长春大学旅游学院教师教案(201320 14 学年第 一 学期)高等数学课程名称：肖桂荣任课教师：基础部所在分院（部）：长春大学旅游学院教务处制
长春大学旅游学院 教 师 教 案 （2 0 1 3 2 0 1 4 学年第 一 学期） 课 程 名 称： 高等数学 任 课 教 师： 肖桂荣 所在分院（部）： 基础部 长 春 大 学 旅 游 学 院 教 务 处 制
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容第1章函数与极限教学重点：函数概念、性质，基本初等函数及其图形；函数极限的概念，无穷小、极限的运算，连续的概念。教学难点：复合函数、极限的定义、函数连续性的判断。数第1节函、集合与区间1.集合是指具有某种属性的事物的全体集合的表示方法通常有列举法和描述法2.集合的运算3.区间和邻域二、函数1.函数的定义设有两个变量x和y，D是一个给定的非空数集.若按照某个法则f，使得对于每个数xED，变量y都有唯一确定的数值与之对应，则称这个对应法则「为定义在D上的函数，或称变量y是变量x的函数.记作y=f(x),xeD其中x叫做自变量，叫做因变量，数集D叫做函数的定义域，记作D，·当x取值xoED,时，所对应的y值，记作Jl=或f(xo)并称其为函数 y= f(x)在点 xo处的函数值, 此时也称函数 y=f(x)在点x。处有定义.显然，函数的定义域是指使函数有意义的点的集合.全体函数值所组成的集合叫做函数的值域，记作 f(D).即 f(D)=bv=f(x),xeD)特别，当*=f(m)是定义在正整数集N*的函数（叫做整标函数)，自变量n依次取1,2,3.….n时，相应的函数值按其顺序排成的一列数：f(I),f(2),. J(3),(n),..就是数列，数列x，中每一个数叫做数列的项，第n项x，叫做数列的通项.例如，(1)1,4,9,*,n...页2
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 2 页 2 第 1 章 函数与极限 教学重点：函数概念、性质，基本初等函数及其图形；函数极限的概念，无 穷小、极限的运算，连续的概念。 教学难点：复合函数、极限的定义、函数连续性的判断。 第 1 节 函 数 一、集合与区间 1. 集合是指具有某种属性的事物的全体 集合的表示方法通常有列举法和描述法 2.集合的运算 3.区间和邻域 二、函数 1.函数的定义 设有两个变量 x 和 y , D 是一个给定的非空数集.若按照某个法 则 f ，使得对于每个数 xD ，变量 y 都有唯一确定的数值与之对应，则称这个对 应法则 f 为定义在 D 上的函数，或称变量 y 是变量 x 的函数.记作 y = f (x), x D 其中 x 叫做自变量， y 叫做因变量，数集 D 叫做函数的定义域，记作 D f . 当 x 取值 Df x0 时，所对应的 y 值，记作 x x0 y = 或 ( ) 0 f x 并称其为函数 y = f (x) 在点 0 x 处的函数值.此时也称函数 y = f (x) 在点 0 x 处有定 义.显然，函数的定义域是指使函数有意义的点的集合.全体函数值所组成的集合叫做 函数的值域，记作 f (D) .即 f (D) = y y = f (x), xD . 特别,当 x f (n) n = 是定义在正整数集 + N 的函数（叫做整标函数），自变量 n 依 次取 1,2,3, n 时，相应的函数值按其顺序排成的一列数: f (1), f (2), f (3) , f (n), 就是数列，数列 n x 中每一个数叫做数列的项，第 n 项 n x 叫做数列的通项.例如， （1） 1,4,9, ,n 2
长春大学旅游学院课程教案用纸教案内容教学设计.1 + (-1)-114(2）223都是数列，它们的通项依次为及x, = F(n)=1+ (-)-Ix, =f(n)=n2函数的两个要素：1.定义域；2.对应法则.例 1 (x)=3x-1求f(1),F(-2),练习(x)=求f (2-x).例 2 (x+1)=x2+2x+3球 (x)中学数学中介绍了下面五种最基本的函数幂函数y=x"（u为实数），(1)(2）指数函数y=α(a>0,al)(2）(3）对数函数y=log。x(a>0,a±1)（4）三角函数y=sinx,y=cosxy=tanx,y=cotx（5）反三角函数y=arcsinxy=arccosxy=arctanx,y=arccotx它们的定义域、值域和图像（见表1-1）：2.显函数与隐函数三、分段函数当x>01x当x≥0当x= 0例如y=μ=y=sgn x=-x当x<0，符号函数当x<0-1都是函数在其定义域不同的部分，对应法则不能用一个统一的算式表示，而要用两个或两个以上的算式表示，这样的函数叫做分段函数.分段函数的表达式虽然用几个算式表示，但它表示的是一个函数而不是几个函数四、反函数五、复合函数与初等函数1.复合函数先看一个例子，设=，=-1，将2-1代入=中的"就得到一个新函数3页第
