第二章导数与微分总习题、自测题及其详解
第二章 导数与微分 总习题、自测题及其详解
总习题二1．求下列函数的导数.x2 -5x+1，求f'(-1)，J(2),(1)已知f(x)=x3(3) y=(x3 -x)6(2) y=xsinxlnx :(5) y=sin'(2x-1) :(4) y=3sin(3x+5) ;(6) y=eV3x+I(7) y=ln'(x2) .2A(8) y=2 imx(9)y=arccos-x(10) y=earetan dk ,(11) y cosx=x sin3x (13) y=1 + xe(12) cos(xy)=x :;1- x(14) ysinx-cos(x-y)=0 :(15)y=)V1+x?x(x2 + 1)(17) =2xVr(16)yV(x?-1)2(18) y=(1+x2)si2．求下列函数的二阶导数(1) y= xer(2) =er(3)y:(4) y=lnsinxx(5) y=x :(6) y=sin(x+y)3.验证y=e sinx满足关系式y"-2y+2y=0114.验证y=ev+e-满足关系式xy"+！_4 V=0.21dy5.求下列各参变量方程中的导数dx
总习题二 1. 求下列函数的导数. (1) 已知 2 3 5 1 ( ) x x f x x − + = ，求 f ( 1) − ， f (2) ， 1 f a ； (2) y x x x = sin ln ； (3) 3 6 y x x = − ( ) ； (4) y x = + 3sin(3 5) ； (5) 2 y x = − sin (2 1) ； (6) 3 1 x y e + = ； (7) 3 2 y x = ln ( ) ； (8) ln 2 x x y = ； (9) 2 y arccos x = ； (10) arctan x y e = ； (11) 2 2 y x x x cos sin 3 = ； (12) cos( ) xy x = ； (13) 1 y y xe = + ； (14) y x x y sin cos( ) 0 − − = ； (15) 2 1 1 x y x x − = + ； (16) 2 3 2 2 ( 1) ( 1) x x y x + = − ； (17) 2 x y x = ； (18) 2 sin (1 ) x y x = + ． 2. 求下列函数的二阶导数. (1) 2 x y xe = ； (2) x y e = ； (3) x e y x = ； (4) y x = ln sin ； (5) x y x = ； (6) y x y = + sin( ) ． 3. 验证 sin x y e x = 满足关系式 y y y − + = 2 2 0 . 4. 验证 x x y e e − = + 满足关系式 1 1 0 2 4 xy y y + − = . 5. 求下列各参变量方程中的导数 dy dx
x=a(@-sin@)x = arctant(1)(2）已知(y=ln(1+t?)y=a(1-cosp)f(x)=2，求f(1)6.设f(x)在x=1处连续，且lim→ x-17：设y=f(x)，且f(x)存在，△x是自变量在x处的增量，求f?(x+Ax)- f(x)lim =Ar→0Ax8".已知f(x)在(-00,+o)上有定义，f(0)=0，且对任意的x,y，恒有f(x+y)= f(x)+ f(y)+2xy, 求 f(x)9.设曲线f(x）=x"在点(1,1)处切线与x轴交点为（,,0)，求limf(5）.(1998年数学三)3x-2..且 f(x)=arctan x?,10°.设1（1993年数学三）dxx3x+2([x=p(x)d'y_y"(t)p'(t)-y'(t)p"(t)11．设参数方程为证明：dr?(y=y(x)[p(]
(1) ( sin ) (1 cos ) x a y a = − = − ； (2) 已知 2 arctant ln (1 t ) x y = = + ． * 6 . 设 f x( ) 在 x =1 处连续，且 1 ( ) lim 2 x 1 f x → x = − ，求 f (1) . * 7 . 设 y f x = ( ) ， 且 f x ( ) 存在， x 是 自 变 量 在 x 处 的 增 量 ， 求 2 2 0 ( ) ( ) lim x f x x f x → x + − . * 8 . 已知 f x( ) 在 ( , ) − + 上有定义， f (0) 0 = ，且对任意的 x y, ，恒有 f x y f x f y xy ( ) ( ) ( ) 2 + = + + ，求 f x( ) . * 9 . 设曲线 ( ) n f x x = 在点 (1,1) 处切线与 x 轴交点为 ( ,0) n ，求 lim ( ) n n f → .(1998 年数学三) * 10 . 设 3 2 3 2 x y f x − = + ，且 2 f x x ( ) arctan = ，求 x 0 dy dx = .（1993 年数学三） * 11 . 设参数方程为 ( ) ( ) x x y x = = ，证明： 2 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d y t t t t dx t − =
