长春大学旅游学院教师教案（20132014学年第二学期）课程名称：高等数学（概率论与数理统计）许莹任课教师：基础部所在分院（部）：长春大学旅游学院教务处制
长春大学旅游学院 教 师 教 案 （2 01 3 2 014 学年第 二 学期） 课 程 名 称： 高等数学（概率论与数理统计） 任 课 教 师： 许莹 所在分院（部）： 基础部 长 春 大 学 旅 游 学 院 教 务 处 制
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容第一章随机事件及其概率教学基本要求：1、了解随机事件的定义，理解样本空间的定义，明白事件之间的关系同运算。2、明白事件概率的定义。3、了解概率的古典概念，会计算简单的古典概率。4、了解概率的基本性质与加法法则。5、了解条件概率的概念，明白概率的乘法公式、全概率公式同贝叶斯公式。6、了解事件独立性的定义，会计算相互独立事件的相关概率。重点：1、随机事件及其关系2、古典概率3、概率性质4、条件概率与乘法公式5、全概率公式与贝叶斯公式6、事件的独立性难点：1、古典概率2、全概率公式与贝叶斯公式第一节随机事件一、随机试验在自然界中存在各种各样的现象，其中有一类现象是在一定条件下必然出现某种结果.例如，在地球的引力作用下，上抛物体一定会落下；水在一定的温度下会变成气体等.把这类现象叫做确定现象.还有另一类现象是在一定条件下可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果.例如，抛一枚硬币，其落下的结果可能是国徽面向上，也可能数字面向上.又如，进行一次环靶射击，其结果可能是击中0环，1环，··，用大约25分10环等，把这类现象叫做随机现象.其特点是在一定条件下，出现的结果不止一个，钟时间来讲解事先不能确定哪个结果一定会出现，即呈现出不确定性概念随机现象虽然呈现出结果的不确定性，但是人们经过大量重复试验或观察发现，它却具有内在的必然性，即规律性，叫做统计规律性人们往往通过试验来研究随机现象的统计规律.这种试验具有如下特征：1在相同条件下可以重复进行；2每次试验可能出现的结果不止一个，并且试验前可以知道所有可能出现的结果；3每次试验前不能确定哪一个结果一定会出现这种试验叫做随机试验，简称试验，记作E.二、样本空间与随机事件1.样本空间定义把随机试验E的所有可能结果构成的集合叫做E的样本空间，记作Q.样本空间的元素（E每个可能结果）叫做样本点，记作。第2页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 2 页 第一章 随机事件及其概率 教学基本要求： 1、了解随机事件 的定 义 ，理 解 样本 空 间的 定 义 ，明 白 事件 之 间的 关 系 同运算。 2、明白事件概率 的定 义 。 3、了解概率的古 典概 念 ，会 计 算简 单 的古 典 概 率。 4、了解概率的基 本性 质 与加 法 法则 。 5、了解条件概率 的概 念 ，明 白 概率 的 乘法 公 式 、全 概 率公 式 同贝叶斯 公式。 6、了解事件独立 性的 定 义， 会 计算 相 互独 立 事 件的 相 关概率。 重点： 1、 随机事件及其关系 2、 古典概率 3、 概率性质 4、 条件概率与乘法公式 5、 全概率公式与贝叶斯公式 6、 事件的独立性 难点： 1、 古典概率 2、 全概率公式与贝叶斯公式 第一节 随机事件 一、随机试验 在自然界中存在各种各样的现象，其中有一类现象是在一定条件下必然出现某种结 果.例如，在地球的引力作用下，上抛物体一定会落下；水在一定的温度下会变成气 体等.把这类现象叫做确定现象.还有另一类现象是在一定条件下可能出现这样的结 果，也可能出现那样的结果.例如，抛一枚硬币，其落下的结果可能是国徽面向上， 也可能数字面向上.又如，进行一次环靶射击，其结果可能是击中 0 环，1 环， ， 10 环等，把这类现象叫做随机现象.其特点是在一定条件下，出现的结果不止一个， 事先不能确定哪个结果一定会出现，即呈现出不确定性. 随机现象虽然呈现出结果的不确定性，但是人们经过大量重复试验或观察发现， 它却具有内在的必然性，即规律性，叫做统计规律性. 人们往往通过试验来研究随机现象的统计规律.这种试验具有如下特征： 1 在相同条件下可以重复进行； 2 每次试验可能出现的结果不止一个，并且试验前可以知道所有可能出现的结果； 3 每次试验前不能确定哪一个结果一定会出现. 这种试验叫做随机试验，简称试验，记作 E. 二、样本空间与随机事件 1. 样本空间 定义 把随机试验 E 的所有可能结果构成的集合叫做 E 的样本空间，记作Ω.样 本空间的元素（E 每个可能结果）叫做样本点，记作ω. 用大约 2 5 分 钟时间来讲解 概 念
