第一章函数与极限总习题、自测题及其详解
第一章 函数与极限 总习题、自测题及其详解
总习题一1．设f(x)的定义域是闭区间[0,1]，求下列函数的定义域.() f(x+3) ;(2) f(e) :(3) f(lnx),[0,x≤0,,求Lf(x))设f(x)=2.[x,x>0.x+313用定义证明lim2x=2.x-→2(x2 -1) = 44：用定义证明limr-→1x-15.填空题(1)若f(x)=3x2-5，则f(sinx)=条件：(2)数列x收敛是数列x,有界条件：(3)对函数f(x)，f(x)及f(x)都存在且相等是limf(x)存在x-x+a存在，则a=(4）已知limx-2x2 +1b=(5)若lim(ax-b)=0，则a=x+1k(6)若 lim(1+)"=3,则k=x[x2-2xx0在x=0处连续则a=(7)若函数f(x)=xla,x=02L的可去间断点，若使f(x)在x=2处连续，则(8)x=2 是函数f(x)=x-2f(2)=(9)当×→1时函数(x)=(2x+3)→5，间等于多少使0x-1k时，1f(x)-5k0.01?
总习题一 1. 设 f x( ) 的定义域是闭区间 [0,1] ，求下列函数的定义域. ⑴ f x( 3) + ； ⑵ ( )x f e ； ⑶ f x (ln ) . 2. 设 0, 0; ( ) , 0. x f x x x = 求 f f x [ ( )]. 3 *. 用定义证明 3 1 lim x 2 2 x → x + = . 4 *. 用定义证明 2 1 2( 1) lim 4 x 1 x → x − = − . 5. 填空题 ⑴若 2 f x x ( ) 3 5 = − ，则 f x (sin ) = _； ⑵数列 n x 收敛是数列 n x 有界_条件； ⑶对函数 f x( ) ， 0 f x( ) − 及 0 f x( ) + 都存在且相等是 0 lim ( ) x x f x → 存在_条件； ⑷已知 2 2 lim x 2 x x a → x − + − 存在，则 a = _； ⑸若 2 1 lim( ) 0 x 1 x ax b → x + − − = + ，则 a = _ b = _； ⑹若 lim(1 ) 3 x x k → x + = ，则 k =_； ⑺若函数 2 2 , 0 ( ) , 0 x x x f x x a x − = = 在 x = 0 处连续则 a = _； ⑻ x = 2 是函数 2 2 ( ) 2 x x f x x − = − 的可去间断点，若使 f x( ) 在 x = 2 处连续，则 f (2) =_； (9)* 当 x →1 时函数 f x x ( ) (2 3) 5 = + → ， 问 等 于 多 少 使 0 | 1| − x 时 ， | ( ) 5| 0.01 f x − ？
6.选择题(1)函数f(x)=xsinx是(A)奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数(2)当x→0时f(x)=sin3x与x比较，它是x的无穷小：（A）高阶（B）等价（C）低阶（D）同阶但非等阶x+1(3)设f(x)=则x=0是f(x)x+x（B）连续点（A）可去间断点（C）跳跃间断点（D）第二类间断点(4)若函数f(x)在x=0处连续，则limf(x)=x→0(A) 0（B）不存在(C) 1(D) f(O)(5)已知f(3x+1)=1-x2，则(x)=(B)1-3x2(A) 1-(3x +1)2(C)1-- x2 + 2x)(D) =(2-37.求下列极限(x-1)?21(1) lim (2) lim(x-11n(3) lim(Vx2+x+1-Vx2-x+1)2T2(4) lim((5) limx+IYx->0 sinxx-sinx(6) lim(1(7)limx+cos.xV2x+1-3(9) lim((8) limVx-2-V2r-04tanx-sinx2x+(0) lima) lim(x32xx→0ro2°+3*-2(3) lim(1 +2x)sinx2)limx→0xX21n(4) lim(n+元n2+2元n?+n元111(a5) lim(1x22×3(n-l)xn
