12[2 3 -4]1-53-1 00例计算D==18计算D=1202030612-53[211入例已知行列式D==0，求元的值.得=1或=-2.[116页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 6 页 性质 2 互换行列式的任意两行（列），行列式变号， 互换 i, j 两行（列）记为 ( ) i j i j r r c c . 推论 若行列式中有两行(列)元素完全相同，则行列式为零. 性质 3 行列式某一行(列)中各元素都乘以同一个数 k ，等于用数 k 乘 以此行列式.第 i 行(列)乘以数 k ，记为 ( ) i i kr kc 推论 行列式中某行(列)的元素的公因子可提到行列式符号的外面. 性质 4 行列式中若有两行(列)元素对应成比例，则此行列式等于零. 性质 5 若行列式某一行(列)的所有元素都是两数之和，则该行列式 可表示为两个行列式的.例如第 i 行的各元素都是两数之和， 性质 6 把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个非零数 k 加 到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变.（用数 k 乘第 i 行（列）加 到第 j 行（列）上，记作 ) i j i j kr + r（c + c 性质 7 行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与对应的代数余子 式乘积之和，即 ( 1,2, , ) D = ai1Ai1 + ai2Ai2 ++ ainAin i = n 或 ( 1,2, , ) D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + anjAnj j = n 这个性质也叫做行列式按（列）展开法则，此性质的重要推论如下 推论 行列式任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数 余 子 式 乘 积 之 和 等 于 零 . 即 0 (i j) ai1Aj1 + ai2Aj2 ++ ai nAj n = 或 0 (i j) a1i A1 j + a2i A2 j + + aniAnj = 例 计算 3 0 6 1 0 0 2 3 4 − − D = =18 计算 1 5 3 2 2 0 1 1 5 1 3 4 3 1 1 2 − − − − − D = =120 例 已知行列式 0 1 1 1 1 1 1 = = D ，求 的值. 得 =1 或 = −2. 由 三 阶 行 列 式 归纳总结性质 性 质 6 重点讲 解 , 经常使用
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容第三节克莱姆法则含有n个未知量n个方程的线性方程组a+a2x+..+amx,=ba2ix,+a22x2+..+anx,=b(1).-anixj+an2X2+..+ammXn=b,定理（克莱姆法则）如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即anai2aina21a22azn...D:±0anta.an2...则方程组（1）有唯一解D.3=D.D.注意该法则使(2)x,=,x=DDD用的范围其中D,(j=1,2,…,n)是用b,bzb,代替D中第j列所得到的n阶行列式，[2x -x2 +2x =1例用克莱姆法则求线性方程组3x,+4xz-x=0的解x +2x2 -3x =4D_3819D4623D,405X, =号，-2号，-24-12Dau +a2X2+...+anx,=0a21x+a22X2+...+a2mx,=0(4)线性方程组[amx,+a2x,+..+amx,=0叫做齐次线性方程组.显然，xX,=xz=…=x，=0是方程组（4）的解，称这个解为齐次线性方程组（4）的零解；显然，齐次线性方程组（4）一定有零解.如果方程组（4）的一个解中x，x2，，x不全为零，则称该解为齐次线性方程组（4）的非零解.7页第
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 7 页 第三节 克莱姆法则 含有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组 + ++ = + ++ = + ++ = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 （1） 定理（克莱姆法则）如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即 0 . . . . . . . 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n nn n n a a a a a a a a a D 则方程组（1）有唯一解 D D x 1 1 = ， D D x 2 2 = ，.， D D x n n = （2） 其中 D ( j 1,2, ,n) j = 是用 b b bn , , 1 2 代替 D 中第 j 列所得到的 n 阶行列式， 例 用克莱姆法则求线性方程组 + − = + − = − + = 2 3 4 3 4 0 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 的解 12 19 24 1 38 1 = = = D D x ， 3 5 24 2 40 2 = = − = − D D x ， 12 23 24 3 46 3 = = − = − D D x 线性方程组 + ++ = + ++ = + ++ = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x （4） 叫做齐次线性方程组.显然， x1 = x2 = = xn = 0 是方程组（4）的解，称这 个解为齐次线性方程组（4）的零解；显然，齐次线性方程组（4）一定有 零解.如果方程组（4）的一个解中 n x，x ，，x 1 2 不全为零，则称该解为齐 次线性方程组（4）的非零解. 注 意 该 法 则 使 用的范围