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容例1将一枚硬币在光滑地面上抛掷两次，观察正面H、反面T出现的情况，试写出此试验的样本空间解因为第一次抛掷可能出现的结果为：H、T,所以抛掷完两次后的可能结果为：HH，TH，HT，TT，故此试验的样本空间为Q=(HH, TH, HT, TT).2.随机事件定义随机试验E的样本空间Q的子集叫做随机事件，简称为事件，用英文字母A、B、C，及A,A，等表示因为每个样本点都是样本空间的子集，所以样本点也是随机事件，称它们为基本事件.随机事件在一次试验中，可能出现，也可能不出现.我们说某个事件出现，当且仅当它所包含的某个基本事件出现.例如在E中，如果记A=出现偶数点)，则A={の，の，の}，当且仅当“2点”，“4点”和“6点”中有一个出现就说事件A出现.再如，B={出现点数小于3)={の，0,}，当且仅当“1点”、“2点”中有一个出现就说事件B出现在随机试验中，由于样本空间Q也是它自身的子集，所以Q也是随机事件.在每一次试验中都出现的事件叫做必然事件，显然样本空间Q是必然事件，必然事件也记作Q.每一次试验中都不出现的事件叫做不可能事件，记作Φ.例如，在E中，“大于6点”的事件就是不可能事件3.事件间的关系及其运算设试验E的样本空间为Q，且A、B、A,(i=1,2,.n,..)都是Q的子集.则有（1）事件的包含（子事件）与相等若A中的每一个样本点都在B中，则称事件B包含事件A或称事件A包含于事件B（A为B的子事件），记作BA，或ACB.这时，事件A出现，必然导致事件B出现.若ACB且AB，则称事件A与B相等，记作A=B(2）事件的并（或和）由A和B的所有样本点构成的集合，叫做A与B事件的并（或和）事件，记作AUB=(0WE A或OEB)（或A+B）即这时，事件A与B中至少有一个出现，例如，甲、乙二人向同一目标进行一次射击，设A=（甲击中目标)，B=（乙击中目标)，C=(目标被击中)，则事件C就是事件A与B的并，即C=AUB.显然事件的并有如下性质：(i) AUA=A:(ii)AUU=Q;(iii) AUΦ=A:第3页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 3 页 例 1 将一枚硬币在光滑地面上抛掷两次，观察正面 H、反面 T 出现的情况，试 写出此试验的样本空间. 解 因为第一次抛掷可能出现的结果为：H、T,所以抛掷完两次后的可能结果为： HH，TH，HT，TT，故此试验的样本空间为 Ω={HH，TH，HT，TT}. 2. 随机事件 定义 随机试验 E 的样本空间 的子集叫做随机事件，简称为事件，用英文字母 A、 B 、C，及 , , A1 A2 .等表示. 因为每个样本点都是样本空间的子集，所以样本点也是随机事件，称它们为基本 事件.随机事件在一次试验中，可能出现，也可能不出现.我们说某个事件出现，当且 仅当它所包含的某个基本事件出现.例如在 E1 中，如果记 A ={出现偶数点}，则 A ={ 2 ，4 ，6 }，当且仅当“2 点”，“4 点”和“6 点”中有一个出现就说事件 A 出现.再如， B ={出现点数小于 3}={ 1，2 }，当且仅当“1 点”、“2 点”中有一个 出现就说事件 B 出现. 在随机试验中，由于样本空间 也是它自身的子集，所以 也是随机事件.在每 一次试验中都出现的事件叫做必然事件，显然样本空间 是必然事件，必然事件也记 作 .每一次试验中都不出现的事件叫做不可能事件，记作 .例如，在 E1 中，“大于 6 点”的事件就是不可能事件. 3. 事件间的关系及其运算 设试验 E 的样本空间为 ,且 A、 B 、 A (i 1,2,, n,) i = 都是 的子集.则有 （1）事件的包含（子事件）与相等 若 A 中的每一个样本点都在 B 中，则称事件 B 包含事件 A 或称事件 A 包含于事件 B （ A 为 B 的子事件），记作 B A ，或 A B .