6. 选择题 ⑴函数 f x x x ( ) sin = 是_； (A)奇函数 （B）偶函数 （C）非奇非偶函数 ⑵当 x → 0 时 f x x ( ) sin3 = 与 x 比较，它是 x 的_无穷小； （A）高阶 （B）等价 （C）低阶 （D）同阶但非等阶 ⑶设 2 1 ( ) x f x x x + = + ，则 x = 0 是 f x( ) _； （A）可去间断点 （B）连续点 （C）跳跃间断点 （D）第二类间断点 ⑷若函数 f x( ) 在 x = 0 处连续，则 0 lim ( ) x f x → = _； （A）0 （B）不存在 （C）1 （D） f (0) ⑸已知 2 f x x (3 1) 1 + = − ，则 f x( ) =_； （A） 2 1 (3 1) − +x （B） 2 1 3 − x （C） 1 2 1 ( ) 3 x − − （D） 1 2 (2 2 ) 3 − + x x 7. 求下列极限 ⑴ 2 3 1 ( 1) lim x 1 x → x − − ； ⑵ 2 2 2 1 2 lim( ) n n → n n n + + + ； ⑶ 2 2 lim ( 1 1) x x x x x →+ + + − − + ； ⑷ 2 1 1 2 lim( ) x→− x x 1 1 + + − ； ⑸ 0 1 lim sin x x e → x − ； ⑹ 2 1 lim(1 )x x x − → − ； ⑺ sin lim cos x x x → x x − + ； ⑻ 4 2 1 3 lim 2 2 x x → x + − − − ； ⑼ 1 0 3 lim( ) 3 x x x → − ； ⑽ 3 0 tan sin lim x x x → x − ； ⑾ 2 3 2 lim( ) 2 x x x x + → + ； ⑿ 0 2 3 2 lim x x x→ x + − ； ⒀ 1 sin 0 lim(1 2 ) x x x → + ； ⒁ 2 2 2 1 2 lim( ) n 2 n → n n n n + + + + + + ； ⒂ 1 1 1 lim( ) 1 2 2 3 ( 1) n→ n n + + + − ；
secx-1(7)lim/1-5x(6)limx2x→0-→02x(18) lim1-02# +18.判断f(x)=ln(x+/1+x2)的奇偶性9证明奇函数与偶函数的乘积是奇函数10.证明f(x)=xe在(0,+oo)内单调递增11.设f(x)=x，求f(0+△r)-f(0)x?+ax+b=5，求a，b的值.12.设lim1 x→13.解答下列各题[1 μ≤1(1)设f(x)=，求ff(x);[0 ≥>1′(2)已知f(x)=sin x，[g(x)=1-x2，求函数p(x)的表达式及其定义域；2x(3)求 lim xsin x2 +1r(4)求 lim tan xsinx(5)已知当x→0时，(1-cosx)ln(1+x）是比xsinx"高阶的无穷小量，而xsinx"是比(e-1)高阶的无穷小量，求正整数n的值；(6)设x=10，xn+1=/6+x，（n=1,2,3.)，证明数列x极限存在，并求此极限；Y(7)已知lim=-l，求a的值；2°+3*+4(8)求 lim3sinx(9)已知lim(cosx-b)=5，求a及b的值；0pl
⒃ 2 0 sec 1 lim x x → x − ； ⒄ 0 lim 1 5 x x x → − ； ⒅ 1 1 0 2 1 lim 2 1 x x x → + − + . 8. 判断 2 f x x x ( ) ln( 1 ) = + + 的奇偶性. 9. 证明奇函数与偶函数的乘积是奇函数. 10. 证明 ( ) x f x x e = 在 (0 ) ，+ 内单调递增. 11. 设 f x x ( ) | | = ，求 f x f (0 ) (0) + − . 12. 设 2 1 lim 5 x 1 x ax b → x + + = − ，求 a ，b 的值. * 13 . 解答下列各题 (1)设 = 0 1 1 1 ( ) x x f x ，求 f { f [ f (x)]} ； (2)已知 f (x) = sin x ， 2 f[(x)] =1− x ，求函数 (x) 的表达式及其定义域； (3)求 1 2 lim sin 2 → x + x x x ； (4)求 − → x x x x 1 sin 1 lim tan 0 ； (5)已知当 x →0 时， (1 cos )ln(1 ) 2 − x + x 是比 n xsinx 高阶的无穷小量， 而 n xsinx 是比 ( 1) 2 − x e 高阶的无穷小量，求正整数 n 的值； (6)设 x1 =10， n n x = + x +1 6 (n =1,2,3) ，证明数列 n x 极限存在，并求此极限； (7)已知 0 1 1 lim 1 x x e → x x a − = − − ，求 a 的值； (8)求 x x x x x 1 0 3 2 3 4 lim + + → ； (9)已知 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，求 a 及 b 的值；
1-x2n(10)求函数f(x)=lim×的间断点，并指出其类型-1+x2n（这些题目都是硕士研究生入学统一考试试题，供大家学习参考）14.运输公司规定货物的吨/公里的运价为：在a公里内，每公里k元；超过a公里，超出4的部分每公里为试建立运价M和里程S之间的函数关系式-k;5