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 3 页 3 （2） n n 1 ( 1) , ,1 3 4 , 2 1 2, − − + 都是数列，它们的通项依次为 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 . n n n x f n n x f n n − − = = = = + 及 函数的两个要素：1.定义域；2.对应法则. 例 1 f (x) = 3x −1求f (1), f (−2). 练习 f (x) = x 2求f（2 − x）. 例 2 ( 1) 2 3 . f x + = x 2 + x + 求f（x） 中学数学中介绍了下面五种最基本的函数. （1） 幂函数 y = x ( 为实数)， （2） （2）指数函数 y = a (a 0,a 1) x ； （3）对数函数 y = log x(a 0,a 1) a ； （4）三角函数 y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x ； （5）反三角函数 y = arcsinx, y = arccosx y = arctan x, y = arc cot x . 它们的定义域、值域和图像（见表 1-1）. 2.显函数与隐函数 三、分段函数 例如 − = = 0 0 y x x x x x 当 当 ，符号函数 − = = = 1 0 0 0 1 0 y sgn x x x x 当 当 当 . 都是函数在其定义域不同的部分，对应法则不能用一个统一的算式表示，而要用两个 或两个以上的算式表示，这样的函数叫做分段函数.分段函数的表达式虽然用几个算 式表示，但它表示的是一个函数而不是几个函数. 四、反函数 五、复合函数与初等函数 1.复合函数 先看一个例子，设 y = u ， 1 2 u = x − ，将 1 2 x − 代入 y = u 中的 u 就得到一 个新函数
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容J=Vx?-1.称函数=-1是由函数=与=x-1复合而成的复合函数一般地，若是u的函数=f(u),而u又是×的函数u=p(x),且(x)函数值的全部或部分在(u)的定义域内，则√通过“成为×的函数，这个函数叫做由函数=f(u)与u=o(x)复合而成的复合函数，记作y= f[p(x)]其中“叫做中间变量.2.初等函数由基本初等函数及常数经过有限次四则运算和有限次复合构成，并且可以用一个算式表示的函数，叫做初等函数六、函数的几种特性1.函数的有界性（数列的有界性若存在正数M，使得对数列的所有项x，，恒有[x,|<≤M(n=1,2,...)则称数列x,是有界的)；2.函数的奇偶性；3.函数的单调性（数列的单调性若数列x满足x,≤xn+1(或x,≥xn+l)(n=1,2,-.)则称数列x，是单调递增的（或单调递减的），单递增数列及单调递减数列统称为单调数列.)4.函数的周期性.七、建立函数关系式例3将边长为α的一块正方形铁皮的四个角，各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起来做成一个无盖的方盒，试建立截掉的小正方形边长与所得方盒的容积的函数关系式.例4某种产品每台售价500元时，每月可销售1500台，每台售价降为450元时，每月可多销售250台.试求该产品的线性需求函数第4页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 4 页 4 1 2 y = x − ， 称函数 1 2 y = x − 是由函数 y = u 与 1 2 u = x − 复合而成的复合函数.一般地， 若 y是u 的函数 y = f (u) ，而 u 又是 x 的函数 u = (x) ，且 (x) 函数值的全部或 部 分在 f (u) 的定义域内，则 y 通过 u 成为 x 的函数，这个函数叫做由函数 y = f (u) 与 u = (x) 复合而成的复合函数，记作 y = f[(x)] . 其中 u 叫做中间变量. 2.初等函数 由基本初等函数及常数经过有限次四则运算和有限次复合构成，并且可以用一个 算式表示的函数，叫做初等函数. 六、函数的几种特性 1.函数的有界性（数列的有界性 若存在正数 M ，使得对数列的所有项 n x ,恒 有 xn M (n =1,2,） 则称数列 n x 是有界的）； 2.函数的奇偶性； 3.函数的单调性（数列的单调性 若数列 n x 满足 n n+1 x x （或 n n+1 x x ） (n =1,2, ) 则称数列 n x 是单调递增的（或单调递减的）.单递增数列及单调递减数列统称为单调 数列.） 4.函数的周期性. 七、建立函数关系式 例 3 将边长为 a 的一块正方形铁皮的四个角，各截去一个大小相同的小正方 形，然后将四边折起来做成一个无盖的方盒.试建立截掉的小正方形边长与所得方盒 的容积的函数关系式. 例 4 某种产品每台售价 500 元时，每月可销售 1500 台，每台售价降为 450 元时， 每月可多销售 250 台.试求该产品的线性需求函数