这时，事件 A 出现，必然导致事件 B 出现. 若 A B 且 A B ，则称事件 A 与 B 相等，记作 A B = . (2）事件的并（或和） 由 A 和 B 的所有样本点构成的集合，叫做 A 与 B 事件的并（或和）事件，记作 （或 A B+ ）即 A B A B = { } 或 这时，事件 A 与 B 中至少有一个出现， 例如，甲、乙二人向同一目标进行一次射击，设 A = {甲击中目标}， B = {乙击 中目标}，C = {目标被击中}，则事件 C 就是事件 A 与 B 的并，即 C = AB. 显然事件的并有如下性质： （i） A A = A ; (ii) AU = ； (iii) A = A ；
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容(iv) AC(AUB):(v) BC(AUB),(3)事件的交（或积）由同时属于A与B的样本点构成的集合叫做A与B事件的交（或积），记作（或ANB=(OQEA且QEB)AB)，即这时，事件A与B同时出现，事件A,.…..中至少有一个出现的事件为U4.事件A.A.….A.同时出现的事件为（4）互不相容（或互斥）事件若AB=Φ，则称事件A与B是互不相容（或互斥）的.这时，事件A与B不能同时出现.显然任一个试验E中，基本事件之间都是互不相容（或互斥）的（5)互逆（或对立）事件若AUB=Q，且AB=Φ，则称A与B是互逆（或对立）事件，记作A=B或B=A.一般地，事件A的逆事件记作A.(6)事件的差由所有属于A而不属于B的样本点组成的集合，叫做A与B事件的差（简称差），A-B=(xxeA且xB)记作A-B.即这时，事件A出现而事件B不出现.显然有A-B=AB，见图1-6.由于事件是样本空间的子集，从而事件的运算与集合的运算完全一致，具有相同的性质如下：（1）交换律AUB=BUA，ANB=BNA；(2）结合律（AUB)UC=AU(BUC)，(ANB)NC= AN(BNC) :(3）分配律（AUB)NC=(ANC)U(BNC)，(ANB)UC=(AUC)N(BUC) :4页P
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 4 页 (iv) A (A B) ； (v) B (A B) . (3)事件的交（或积） 由同时属于 A 与 B 的样本点构成的集合叫做 A 与 B 事件的交（或积），记作（或 AB ），即 A B A B = { } 且 这时，事件 A 与 B 同时出现. 事件 1 2 , , , A A A n 中至少有一个出现的事件为 i =1 Ai ;事件 1 2 , , , A A A n ，同时出 现的事件为 i =1 Ai . ( 4) 互不相容（或互斥）事件 若 AB = ，则称事件 A 与 B 是互不相容（或互斥）的.这时，事件 A 与 B 不能同时 出现. 显然任一个试验 E 中，基本事件之间都是互不相容（或互斥）的. (5)互逆（或对立）事件 若 A B = , 且 AB = ，则称 A 与 B 是互逆（或对立）事件，记作 A B = 或 B A = .一般地，事件 A 的逆事件记作 A. (6)事件的差 由所有属于 A 而不属于 B 的样本点组成的集合，叫做 A 与 B 事件的差（简称差）， 记作 A− B.即 A− B ={x x A且x B} 这时，事件 A 出现而事件 B 不出现.显然有 A B AB − = ，见图 1-6. 由于事件是样本空间的子集，从而事件的运算与集合的运算完全一致，具有相同的性 质如下： （1）交换律 A B B A = ， A B B A = ； （2）结合律 （A B C A B C ） = ( ) ， ( ) ( ) A B C A B C = ； （3）分配律 （A B C A C B C ） = ( ) ( ) ， ( ) ( ) ( ) A B C A C B C = ；