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容第二章矩阵教学基本要求：（1）理解矩阵的概念。（2）了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵和对称矩阵、以及它们的性质。（3）掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、以及它们的运算规律。（4）了解方阵的幂与方阵的行列式。（5）理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件。（6）了解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。（7）掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的概念。（8）理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。重点：矩阵的乘法；逆矩阵；矩阵可逆的充分必要条件；矩阵的秩；用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。难点：矩阵运算性质的综合运用。矩阵是从很多实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，也是研究线性方程组的重要数学工具.本章主要介绍矩阵的概念，运算及其性质，矩阵的秩及其求法第一节矩阵的概念一、矩阵的定义定义由mxn个数a,(i=1,2,,m,j=1,2,n)排列m行n列的矩形表aua2an矩阵是一个数a21a22..a2nA:表，行列式是一个数值(amlam2amm叫做m行n列矩阵，简称mxn矩阵.其中a,叫做矩阵A的第i行第j列元素.为了方便（1）式也简记为A=（a）mm或Amn，用字母A、B、C等表示.二、常见的特殊矩阵所有元素均为零的矩阵叫做零矩阵，记为0m或0.(a在定义中当n=1时，A=(a,）mx叫做列矩阵am第8页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 8 页 第二章 矩阵 教学基本要求： （1）理解矩阵的概念。 （2）了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵和对称矩阵、以及 它们的性质。 （3）掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、以及它们的运算规律。 （4）了解方阵的幂与方阵的行列式。 （5）理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要 条件。 （6）了解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。 （7）掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的概念。 （8）理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。 重点:矩阵的乘法;逆矩阵;矩阵可逆的充分必要条件;矩阵的秩;用初等 变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。 难点：矩阵运算性质的综合运用。 矩阵是从很多实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，也是研究线性 方程组的重要数学工具.本章主要介绍矩阵的概念，运算及其性质，矩阵的 秩及其求法. 第一节 矩阵的概念 一、矩阵的定义 定义 由 mn 个数 a (i 1,2, ,m; j 1,2, , n) ij = = 排列 m 行 n 列的矩形表 = m m mn n n a a a a a a a a a A . . . . . . . 1 2 21 22 2 11 12 1 叫做 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵.其中 aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元 素.为了方便（1）式也简记为 A = aij mn ( ) 或 Amn ，用字母 A、B、C 等表示. 二、常见的特殊矩阵 所有元素均为零的矩阵叫做零矩阵，记为 0mn 或 0. 在定义中 当 n =1 时， = = 1 21 11 1 ( ) m ij m a a a A a ，叫做列矩阵. 矩 阵 是 一 个 数 表 , 行列式是一 个数值
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容当m=1时，A=(a,）m=(aai2…an）叫做行矩阵.当m=n时，A=(a,）叫做n阶方阵.(a00auai2.ar 00a21a22.a22a21形如A=或B=0(anlamnan2a.的n阶方阵叫做下（或上）三角形矩阵主对角线以外的元素都为零的n阶方阵，(an)0000a22.A=叫做n阶对角形矩阵00an主对角线上元素都是1的n阶对角形矩阵(10..0)001E=叫做n阶单位矩阵.00..1若两个矩阵A.B行数相等，列数也相等，则称矩阵A与B是同型矩阵.对同型矩阵A=(ag)mm,B=(b,）mn，若a,=b,(i=1,2,…,m,j=1,2,n)只有同型矩阵才有可能相等则称矩阵A与B相等，记做A=B第二节矩阵的运算一、矩阵的线性运算及其性质定义1设同型矩阵A=(a）mm,B=(b,)mn，则规定A与B的和为(au+b）mn，记做A+B，即只有同型矩阵a+bai2+bi2.ain+bn才能相加，且对a2i+b2a22+b2.a2m+bamA+B=应元素相加aml+bmlam2+bm2a..+b...9页P