总习题二详解x2-5x+1,求F'(-1)，J(2),1. (1)已知f(x)x3(3) y=(x3 -x)6(2)y=xsinxlnx;(5) y=sin’(2x-1) :(4)y=3sin(3x+5) ;V3x+(7) y=ln'(x) :(6) y=e2(8)y=2inx(9)y=arccosx(10) y=earctan /(11) ycosx=x sin3x(13) y= 1 + xej(12) cos(xy)=x ;1-x(14) ysinx-cos(x-y)=0 :(15) y=V1+x2x(x2 +1)(17) =2x/z(16)JV(x?-1)?(18) =(1+x)sinz1.解：（1）因为F()=(-5x+)x-(-5x+1)()_(2x-5)-3r(-5+1)(x3)2(x)210x-x-3x4f(-1)= f(x) I==-14所以13f(2) = f(x) Ix-2 =16()= F'(x)_,=10d -2 -3aa(2) J'=(xsinxlnx)
总习题二详解 1. (1) 已知 2 3 5 1 ( ) x x f x x − + = ，求 f ( 1) − ， f (2) ， 1 f a ； (2) y x x x = sin ln ； (3) 3 6 y x x = − ( ) ； (4) y x = + 3sin(3 5) ； (5) 2 y x = − sin (2 1) ； (6) 3 1 x y e + = ； (7) 3 2 y x = ln ( ) ； (8) ln 2 x x y = ； (9) 2 y arccos x = ； (10) arctan x y e = ； (11) 2 2 y x x x cos sin 3 = ； (12) cos( ) xy x = ； (13) 1 y y xe = + ； (14) y x x y sin cos( ) 0 − − = ； (15) 2 1 1 x y x x − = + ； (16) 2 3 2 2 ( 1) ( 1) x x y x + = − ； (17) 2 x y x = ； (18) 2 sin (1 ) x y x = + ． 1.解： （1） 因为 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 2 4 ( 5 1) ( 5 1)( ) (2 5) 3 ( 5 1) (x) ( ) ( ) 10 3 , x x x x x x x x x x x f x x x x x − + − − + − − − + = = − − = 所以 1 ( 1) ( ) | 14 x f f x = − = = − ， 2 13 (2) ( ) | 16 x f f x = = = ， ( ) 3 2 4 1 1 | 10 3 x a f f x a a a a = = = − − ； (2) y x x x = ( sin ln )
= xsinxlnx+ x(sin x)lnx+xsin x(lnx)=sinxlnx+xcosxlnx+sinx:(3) y=[(x - x)° =6(x3 - x)(x3 -x)= 6(x3 - x)(3x2 -1)(4) y'=[3sin(3x +5))' = 3cos(3x+5)(3x+5)= 9cos(3x + 5);(5)y' =[sin2(2x -1)'= 2sin(2x -1)cos(2x -1)(2x -1)= 2 sin(4x -2)(6) =(ev/y = v/. (/3+1)=evx.1(3x+1)2 (3x+1)23eV3x+=ev 1(3x+1)2.322/3x+1(7)y'=[ln(x)] = 3ln(x)[ln(x)=31n(x),() =n(x)Xy=(2lnx)= 2inx In2(8)lnxInx-1= 2 inx In 2In2x;212(9)y=(arccosx2