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容AB-AUB.（4）对偶律AUB=AB，对偶律可以推广到有限个以至可列个事件的情形，即U4-04;04-U4.例3某射手向指定目标射击三枪，记A={第枪击中目标)(i=1,2,3)，试用A，A,，A表示下列各事件：（1）只击中第一枪：（2）只击中一枪：（3）至少击中一枪第二节随机事件的概率及其性质一、计数原理、排列与组合换一种思想讲1.加法原理解概率的定义若进行I过程有k种方法，进行II过程有k,种方法，假定I过程和II过程是并行的，则进行I过程或II过程的方法共有k+k,种.例如，若从甲地到乙地有2条公路，3条小路，则从甲地到乙地共有5种不同的用大约30分走法.钟的时间来讲2.乘法原理解概率的性质若进行I过程有k种方法，进行II过程有k,种方法，则进行I过程后再接着IⅡI过程的！以及推导过程方法共有k×k,种.例如，若从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有3中走法，则从甲地到丙地共有不同的走法2×3=6.上述两条原理可以推广到多个过程的情形.3.排列从含有n个元素的集合中任意取出r个元素进行排列，这时既要区别不同的元素又要考虑取出元素的顺序.（1）在有放回选取的情形这时每一次取出都是在全体元素中进行的，同一元素可能被重复取出.从n个元素中有放回地取出r个元素所构成的排列叫做有重复的排列，其总数共有n（2）在不放回选取的情形，这时一个元素一旦被取出便立刻从该集合中出去，因此每个元素至多被取到一次.从n个元素中不放回地取出r个元素所构成的排列叫做选排列，其总数为A"=n(n-1)(n-2)..(n-r+1)5页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 5 页 (4) 对偶律 A B AB = ， AB A B = . 对偶律可以推广到有限个以至可列个事件的情形，即 1 1 i i i i A A = = = ； 1 1 i i i i A A = = = . 例 3 某射手向指定目标射击三枪，记 A i i i = = 第 枪击中目标( 1, 2,3) ，试用 A1 ， A2 ， A3 表示下列各事件： （1）只击中第一枪；（2）只击中一枪；（3）至少击中一枪. 第二节 随机事件的概率及其性质 一、计数原理、排列与组合 1. 加法原理 若进行 过程有 1 k 种方法，进行 过程有 2 k 种方法，假定 过程和 过程是并行 的，则进行 过程或 过程的方法共有 1 2 k k + 种. 例如，若从甲地到乙地有 2 条公路，3 条小路，则从甲地到乙地共有 5 种不同的 走法. 2. 乘法原理 若进行 过程有 1 k 种方法，进行 过程有 2 k 种方法，则进行 过程后再接着 过程的 方法共有 1 2 k k 种. 例如，若从甲地到乙地有 2 种走法，从乙地到丙地有 3 中走法，则从甲地到丙地 共有不同的走法 2×3=6. 上述两条原理可以推广到多个过程的情形. 3. 排列 从含有 n 个元素的集合中任意取出 r 个元素进行排列，这时既要区别不同的元素又要 考虑取出元素的顺序. （1）在有放回选取的情形 这时每一次取出都是在全体元素中进行的，同一元素可能被重复取出.从 n 个元素中 有放回地取出 r 个元素所构成的排列叫做有重复的排列，其总数共有 r n . （2) 在不放回选取的情形，这时一个元素一旦被取出便立刻从该集合中出去， 因此每个元素至多被取到一次.从 n 个元素中不放回地取出 r 个元素所构成的排列叫 做选排列，其总数为 A = n(n −1)(n − 2) (n − r +1) r n 换一种思想讲 解概率的定义 用大约 3 0 分 钟的时间来讲 解概率的性质 以及推导过程
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容特别地，当r=n时，叫做全排列，总数为A"=n！4.组合从n个元素中任意取出r个元素而不考虑顺序，叫做组合，其总数为用大学15分n!C, =4-_ nn-1)-(n-r+1) 钟的时间来讲4r!rl(n-r)!解古典概率定义以及推导过c,b的的系数）。（这里C,是二项展开式(α+b)"=程F0例如，一罐中装有4个白球，3个黑球，从这7个球中任意取3个球的总数为A7×6×5=35.C3 例题讲解时间3×2×13×2×l二、事件的频率及其性质大约在15分钟左右定义1随机事件A在n次重复试验中发生了k次，则称比值≤为事件A在n次n试验中出现的频率，记为.