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 9 页 当 m =1 时， ( ) ( ) A = aij 1n = a11 a12 a1n 叫做行矩阵. 当 m = n 时， A = aij nn ( ) 叫做 n 阶方阵. 形如 = an an ann a a a A . . . . . . 0 0 . 0 1 2 21 22 11 或 = nn n n a a a a a a B 0 . . . . . 0 . . 22 2 11 12 1 的 n 阶方阵叫做下（或上）三角形矩阵. 主对角线以外的元素都为零的 n 阶方阵， = ann a a A 0 0 . . . . . 0 . 0 0 . 0 22 11 ，叫做 n 阶对角形矩阵. 主对角线上元素都是 1 的 n 阶对角形矩阵 = 0 0 . 1 . . . . 0 1 . 0 1 0 . 0 E ，叫做 n 阶单位矩阵. 若两个矩阵 A,B 行数相等，列数也相等，则称矩阵 A 与 B 是同型矩阵. 对同型矩阵 A = aij mn B = bij mn ( ) , ( ) ，若 aij = bij (i =1,2, ,m; j =1,2, n) 则称矩阵 A 与 B 相等，记做 A = B 第二节 矩阵的运算 一、矩阵的线性运算及其性质 定义 1 设同型 矩阵 A = aij mn B = bij mn ( ) , ( ) ，则规定 A 与 B 的和为 ( ) , aij + bij mn 记做 A + B ，即 + + + + + + + + + + = m m m m mn mn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A B . . . . . . . 1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 只有同型 矩 阵 才有可能相等 只 有 同 型 矩 阵 才能相加 , 且 对 应元素相加
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容对于同型矩阵A、B、C，显然，矩阵加法有如下运算性质（1）交换律A+B=B+A(2）结合律（A+B)+C=A+(B+C)(3) A+(-A)=0,由此定义矩阵A与B的减法为A-B= A+(-B)=(aj -b,)mxn定义2常数k与矩阵A=(a）mx的乘积为(ka）m，记做kA或Ak，数乘矩阵乘每一(ka:kankai2:个元素，数乘行列kazikaznka2..即 kA=Ak=(ka,)mxn式乘某行(列)的...kamkamn元素kam2对任意常数k、入容易验证数与矩阵相乘有如下运算性质(1）分配律k(A+B)=kA+kB(k + 2)A= kA+ A（2）结合律(kA)A=k(A)= (kA)二、矩阵的乘法定义3 设矩阵A=(aa）mmB=(b,）ms，则A与B的乘积是矩阵[3]C=(c)ms,其中c=(aa;2am)....[bm左（列)=右=a,by,+a,b2,+...+abm(行)记作C=AB[47例8设A=[123]B=5求AB与BA.[6][4](48 12解 AB=[1 2 3] 5=[32]BA =10155[6]12186第10页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 10 页 对于同型矩阵 A、B、C ，显然，矩阵加法有如下运算性质 （1）交换律 A + B = B + A （2）结合律 (A + B) + C = A + (B + C) （3） A + (−A) = 0, 由此定义矩阵 A 与 B 的减法为 A − B = A + −B = aij − bij mn ( ) ( ) 定义 2 常数 k 与矩阵 A = aij mn ( ) 的乘积为 ( ) , ij m n ka 记做 kA 或 Ak ， 即 = = = m m mn n n ij m n k a k a k a k a k a k a k a k a k a k A Ak k a . . . . . . . ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 对任意常数 k、 容易验证数与矩阵相乘有如下运算性质 （1）分配律 k(A + B) = kA+ kB (k + )A = kA+ A （2）结合律 (k)A = k(A) = (kA) 二、矩阵的乘法 定 义 3 设 矩 阵 ( ) , ( ) , A = aij mn B = bij ns 则 A 与 B 的乘积是矩阵 ( ) , ij m s C c = 其中 = nj j j ij i i in b b b c a a a 2 1 1 2 ( ) = ai1b1 j + ai2b2 j ++ ainbnj 记作 C = AB 例 8 设 , 6 5 4 1 2 3 , A = B = 求 AB 与 BA. 解 32 6 5 4 1 2 3 = AB = = 6 12 18 5 10 15 4 8 12 BA 数乘 矩阵乘每一 个元素,数乘行列 式乘某行( 列) 的 元素 左 ( 列 ) = 右 ( 行 )