= + + x x x x x x x x x sin ln (sin ) ln sin (ln ) = + + sin ln cos ln sin x x x x x x ； (3) 3 6 y x x = − [( ) ] 3 5 3 = − − 6( ) ( ) x x x x 3 5 2 = − − 6( ) (3 1) x x x ； (4) y x = + [3sin(3 5)] = + + 3cos(3 5)(3 5) x x = + 9cos(3 5) x ； (5) 2 y x = − [sin (2 1)] = − − − 2sin(2 1)cos(2 1)(2 1) x x x = − 2sin(4 2) x ； (6) 3 1 ( ) x y e + = 3 1 ( 3 1) x e x + = + 1 3 1 2 1 (3 1) (3 1) 2 x e x x − + = + + 1 3 1 2 1 (3 1) 3 2 x e x − + = + 3 1 3 2 3 1 x e x + = + ； (7) 3 2 y x = [ln ( )] 2 2 2 = 3ln ( )[ln( )] x x 2 2 2 21 3ln ( ) ( ) x x x = 6 2 2 ln ( ) x x = ； (8) ln (2 ) xx y = ln 2 ln 2 ln xx xx = ln 2 ln 1 2 ln 2 ln xx x x− = ； (9) 2 y (arccos ) x = 2 1 2 2 1 x x = − −
21[x/ /x2 _ 4(10) y'=(erctan Fy = ercan F (arctan /x)earctan Vr1= earctan x:(V5)1+(Vx)2 /x(1+x)(1）将方程y~cosx=xsin3x两端同时对*求导数得2y.y'cosx-y? sin x=2xsin3x+3x cos3xy=3x cos3x+2xsin3x+y'sinx(2ycosx±0),所以2ycosx(12）将方程cos(xy)=X两端同时对*求导数得-sin(xy)·(xy)'=1,即-sin(xy)-(y+ xy) = 1,所以_1+ ysin(x)(x sin(xy) 0)y=-xsin(xy)(13）将方程y=1+xe’两端同时对*求导数得y'=0+e"+xe'.yeyQ(y+2)y所以-xey2.(14）将方程ysinx-cos(x-y)=0两端同时对*求导数得y'sin x+ ycos x + sin(x- y)(1- y)= 0y'= ycosx+sin(x- (sin(x- y)* sin x):sin(x -y)-sin x所以
2 2 1 2 2 1 x x = − − − 2 2 x x 4 = − ； (10) arctan ( ) x y e = arctan (arctan ) x = e x arctan 2 1 ( ) 1 ( ) x e x x = + arctan 2 (1 ) x e x x = + ； (11) 将方程 2 2 y x x x cos sin 3 = 两端同时对 x 求导数得 2 2 2 cos sin 2 sin 3 3 cos3 y y x y x x x x x − = + , 所以 2 2 3 cos3 2 sin 3 sin 2 cos x x x x y x y y x + + = (2 cos 0) y x ； (12) 将方程 cos( ) xy x = 两端同时对 x 求导数得 − = sin( ) ( ) 1 xy xy , 即 − + = sin( ) ( ) 1 xy y xy ， 所以 1 sin( ) ( sin( ) 0) sin( ) y xy y x xy x xy + = − ； (13) 将方程 1 y y xe = + 两端同时对 x 求导数得 0 y y y e xe y = + + 所以 ( 2) 1 2 y y y e e y y xe y = = − − ； (14) 将方程 y x x y sin cos( ) 0 − − = 两端同时对 x 求导数得 y x y x x y y sin cos sin( )(1 ) 0 + + − − = , 所以 cos sin( ) sin( ) sin y x x y y x y x + − = − − (sin( ) sin ) x y x − ；
-x(15)将J1+x2两端同时取自数有-xIny=I-[In(1-x)-In(1 + x2)1 ,=lnx+-两端同时对求导数得2-[ln(1- x)- In(1+ x2)]2Xy111x11+x2x2(1- x)y11-Xx所以v2(1- x)1+xx+x2-3x-x31- x2(1- x)(1+ x2) V1+x2x(x? + 1)(16)将yV(x2-1)两端同时取自数有x(x2 +1)Iny=ln,[In x(x2 +1)-In(x2 -1)"](x?-1)22[ln x + In(x? + 1)- 2In(x? -1)]32x4x11将上式两端同时对"求导数得3x3(x +1)33(x2 -1)y所以x* +6x2+1x(x2 +1)V(x2 -1)23x(1- x*)(17) 将=2xvk两端同时取自数有