(4)=≤n由此定义，容易得到频率具有如下性质：（1）对于每一个随机事件A，有0≤f.（A)≤1；(2) f(Q)=1, f(Φ)=0:（3）若事件A，B互不相容，则有f,(AUJB)= f,(A)+ f,(B)性质（3)叫做频率的可加性.其证明如下：设在n次试验中，事件A、B、AUB，分别出现K,次，K次，KUa次，因为A、B互不相容，所以KAUa=K+KB，因此有KU_ K,+K_ K+K= f.(A)+ .(B)f.(Annn三、概率的统计定义定义2若事件A出现的频率随着试验次数n的增大而稳定于某一常数p，则称p为事件A的概率.记作P(A)=p数值p就是在一次试验中对事件A发生的可能性大小的数量刻划.例如，0.5就是刻第6页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 6 页 特别地，当 r=n 时，叫做全排列，总数为 n An =n！ 4. 组合 从 n 个元素中任意取出 r 个元素而不考虑顺序，叫做组合，其总数为 !( )! ! ! ( 1) ( 1) ! r n r n r n n n r r A C r r n n − = − − + = = . （这里 r Cn 是二项展开式 + = n (a b) 0 n r n r C = r n r a b − 的的系数）. 例如，一罐中装有 4 个白球，3 个黑球，从这 7 个球中任意取 3 个球的总数为 3 C7 3 7 7 6 5 = =35 3 2 1 3 2 1 A = . 二、事件的频率及其性质 定义 1 随机事件 A 在 n 次重复试验中发生了 k 次，则称比值 k n 为事件 A 在 n 次 试验中出现的频率，记为 n ( ) k f A n = . 由此定义，容易得到频率具有如下性质： （1） 对于每一个随机事件 A，有 0 f n (A) 1 ； （2） f () = 1， f () = 0 ； （3） 若事件 A， B 互不相容，则有 f (A B) f (A) f (B) n = n + n 性质（3)叫做频率的可加性.其证明如下： 设在 n 次试验中，事件 A、B、AB ，分别出现 KA 次， KB 次， AB K 次，因为 A 、 B 互不相容，所以 AB K = KA + KB ，因此有 ( ) ( ) ( ) A B A B A B n n n K K K K K f A B f A f B n n n n + = = = + = + 三、概率的统计定义 定义 2 若事件 A 出现的频率随着试验次数 n 的增大而稳定于某一常数 p ，则称 p 为 事件 A 的概率.记作 P A p ( ) = 数值 p 就是在一次试验中对事件 A 发生的可能性大小的数量刻划.例如，0.5 就是刻 用大学 1 5 分 钟的时间来讲 解古典概率定 义 以及推导过 程 例题讲解时间 大约在 1 5 分 钟左右
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容画抛一枚硬币试验的事件B=(正面向上H)的概率，即P(B)=0.5由频率的性质和概率的统计定义即可得概率的如下性质H(1) 0≤P(A)≤1;P(2)=1,P()=0 ;（2）对两两互斥的有限个随机事件A，A,，，A，有P(AUAU...UA)=P(A)+P(A)+..+P(A.)性质（2）叫做概率的有限可加性.此性质可以推广至概率的可列可加性.即若事件A，A，A.，，两两互斥，则P(AUAU...UAU...)= P(A)+P(A)+...+P(A.)+...利用这些性质可以证明下面三个性质。(3) P(A)=1-P(A) :(4) 若ACB,则P(B-A)=P(B)-P(A):若 A,B 为任意事件，则 P(B-A)=P(B)-P(AB) ;(6) P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) .性质（6）叫做概率加法公式，性质（3）是它的特例。· P(B)=例1 设P(A)=，在下列三种情况下，求P(AUB)及P(A-B)4的值.(3) P(AB)=(2) BCA;（1）A与B互斥：6三、古典概型1.古典概型如果一个试验E具有以下两个特点：（1）样本空间Q是由有限个样本点组成的，即其基本事件的个数是有限的：（2）每个基本事件出现的可能性相同（也叫做等可能性）则称E为古典型随机试验，相应的数学模型叫做古典概型.