(10)求函数 x x x f x n n n 2 2 1 1 ( ) lim + − = → 的间断点，并指出其类型. （这些题目都是硕士研究生入学统一考试试题，供大家学习参考.） 14. 运输公司规定货物的吨/公里的运价为：在 a 公里内，每公里 k 元；超过 a 公里，超出 的部分每公里为 5 4 k；试建立运价 M 和里程 S 之间的函数关系式
总习题一详解1.设f(x)的定义域是闭区间[0,1]，求下列函数的定义域(1) f(x+3) ;(2) f(er) :(3) f(lnx),解：(1)因为f(x)的定义域是闭区间[0,1]，所以对于(x+3)有，0≤x+3≤1,即-3≤x≤-2，所以F(x+3)的定义域是[-3,-2];(2)因为f(x)的定义域是闭区间[0,1]，所以对于f(e)有，0≤e≤1,即x≤0，因此f(e*)的定义域是(-α0,0];(3)因为f(x)的定义域是闭区间[0,1]，所以对于f(lnx)有，0≤lnx≤1，也就是lnl0. 而 (a)≥0,xe R,所以 [()]= (t),解：f0,x≤0,[()]= (n)=即[x,x>0."3.用定义证明lim+3_！22xx+3证明：记F(x)=对于任意给定的任意小的正数6，要使2x13L3x+3[x+3-x812x2[2x|-2]x22x333就可以，即取X=只要>.因此，对于任意给定的任意小的正数ε，存在X262626三时，恒有则当x>X=26x+31<x2xx+31成立，所以lim62x-2
总习题一 详解 1.设 f x( ) 的定义域是闭区间 [0,1] ，求下列函数的定义域. ⑴ f x( 3) + ； ⑵ ( )x f e ； ⑶ f x (ln ) . 解： ⑴ 因为 f x( ) 的定义域是闭区间 0,1 ，所以对于 f x( +3) 有， 0 3 1 + x ， 即 − − 3 2 x ，所以 f x( +3) 的定义域是 − − 3, 2 ； ⑵ 因为 f x( ) 的定义域是闭区间 0,1 ，所以对于 ( ) x f e 有， 0 1 x e ，即 x 0 ， 因此 ( ) x f e 的定义域是 (−,0 ； ⑶ 因为 f x( ) 的定义域是闭区间 0,1 ，所以对于 f x (ln ) 有， 0 ln 1 x ，也就 是 ln1 ln ln x e ，所以 1 x e ，故 f x (ln ) 的定义域是 1,e ． 2．设 ( ) 0, 0 , 0 x f x x x = ，求 f f x [ ( )] . 解： 因为 ( ) 0, ( ) 0 ( ), ( ) 0 f x f f x f x f x = ，而 f x x R ( ) 0, , 所以 f f x f x ( ) = ( ) , 即 ( ) ( ) 0, 0, , 0. x f f x f x x x = = 3 .用定义证明 3 1 lim x 2 2 x → x + = 证明： 记 ( ) 3 2 x f x x + = 对于任意给定的任意小的正数 ，要使 ( ) 1 3 1 3 3 3 2 2 2 2 2 2 x x x f x x x x x + + − − = − = = = ， 只要 3 2 x 就可以，即取 3 2 X = .因此，对于任意给定的任意小的正数 ，存在 3 2 X = ， 则当 x 3 2 X = 时，恒有 ( ) 1 3 1 2 2 2 x f x x + − = − 成立，所以 3 1 lim x 2 2 x → x + = ．
2(x2 -1)4用定义证明limx-12(x2-1)证明：记f(x)则对于任意给定的任意小的正数，要使x[2(x2 -1)2x2-2-4x+2(x-1))2|x-1|<6,f(xx-1xx-1只要x-1<号就可以，即取S=0因此，对于任意给定的任意小的正数6，存在8=1222三时，恒有当0<x-1<8=2[(x)-A|=2]x-1]<222(x2-1)成立，所以limx-15.填空题(1)若(x)=3x2-5，则f(sinx)=条件.(2)数列x,收敛是数列x,有界条件.(3)对函数f(x)，f(x)及f(）都存在且相等是limf(x)存在-2-x+α存在，则a=(4)已知lim42x-2x2 +1(5)若lim(-ax-b)=0，则a=b=x+1x-→K(6)若 lim(1+=3，则k=-x2-2xX±0在x=0处连续则a：(7)若函数f(x)x=0x?-2x的可去间断点，若使F(x）在x=2处连续，则(8)x=2是函数f(x)=x-2f(2) =*(9)当x→1时函数f(x)=(2x+3)→5，问8等于多少，使0<x-1k8时，If(x)-5k0.01?