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容小结：作业：对下列的函数x，=f(n)求出f（）、f（2）、f（3），并考察当n无限增大时f(n)的变化如何(1) x, = (n)= n;(2)x,= f(n)=n;(3)x, = (n)= n;(4)x,= f(n) = 1+(二)第2节函数极限首先提问：(1) (I)=1,F(2)=4, f(3)=9,,f(n)=n; (n)=1+ (-1)(2) ()=2, J(2)=,(3)=4,(3)(1)=-1, f(2)=1, f(3)=-1,, f(n)=(-1)"; :(4) ()=号,(2)=-,(3)=-(m)=2当n无限增大时f(n）的变化如何一、数列极限1.数列极限的定义定义1设有数列x，，若存在常数，使得对任意给定的任意小的正数，总存在正整数N，当n>N时恒有Ix,-a<8成立，则称当n→时，数列x，以常数α为极限，也称数列x，收敛于α，记作lim X,=a或→a(n)若这样的常数不存在，则称数列x，没有极限，或称数列x，是发散的，2.limx=aα的几何意义由limx,=α定义可知，对任意给定的任意小的正数，总存在正整数N，从N+1项开始以后的所有项N+IMN+2都满足页5
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 5 页 5 小结： 作业：对下列的函数 x f (n) n = 求出f（1）、f（2）、f（3），并考察当n无限增大时f (n)的变化如何. (1) 2 2 2 ( ) ; (2) ( ) ; (3) ( ) ; (4) ( ) n n n n x f n n x f n n x f n n x f n = = = = = = = = 1 ( ) 1 . n n − − + 第 2 节 函数极限 首先提问： （1） 2 f f f f n n (1) 1, (2) 4, (3) 9, , ( ) ; = = = = （2） 1 1 4 ( 1) (1) 2, (2) , (3) , , ( ) 1 ; 2 3 n f f f f n n − − = = = = + ； （3） (1) 1, (2) 1, (3) 1, , ( ) ( 1) ; n f f f f n = − = = − = − ； （4） 1 1 1 1 (1) , (2) , (3) , ( ) . 2 4 8 2n f f f f n = = = = 当n无限增大时f (n)的变化如何. 一、数列极限 1.数列极限的定义 定义 1 设有数列 n x ，若存在常数 a ，使得对任意给定的任意小的正数 ，总存 在正整数 N ，当 n N 时恒有 x − a n 成立，则称当 n → 时，数列 n x 以常数 a 为极限，也称数列 n x 收敛于 a ,记作 xn a n = → lim 或 x →a(n →) n 若这样的常数不存在，则称数列 n x 没有极限，或称数列 n x 是发散的. 2. xn a n = → lim 的几何意义 由 xn a n = → lim 定义可知，对任意给定的任意小的正数 ，总存在正整数 N ，从 N +1 项开始以后的所有项 , , , xN+1 xN+2 都满足
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容[xn-aX时，恒有[F(x)- AlX改为x>X（或x<-X)，就可得到lim f(x)= A (或 lim f(x)= A)的定义.容易证明如下结论：lim J(x)=A的充分且必要条件是 lim f(x)=A= lim f(x)页P6
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 6 页 6 x − a n 即 a − x a + n 这表明在数轴上， , , , xN+1 xN+2 都落在开区间 (a −,a + ) 内，见下图。 3.极限数列的性质简介 定理 1 （收敛数列的有界性）若数列 n x 收敛，则数列 n x 一定有界. 定理 2 单调有界数列必有极限. 提问：有界数列必有极限吗？为什么. 二、函数极限 1. x → 时函数 f (x) 的极限的定义 引例：考察函数 当 时的变化趋势。 定义 设函数 f (x) 在 x 大于某正数 M 时有定义，若存在常数 A 使得对于任意给 定的任意小的正数 ，总存在一个正数 X ，使得当 x X 时，恒有 f (x) − A 成立，则常数 A 叫做 x → 时函数 f (x) 的极限，记作 lim ( ) = ( ) → ( → ) → f x A f x A x x 或 有时只需要考虑 x → +（或x → −） 时，函数 f (x) 的极限，那么只要把定义 3 的 x X 改为 x X（或x −X）,就可得到 f x A x = →+ lim ( ) （或 f x A） x = →− lim ( ) 的定义.容易证明如下结论： f (x) A x = → lim 的充分且必要条件是 = = →+ f x A x lim ( ) lim f (x) x→− x f x 1 ( ) = x →