古典概型在实践中有广泛的应用，它在概率论中占有相当重要的地位.对于古典概型，设其样本空间Q=の，の，，由于UのUUの=Q，且诸の间是互不相容的，利2概率的古典定义定义3对于古典概型，设其样本空间包含基本事件的个数为n，事件A包含基本事第7页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 7 页 画抛一枚硬币试验的事件 B = {正面向上 H }的概率，即 P B( ) = 0.5 . 由频率的性质和概率的统计定义即可得概率的如下性质 H . （1） 0 1 P A( ) ； P P ( = = ) 1, 0 ( ) ； （2）对两两互斥的有限个随机事件 A1 ， A2 ，.， A n ，有 P A A A P A P A P A ( 1 2 1 2 n n ) = + + + ( ) ( ) ( ) . 性质（2）叫做概率的有限可加性.此性质可以推广至概率的可列可加性.即若事件 A1 ， A2 ，. , , An 两两互斥，则 P A A A P A P A P A ( 1 2 1 2 n n ) = + + + ( ) ( ) ( )+ 利用这些性质可以证明下面三个性质. （3） P A P A ( ) = −1 ( ) ； （4）若 A B ，则 P B A P B P A ( − = − ) ( ) ( ) ； 若 A B, 为任意事件，则 P B A P B P AB ( − = − ) ( ) ( ) ； （6） P A B P A P B P AB ( ) = + − ( ) ( ) ( ) . 性质（6）叫做概率加法公式,性质（3）是它的特例. 例 1 设 ( ) 1 3 P A = ， ( ) 1 4 P B = ，在下列三种情况下，求 P A B ( ) 及 P A B ( − ) 的值. （1） A 与 B 互斥； （2） B A ； （3） ( ) 1 6 P AB = . 三、古典概型 1. 古典概型 如果一个试验 E 具有以下两个特点： （1）样本空间 是由有限个样本点组成的，即其基本事件的个数是有限的； （2）每个基本事件出现的可能性相同（也叫做等可能性）. 则称E为古典型随机试验,相应的数学模型叫做古典概型.古典概型在实践中有广 泛的应用，它在概率论中占有相当重要的地位.对于古典概型，设其样本空间 1 2 { } = ， ， ， n ，由于 1 2 n = ，且诸 i 间是互不相容的，利 2 概率的古典定义 定义 3 对于古典概型，设其样本空间包含基本事件的个数为 n ，事件 A 包含基本事
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容件的个数为k，则称比值≤为事件A的概率，记作P(4)即nP(A)=kn此定义叫做概率的古典定义例210件产品中，有8件正品，2件次品，任取一件产品，求取得次品的概率，例4一罐中装有4个白球，3个黑球，从这7个球中一次任取3个球，问它们全是白球的概率是多少？例5设N件产品中，有M件次品.从N件中任取n件（nO，则P(BA)=P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率；称P(AB)P(A|B)=(P(B)>0)(2)P(B)为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率不难验证上一节给出的概率性质，对条件概率仍然成立，即有(1) P(B|A)≥0:(2) P(Q|A)=1;（3）P(UB,IA)=P(B,IA)，（其中B,两两互斥）(4) P(Φ|A)=0 ;i=li=l(5) P(BIA)=1- P(B|A).例1甲、乙二车间生产同一种产品共1500个，已知甲车间生产600个产品中正品数为560个.现从1500个中任取一个，已知它是甲车间生产的，求取到正品的概率.第8页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 8 页 件的个数为 k ，则称比值 k n 为事件 A 的概率，记作 P A( ) 即 ( ) k P A n = 此定义叫做概率的古典定义. 