4 *. 用定义证明 2 1 2( 1) lim 4 x 1 x → x − = − 证明： 记 ( ) ( ) 2 2 1 1 x f x x − = − ，则对于任意给定的任意小的正数 ，要使 ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 4 4 4 1 1 x x x f x A x x − − − + − = − = − − ( ) 2 2 1 2 1 1 x x x − = = − − ， 只要 1 2 x − 就可以，即取 2 = 因此，对于任意给定的任意小的正数 ，存在 2 = ， 当 0 1 2 x − = 时，恒有 ( ) 2 1 2 2 f x A x − = − = 成立，所以 ( ) 2 1 2 1 lim 4 x 1 x → x − = − . 5.填空题 ⑴若 2 f x x ( ) 3 5 = − ，则 f x (sin ) = _. ⑵数列 n x 收敛是数列 n x 有界_条件. ⑶对函数 f x( ) ， 0 f x( ) − 及 0 f x( ) + 都存在且相等是 0 lim ( ) x x f x → 存在_条件. ⑷已知 2 2 lim x 2 x x a → x − + − 存在，则 a = _. ⑸若 2 1 lim( ) 0 x 1 x ax b → x + − − = + ，则 a = _ b = _. ⑹若 lim(1 ) 3 x x k → x + = ，则 k =_. ⑺若函数 2 2 , 0 , 0 ( ) x x x x a x f x − = = 在 x = 0 处连续则 a = _. ⑻ x = 2 是函数 2 2 ( ) 2 x x f x x − = − 的可去间断点，若使 f x( ) 在 x = 2 处连续，则 f (2) =_. (9) 当 x →1 时函数 f x x ( ) (2 3) 5 = + → ， 问 等于多少，使 0 | 1| − x 时 ， | ( ) 5| 0.01 f x − ？
解：(1)填f(sinx)=3sin2x-5因为f(x)=3x2-5，所以f(sinx)=3(sinx)-5=3sin2x-5(2)填充分条件因为由第1章第2节定理1知：若数列x,收敛，则数列x，一定有界，反之容易验证，若数列x,有界，数列x,不一定收敛.例如：-1，1，-1，，（-1)"，是有界数列，但这个数列是发散的.(3）填充分必要条件因为根据x→x时函数f(x）的极限定义以及左、右极限定义容易证明如下结论：limf(x)=A的充分必要条件是 lim f(x)=A=lim f(x)或((x)=A=f())(4)填a=-2二一±+一存在，且分母当×→2时的极限等于0，所以当×→2时分子必须趋于因为lim→2x-20,即lim（x2-x+a)=limx2-limx+a=2+a=0，所以a=-2(5)填a=1,b=-1x2 +1(1-a)x2-(a+b)x+1-b因为lim=0lim(x-b) =，而函数x+1x+1(1-a)x2-(a+b)x+1-b是x的有理分式函数，当x→00时分子分母均趋于0，当分子x+1x2项存在，原式极限趋于8；当分子x?不存在而x存在，原式极限趋于-（α+b)；若x2和x同时不存在，原式极限趋于0.所以有1-α=0,α+b=0，故a=1,b=-1(6)填k=ln3e=3，所以ln=kln°=k=ln3，故k=ln3.因为lim1+= lim(7)填a=-2因为函数(x)在x=0连续，所以limf(x)=f(），而x2-2xx(x-2)=lim(x-2)=-2，又因为f(0)=a,所以a=-2limlinX→>0x→0xx
解： ⑴ 填 ( ) 2 f x x sin 3sin 5 = − . 因为 ( ) 2 f x x = − 3 5 ，所以 ( ) ( ) 2 2 f x x x sin 3 sin 5 3sin 5 = − = − . ⑵ 填充分条件. 因为由第 1 章第 2 节定理 1 知：若数列 n x 收敛，则数列 n x 一定有界，反之容易验证，若数 列 n x 有界，数列 n x 不一定收敛.例如：-1，1，-1，.， ( 1) n − ,.是有界数列，但这个数列是 发散的. ⑶ 填充分必要条件. 因为根据 0 x x → 时函数 f x( ) 的极限定义以及左、右极限定义容易证明如下结论： ( ) 0 lim x x f x A → = 的充分必要条件是 ( ) ( ) 0 0 lim lim x x x x f x A f x → → − + = = 或( f x A f x ( 0 0 ) ( ) − + = = ). ⑷填 a =−2 因为 2 2 lim x 2 x x a → x − + − 存在，且分母当 x →2 时的极限等于 0，所以当 x →2 时分子必须趋于 0，即 lim x→ （ 2 x x a − + ) = 2 lim lim 2 0 x x x x a a → → − + = + = ，所以 a =−2 . ⑸ 填 a b = = − 1, 1. 