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容2.x→x时函数f()的极限的定义定义 3设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义.若存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式00页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 7 页 7 2. 0 x → x 时函数 f (x) 的极限的定义 定义 3 设函数 f (x) 在点 0 x 的某一去心邻域内有定义.若存在常数 A ，对于任 意给定的正数 （无论它多么小）,总存在正数 ，使得当 x 满足不等式 0 x − x0 时，所对应的函数值 f (x) 都满足不等式 f (x) − A 则常数 A 叫做 0 x → x 时函数 f (x) 的极限，记作 0 0 lim ( ) ( ) ( ) x x f x A f x A x x → = → → 或 用 此 定 义 易 证 明 证 明 c c x x = → 0 lim （ c 为 常 数 ） ， 及 lim ( ) , 0) 0 0 + = + → ax b ax b a b a x x （ 均为常数且 . 例 1 求 lim (2 1) lim (3 5) 1 0 − + → → x x x x 及 练习 求 0 0 0 lim( 1) lim ( ) x x x x x x → → + − 及 3 . 0 x → x 时函数的左、右极限定义 左极限，记作 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim ( ) x x f x A f x A x x f x A − − − → = → → = 或 及 ； 右极限，记作 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim . x x f x A f x A x x f x A + + + → = → → = 或 （ ）及 左极限与右极限统称为单侧极限. 重要结论： f (x) A x x = → 0 lim 的充分且必要条件是： ( ) ( ) − + 0 = = 0 f x A f x 例 2 研究当 x → 0 时， f (x) = x 的极限是否存在. 练习：已知函数 + = − = 1 , 0 0 , 0 1 , 0 ( ) x x x x x f x ， 证明当 x → 0 时 f (x) 的极限不
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容存在.4.有极限函数的性质简介定理3 设 lim (x)=A(或lim (x)=A),而且 A0,若A>0(或AM）时，f(s)恒不为零且与A有相同的符号推论若当0X）时，(x)≥0（或(x)≤0）.且lim f(x)=A（或 lim f(x)=A)则A≥0 (或A≤0)小结：作业：P23,4.第3节无穷小量和无穷大量一、无穷小量1.无穷小量的定义2.有极限函数与无穷小量的关系定理1在自变量的某个变化过程中，函数f(x)以数A为极限的充分必要条件是：f(x)= A+α其中a是同一变化过程中的无穷小（证明略）3.无穷小量的性质（1）有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；（2）有限个无穷小量的积仍是无穷小量；（3）有界变量与无穷小量的积是无穷小量由性质（3）直接得到如下推论：推论常数与无穷小量的积也是无穷小量例 1 lim sin xx练习：求lim(x-2)cosx.二，无穷大量无穷大量的定义x→X0（或C）时无穷大量记作8页P
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 8 页 8 存在. 4.有极限函数的性质简介 定理 3 设 f (x) A x x = → 0 lim （或 f (x) A x = → lim ），而且 A 0 ，若A A 0( 0), 或 那么存在着某个正数 （或正数 M ）,当 0 x − x0 （或 x M ）时， f (x) 恒不为零且与 A 有相同的符号. 推论 若当 0 x − x0 （或当 x X ）时， f (x) 0 （或 f (x) 0 ）.且 f (x) A x x = → 0 lim （或 f (x) A x = → lim ）则 A 0 （或 A 0 ）. 小结： 作业： 22 P 3 4. ， 第 3 节 无穷小量和无穷大量 一、无穷小量 1.无穷小量的定义 2.有极限函数与无穷小量的关系 定理 1 在自变量的某个变化过程中，函数 f (x) 以数 A 为极限的充分必要条件是： f (x) = A+ 其中 a 是同一变化过程中的无穷小（证明略） 3.无穷小量的性质 （1）有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； （2) 有限个无穷小量的积仍是无穷小量； （3）有界变量与无穷小量的积是无穷小量. 由性质（3）直接得到如下推论： 推论 常数与无穷小量的积也是无穷小量 例 1 x x x sin lim → lim ( 2) cos . 2 x x x − → 练习：求 二．无穷大量 无穷大量的定义 . 0 x → x （或 x → ）时无穷大量记作