例 2 10 件产品中，有 8 件正品，2 件次品，任取一件产品，求取得次品的概率. 例 4 一罐中装有 4 个白球，3 个黑球，从这 7 个球中一次任取 3 个球，问它们全是 白球的概率是多少？ 例 5 设 N 件产品中，有 M 件次品.从 N 件中任取 n 件（ n N ).求 n 件中恰有 m 件 次品的概率( 0 m M ). 例 6 一口袋中装有红、白、黄色球各一个.从中随机抽取三次，每次取一个球，取后 观察其颜色后放回.再取下一个球，求三次都取白球的概率. 需要注意的是： 1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.;等可能性”是一种假设，在实 际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能 的. 2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏. 3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型： 小结:介绍了古典 概型 及 概率 的 古典 定 义,着重 举 例 说明 如 何进 行 古典 概率的计算. 第三节 条件概率及乘法公式 一、条件概率 定义 1 设 A ， B 是两个事件，且 P(A) 0 ，则 ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A = （1） 为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率；称 ( ) ( ) ( ) | P AB P A B P B = (P B( ) 0) （2） 为在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率. 不难验证上一节给出的概率性质，对条件概率仍然成立，即有 （1） P(B | A) 0 ； （2） P( | A) =1 ； （3） = = = 1 1 ( | ) ( | ) i i i P Bi A P B A ，（其中 Bi 两两互斥）； （4） P( | A) = 0 ； （5） P(B | A) =1− P(B | A) . 例 1 甲、乙二车间生产同一种产品共 1500 个，已知甲车间生产 600 个产品中正品数 为 560 个.现从 1500 个中任取一个，已知它是甲车间生产的，求取到正品的概率
长春大学旅游学院课程教案用纸教案内容教学设计概率的乘法公式由公式（1）及（2）即得(P(A)>0)P(AB)= P(A) P(BIA)(P(B)>0)=P(B)P(A|B)(3)公式（3）叫做概率的乘法公式.例2在10个球中有4个新球，现有甲乙2人取球（不放回），按甲、乙的次序，每人取一球.求（1）甲、乙都取到新球；（2）甲没有取到新球而乙取到新球的概率。概率的乘法公式（3）可以推广到多个事件的情形.一般地，对事件A，A,，，A.，若P(A,A,"",A.)>0则有P(A,A.,..,A.)=P(A|A,A,.,A.)×P(A..|IA,A,..,...)...xP(A1A)P(4)二、全概率公式设事件A，A，，A两两互斥，AUAU...UA=Q，且P(A)>0(i=1,2,…,n)，B为任一事件，则P(B)= P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)+. +P(A.)P(BIA.)(5)P(A)P(BIA)（5）式叫做全概率公式例4一仓库中有甲、乙、丙厂生产的同样型号的产品，已知其中甲、乙、丙厂生产站131的分别是总量的一，且甲厂、乙厂、丙厂次品率依次为0.95、0.94、0.90.210~5从其中任取一件产品，求取到正品的概率。三、贝叶斯公式设事件A，A，"，A两两互斥，AUAU..UA=Q，且P(A)>0(i=1,2,,n)，对任一事件B，P(B)>0，则P(4IB)= P(4)P(BI4)P(B)页9