因 为 2 1 lim( ) x 1 x ax b → x + − − + = ( ) ( ) 2 1 1 lim 0 x 1 a x a b x b → x − − + + − = + ，而函数 ( ) ( ) 2 1 1 1 a x a b x b x − − + + − + 是 x 的有理分式函数，当 x → 时分子分母均趋于 ，当分子 2 x 项存在，原式极限趋于 ；当分子 2 x 不存在而 x 存在，原式极限趋于 − + (a b) ；若 2 x 和 x 同时不存在，原式极限趋于 0.所以有 1 0, 0 − = + = a a b ，故 a b = = − 1, 1 . ⑹填 k = ln3. 因为 lim 1 lim 1 3 x k k x k x x k k e → → x x + = + = = ，所以 ln ln ln3 k e e = = = k k ，故 k = ln3. ⑺ 填 a =−2 因 为 函 数 f x( ) 在 x = 0 连 续 ， 所 以 ( ) ( ) 0 0 lim x x f x f x → = ， 而 ( ) ( ) 2 2 2 lim lim lim 2 2 x x x x x x x x → → → x x − − = = − = − ，又因为 f a (0) = ，所以 a =−2
(8)填f(2)=2x2-2xx2 -2x在X=2连续，因为f(x)所以f(2)，且imx-2x-2x2-2x = lim (x-2)limx=2，故f(2)=2limx-2x→2→2x-2(9)填8=0.005因为根据函数极限定义，因为x→1时函数f(x)=(2x+3)→5，所以lim(2x+3)=5这里F(x)-A=2x+3-5=|2x-2=2|x-1，对于任意给定任意小的正数8，存在8=6,当0x-1<8=号时，恒有[(x)-A|=2|x-1] <2×=82220.01成立，由F(x)-5<0.01，知=0.01，所以0.00526.选择题(1)函数f(x)=xsinx是(A)奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数(2)当x→0时f(x)=sin3x与x比较，它是x的无穷小.（A）高阶（B）等价（C）低阶（D）同阶但非等价x+1(3)设f(x)则x=0是f(x)X?+x（A）可去间断点（B）连续点（C）跳跃间断点（D）第二类间断点(4)若函数f(x)在x=0处连续，则lim(x)=(A) 0（B）不存在(C) 1(D) f(O)(5)已知f(3x+1)=1-x2，则(x)=(B) 1-3x2(C)1-(A) 1-(3x+1)2x +2x)(D)2.34解：(1)应选（B)理由是：因为(x)=xsinx，所以f(x)的定义域为(-,+o)关于原点对称，而f(-x)=-xsin(-x)=-x(-sinx)=xsinx=f(x)，所以f(x)是偶函数
⑻ 填 f (2 2 ) = 因 为 ( ) 2 2 2 x x f x x − = − 在 x = 2 连 续 ， 所 以 ( ) 2 2 2 lim 2 x 2 x x f → x − = − ， 且 ( ) 2 2 2 2 2 2 lim lim lim 2 x x x 2 2 x x x x x → → → x x − − = = = − − ，故 f (2 2 ) = . ⑼填 = 0.005. 因为根据函数极限定义，因为 x →1 时函数 f x x ( ) = + → (2 3 5 ) ，所以 ( ) 1 lim 2 3 5 x x → + = . 这里 f x A x x x ( ) − = + − = − = − 2 3 5 2 2 2 1 ，对于任意给定任意小的正数 ，存在 2 = ，当 0 1 2 x − = 时，恒有 f x A ( ) − = 2 1 x − 2 2 = 成立，由 f x( ) − 5 0.01 ，知 = 0.01 ，所以 0.01 0.005 2 = = . 6.