（15)将 2 1 1 x y x x − = + 两端同时取自数有 2 1 ln ln 1 x y x x − = + 1 2 ln [ln(1 ) ln(1 )] 2 = + − − + x x x ， 两端同时对 x 求导数得 1 1 1 2 [ln (1 ) ln (1 )] 2 y x x y x = + − − + ， 2 1 1 1 2(1 ) 1 x y y x x x = − − − + 所以 2 2 1 1 1 1 2(1 ) 1 x x y x x x x x − = − − + − + 3 2 2 2 3 1 2(1 )(1 ) 1 x x x x x x − − − = − + + ； (16) 将 2 3 2 2 ( 1) ( 1) x x y x + = − 两端同时取自数有 2 3 2 2 ( 1) ln ln ( 1) x x y x + = − 1 2 2 2 [ln ( 1) ln( 1) ] 3 = + − − x x x 1 2 2 [ln ln( 1) 2ln( 1)] 3 = + + − − x x x 将上式两端同时对 x 求导数得 2 2 1 1 2 4 3 3( 1) 3( 1) x x y y x x x = − − + − ， 所以 4 2 2 3 4 2 2 6 1 ( 1) 3 (1 ) ( 1) x x x x y x x x + + + = − − ； (17) 将 2 x y x = 两端同时取自数有
In y=In(2x)=In2 +lnx=In2+/xln x将上式两端同时对*求导数得1Inx+Vx.!2（=ln x+1)A2/x2yxx-y'=x*-2(2+Inx),所以(18）将方程y=（1+x）sin*两端取自然对数得lny=ln(1+x）sinx，即In y= sin x. In(1 + x?),两端同时对求导数得-. y'= cos x.In(1 + x)+ sin x.(2x)+cosxIn(1+x)+ 2xsinxy' =(1+x2)sinx1+ x22.求下列函数的二阶导数(2) y=eVx(1) y=xee(4) y=lnsinx(3)y:x(5) y=x :(6) y=sin(x+y)解：(1) y'=(xet") =er +xer(2x)=er.(1+2x*),y'=2xe (1+2x*)+4xe =2e* (3x+2x):(2) y'=(e)=ev.l,2+ev(-1x)=(x-1)evy'=er.!++.l+?+4x/x4x-(3)x2A
ln ln(2 ) x y x = ln 2 ln ln 2 ln x = + = + x x x 将上式两端同时对 x 求导数得 1 2 1 1 1 1 ln ( ln 1) 2 2 y x x x x y x x − = + = + 所以 1 2 (2 ln ) x y x x − = + ； (18) 将方程 2 sin (1 ) x y x = + 两端取自然对数得 2 sin ln ln(1 ) x y x = + ，即 2 ln sin .ln(1 ) y x x = + ， 两端同时对 x 求导数得 2 2 1 1 cos .ln(1 ) sin . (2 ) 1 y x x x x y x = + + + ， 2 sin 2 2 2 sin (1 ) cos ln(1 ) 1 x x x y x x x x = + + + + ． 2. 求下列函数的二阶导数. (1) 2 x y xe = ； (2) x y e = ； (3) x e y x = ； (4) y x = ln sin ； (5) x y x = ； (6) y x y = + sin( ) ． 解： (1) 2 ( ) x y xe = 2 2 2 2 (2 ) (1 2 ) x x x = + = + e xe x e x ， 2 2 2 2 3 2 (1 2 ) 4 2 (3 2 ) x x x y xe x xe e x x = + + = + ； (2) ( ) x y e = 1 2 1 2 x e x − = ， 1 1 3 2 2 2 1 1 1 ( 1) ( ) 2 2 4 4 x x x x e y e x x e x x x − − − − = + − = ； (3) ( ) x e y x = 2 2 1 1 ( ) x x e x e x e x x x − = = −
2x++x(4)y=(lnsinx)=(sinx)':cosx=cotx,sinxsinxy"= (cot x)'= -csc2 x ;(5)将方程y=x"两端取自然对数得lny=xlnx，再将方程lny=xlnx两端同时对×求导数得y'=lnx+1,故y'=y(lnx+1)，则y" = y'(lnx+1)+y(lnx+1)= y(lnx+1)+ yX-=y[(ln x+1)? +== y(lnx+1)? +y.-X(Inx+1) +1(6）将方程y=sin(x+y)两端同时对*求导数得y'= cos(x+ y) (I+ y')cos(x+ y)=-于是1-cos(x+ y)将y'=cos(x+y)(1+y)两端同时对*求导数得y" = -sin(x+ y)(1+y)? + cos(x+y).y"cos(x+ y)-sin(x + y)[1 +J"= =sin(x+ y)(1+y)?[-cos(x+y)于是1- cos(x+y)1- cos(x+y)sin(x+y)[cos(x + y) -1]°3.验证y=esinx满足关系式y"-2y'+2y=0