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容Im J(x)=00 (或 lim (x)=00) .三．无穷小量与无穷大量之间的关系定理2在自变量的同一个变化过程中，若f(x）是无穷大量，则是无是无穷大量穷小量；反之，若(1)是非零的无穷小量，则(x)第4节极限运算法则一、函数极限的四则运算法则定理1若函数f(x)和g(x)在x→x(或x→)时都存在极限，则它们的和、差、积、商（当分母的极限不为零时）在×→x(或x→)时也存在极限，且有(1) lim[ f(x)±g(x))= lim f(x)±lim g(x)(2) lim[ (x)·g(x)= lim f(x) lim g(x)(3) lim调调,(im g()*0)g(x)lim g(x)推论1常数C可以提到极限符号前，即 lim cf(a)=clim f(x)推论 2若lim f(x)=A,且m为自然数，则 lim[f(x)]" =[lim f(x)]" =Amlim x" = (lim x)" = xom特殊地，有x→Xo例 1 求 lim(x2 +4x-7)4x2-3x+1例2求 lim-1 3x2 6x + 5结论：若f(α）是基本初等函数，设其定义域为D，而xeD，则有lim f(x)= f(xo)页P9
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 9 页 9 = → lim ( ) 0 f x x x （或 = → lim f (x) x ）. 三．无穷小量与无穷大量之间的关系 定理 2 在自变量 的同一个变化过程中，若 f (x) 是无穷大量，则 f (x) 1 是无 穷小量；反之，若 f (x) 是非零的无穷小量 ，则 f (x) 1 是无穷大量． 第 4 节 极限运算法则 一、函数极限的四则运算法则 定理 1 若函数 f (x)和g(x) 在 ( ) x → x0 或x → 时都存在极限，则它们的和、差、 积、商（当分母的极限不为零时）在 ( ) x → x0 或x → 时也存在极限，且有 （1） lim[ f (x) g(x)] = lim f (x) lim g(x) （2） lim[ f (x) g(x)] = lim f (x)lim g(x) （3） ,(lim ( ) 0) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim = g x g x f x g x f x 推论 1 常数 c 可以提到极限符号前，即 lim cf (x) = c lim f (x) ; 推论 2 若 lim f (x) = A ，且 m 为自然数，则 m m m lim[ f (x)] =[lim f (x)] = A . 特殊地，有 m m x x m x x x x x0 lim (lim ) 0 0 = = → → 例 1 求 lim ( 4 7) 2 1 + − → x x x ； 例 2 求 3 6 5 4 3 1 lim 2 2 1 − + − + →− x x x x x 结论：若 f (x) 是基本初等函数，设其定义域为 D ，而 x0 D ，则有 ( ) ( ) 0 0 lim f x f x x x = →
长春大学旅游学院课程教案用纸教案内容教学设计练习：求lim(x-4)及limr-2x+2例 3 lim ±-2→2 x2 - 4例 4 求 lim 3x2 - 2x - 42x3+x2+54x2_3例5limx5x2+2x由例4、5、易知当a￥0,b±0,m和n为非负整数时有业60当n=mIim r"+ax++am当n>m+box"+b,x"-+.+b.当n0x（首先讲应用此极限做题）第10页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 10 页 10 练习： 求lim( 2 4)及 2 − → x x 2 1 lim x→2 x + . 例 3 4 2 lim 2 2 − − → x x x 例 4 求 2 5 3 2 4 lim 3 2 2 + + − − → x x x x x 例 5 2 2 4 3 lim x 5 2 x → x x − + 由例 4、5、易知当 a0 0,b0 0,m和n 为非负整数时有 = = + + + + + + − − → n m n m n m b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当 当 当 lim 0 0 0 1 0 1 1 0 1 二、复合函数的极限法则 定理 2 设函数 u =(x) 当 0 x → x 时的极限存在且 (x) a x x = → 0 lim ,而函数 y = f (u) 在点 u = a 处有定义且 f (u) f (a) u a = → lim ，则复合函数 y = f[(x)] 当 0 x → x 时的极限 也存在且等于 f (a) ，即 lim [ ( )] ( ) 0 f x f a x x = → 小结： 练习:求 3 9 lim 2 3 − − → x x x ； 3 1 2 lim 2 − + → x x x . 作业： 28 P 5 6 8 13. ， 第 5 节 两个重要极限 一、 第一个重要极限 0 sin lim 1 x x → x = （首先讲应用此极限做题）