选择题 ⑴函数 f x x x ( ) sin = 是_ (A)奇函数 （B）偶函数 （C）非奇非偶函数 ⑵当 x → 0 时 f x x ( ) sin3 = 与 x 比较，它是 x 的_无穷小. （A）高阶 （B）等价 （C）低阶 （D）同阶但非等价 ⑶设 2 1 ( ) x f x x x + = + ，则 x = 0 是 f x( ) _. （A）可去间断点 （B）连续点 （C）跳跃间断点 （D）第二类间断点 ⑷若函数 f x( ) 在 x = 0 处连续，则 0 lim ( ) x f x → = _. （A）0 （B）不存在 （C）1 （D） f (0) ⑸已知 2 f x x (3 1) 1 + = − ，则 f x( ) =_. （A） 2 1 (3 1) − +x （B） 2 1 3 − x （C） 1 2 1 ( ) 3 x − − （D） 1 2 (2 2 ) 3 − + x x 解： ⑴ 应选（B） 理由是： 因为 f x x x ( ) = sin ，所以 f x( ) 的定义域为 (− + , ) 关于原点对称，而 f x x x x x x x f x (− = − − = − − = = ) sin sin sin ( ) ( ) ( ) ，所以 f x( ) 是偶函数
(2)应选(D)sin3x= lim 3 sin 3xsin3x=3+1，所以当x→0时f(x）是x理由是：因为lim3lim3x3.xx-→0xx-→0x-→0的同阶但非等价无穷小(3)应选（D)x+1推在点x=0处无意义，所以x=0是函数的间断，而理由是：因为f(x)=X?+Xx+1x? +x=0)，故x=0是函数(x)的第二类无穷型间断点，即lim（因为lim0O0X+Xx+1→0第二类间断点，(4)应选(D)理由是：因为f(x)在x=0处连续，所以根据连续定义有limf(x)=f(0)(5)应选（C)理由是：因为(3x+1)=1-×，所以令1=3x+1(teR)，则x=号3t-)，故()=1-(号)f (0)=1-7.求下列极限() im (xr-1)?2(2) lim(r-1 x3-12n(3) lim(Vx+x+1-x-x+1)21(4) lim(5) limx-0 sinxx+1x-sinx(6) lim(1(7)limx+cosx2x+1-33.(8) lim(9) lim(Vx-2-V2x-→0tanx-sinx2x+3(10)limaDlim(x33→02x-2*+3*-2(13) lim(1 +2x)sin2) limx→0x2144) lim(n2+2元n?+元n'+n元
⑵ 应选（D） 理由是：因为 0 0 0 sin 3 sin 3 sin 3 lim lim3 3lim 3 1 x x x 3 3 xxx → → → x x x = = = ，所以当 x → 0 时 f x( ) 是 x 的同阶但非等价无穷小. ⑶ 应选（D） 理由是：因为 ( ) 2 x 1 f x x x + = + 在 点 x = 0 处无意义，所以 x = 0 是函数的间 断 , 而 2 0 1 lim x x → x x + = + （因为 2 0 lim 0) x 1 x x → x + = + ，故 x = 0 是函数 f x( ) 的第二类无穷型间断点，即 第二类间断点, ⑷ 应选（D） 理由是：因为 f x( ) 在 x = 0 处连续，所以根据连续定义有 ( ) ( ) 0 lim 0 x f x f → = . ⑸ 应选（C） 理由是： 因 为 ( ) 2 f x x 3 1 1 + = − ，所以令 t x t R = + 3 1( ) ， 则 1 3 t x − = ， ( ) 2 1 1 3 t f t − = − ，故 ( ) 2 1 1 3 x f x − = − ． 7. 求下列极限 ⑴ 2 3 1 ( 1) lim x 1 x → x − − ； ⑵ 2 2 2 1 2 lim( ) n n → n n n + + + ； ⑶ 2 2 lim ( 1 1) x x x x x →+ + + − − + ； ⑷ 2 1 1 2 lim( ) x→− x x 1 1 + + − ； ⑸ 0 1 lim sin x x e → x − ； ⑹ 2 1 lim(1 )x x x − → − ； ⑺ sin lim cos x x x → x x − + ； ⑻ 4 2 1 3 lim 2 2 x x → x + − − − ； ⑼ 1 0 3 lim( ) 3 x x x → − ； ⑽ 3 0 tan sin lim x x x → x − ； ⑾ 2 3 2 lim( ) 2 x x x x + → + ； ⑿ 0 2 3 2 lim x x x→ x + − ； ⒀ 1 sin 0 lim(1 2 ) x x x → + ； ⒁ 2 2 2 1 2 lim( ) n 2 n → n n n n + + + + + + ；