2 2 2 3 3 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x x x x x y e e e x x x x x − + = − + − − = ； (4) y x = (ln sin ) 1 1 (sin ) cos cot sin sin x x x x x = = = ， 2 y x x = = − (cot ) csc ； (5)将方程 x y x = 两端取自然对数得 ln ln y x x = ，再将方程 ln ln y x x = 两端同时对 x 求导数得 1 y x ln 1 y = + ，故 yyx = + (ln 1) ， 则 1 y y x y x y x y (ln 1) (ln 1) (ln 1) x = + + + = + + 2 2 1 1 y x y y x (ln 1) [(ln 1) ] x x = + + = + + 2 1 (ln 1) x x x x = + + ； (6) 将方程 y x y = + sin( ) 两端同时对 x 求导数得 y x y y = + + cos( ) (1 ) ， 于是 cos( ) 1 cos( ) x y y x y + = − + ， 将 y x y y = + + cos( ) (1 ) 两端同时对 x 求导数得 2 y x y x y y = − + + + + sin( )(1 y ) cos( ). ， 于是 2 sin( )(1 ) 1 cos( ) x y y y x y − + + = − + cos( ) 2 sin( )[1 ] 1 cos( ) 1 cos( ) x y x y x y x y + − + + − + = − + 3 sin( ) cos( ) 1 x y x y + = + − ． 3. 验证 sin x y e x = 满足关系式 y y y − + = 2 2 0
解：由y=esinx得y'=e'sinx+e"cosx=e(sinx+cosx)y"=e*(sinx+cosx)+e"(cosx-sinx)=2ecosx于是 J"-2y'+2y=2e°cos x-2e(sinx+cos x)+2e' sin x =0,故满足关系式J"-2y'+2y=014.验证y=ev+e-/满足关系式xy"+1=01LXyx解：由1得V22)1x4224.x4xVx=0故满足124dy5.求下列各参变量方程中的导数dxx=a(p-sinp)x = arctant(1)(2)y= In(1+t)y=a(1-cosp)[x=a(p-sinp)解：(1)由(y=a(1-cosp)[a(1-cosp)]asingpsinpQ得=cot-dxx[a(p-sin p)}2a-acosp1-cos@x=arctant(2)由y= In(1+t2)
解： 由 sin x y e x = 得 sin cos (sin cos ) x x x y e x e x e x x = + = + ， (sin cos ) (cos sin ) 2 cos x x x y e x x e x x e x = + + − = ， 于是 y y y − + = 2 2 2 cos 2 (sin cos ) 2 sin 0 x x x e x e x x e x − + + = ， 故满足关系式 y y y − + = 2 2 0 ． 4. 验证 x x y e e − = + 满足关系式 1 1 0 2 4 xy y y + − = . 解： 由 x x y e e − = + 得 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 x x x x y e x e x e e x − − − − = + − = − ， 3 1 1 2 2 2 1 1 1 1 ( ) [ ( )] 4 2 2 2 x x x x y x e e e x e x x − − − − − = − − + + − ， 1 1 ( ) ( ) 4 4 x x x x y e e e e x x x − − = + − − ， 故满足 1 1 0 2 4 xy y y + − = ． 5. 求下列各参变量方程中的导数 dy dx . (1) ( sin ) (1 cos ) x a y a = − = − ； (2) 2 arctant ln (1 t ) x y = = + ． 解： (1) 由 ( sin ) (1 cos ) x a y a = − = − 得 [ (1 cos )] sin sin cot [ ( sin )] cos 1 cos 2 dy a a y dx x a a a − = = = = = − − − ； (2) 由 2 arctant ln (1 t ) x y = = +