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 9 页 二、概率的乘法公式 由公式（1）及（2）即得 P AB P A P B A ( ) = ( ) ( | ) (P A( ) 0) = P B P A B ( ) ( | ) (P B( ) 0) （3） 公式（3）叫做概率的乘法公式. 例 2 在 10 个球中有 4 个新球，现有甲乙 2 人取球（不放回），按甲、乙的次序， 每人取一球.求（1）甲、乙都取到新球；（2）甲没有取到新球而乙取到新球的概率. 概率的乘法公式（3）可以推广到多个事件的情形.一般地，对事件 A1 ，A2 ，.， A n ， 若 P A A A ( 1 2 1 , , , 0 i− ) 则有 P A A A ( 1 2 , , , n ) = P A A A A ( n i 1 2 1 , , , − ) P A A A A ( n n − − 1 1 2 2 , , , ) P A A P A ( 2 1 1 | ) ( ) 二、全概率公式 设事件 A1 ， A2 ，.， A n 两两互斥， A A A 1 2 n = ，且 P A i n ( i) = 0 1, 2, , ( ) ， B 为任一事件，则 P B P A P B A P A P B A ( ) = + + ( 1 1 2 2 ) ( | | ) ( ) ( ) +P A P B A ( n n ) ( | ) （5） = ( ) ( ) 1 | n i i i P A P B A = （5）式叫做全概率公式. 例 4 一仓库中有甲、乙、丙厂生产的同样型号的产品，已知其中甲、乙、丙厂生产 的分别是总量的 2 1 、 10 3 、 5 1 ，且甲厂、乙厂、丙厂次品率依次为 0.95、0.94、0.90. 从其中任取一件产品，求取到正品的概率. 三、贝叶斯公式 设事件 A1 ， A2 ，.， A n 两两互斥， A A A 1 2 n = ，且 P A i n ( i) = 0 1, 2, , ( ) ，对任一事件 B， P B( ) 0 ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) | | i i i P A P B A P A B P B =
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容P(A)P(BIA)(i=1,2,.*,n)(6)ZP(A)P(B|A)（6）式叫做贝叶斯公式.在上面的例4中，取到的一件是正品，问这件产品分别是甲厂、乙厂、丙厂生产的概率各多大？此问题就是分别求P(AIB)，(i=1,2,3)第四节事件的独立性与二项概率公式、事件的相互独立性定义如果事件A，B满足P(AB)=P(A)P(B)(7)则称事件A与B相互独立，简称A，B独立.例1甲、乙二人独立地向同一目标射击.已知甲、乙二人击中目标的概率分别为0.7和0.8，求目标被击中的概率例2若事件A与B相互独立，证明A与B也相互独立设A，B，C是三个事件，如果满足等式P(AB)= P(A)P(B),P(BC)= P(B)P(C),P(AC)= P(A)P(C),P(ABC)= P(A)P(B)P(C),则称事件A，B，C相互独立.一般地，设A,AA,是n（n≥2）个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称为事件A,AA相互独立.由此即可得到以下两个重要结论：（i）若事件A,AA，（n≥2）相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的.（ii）若n个事件A,AA（n≥2）相互独立，则将A,AA中任意多个事件换成其对立事件仍是独立的.若事件A，A，…，A相互独立，则有P(A,A,*,A)=P(A)P(A)...P(A)每次试验出现的结果互不影响，这类试验叫做重复独立试验.在n次重复独立试第10页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 10 页 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 | | i i n i i i P A P B A P A P B A = = (i n =1, 2, , ) （6） （6）式叫做贝叶斯公式. 在上面的例 4 中，取到的一件是正品，问这件产品分别是甲厂、乙厂、丙厂生产 的概率各多大？此问题就是分别求 P A B ( i | ) ，(i =1, 2,3) . 第四节 事件的独立性与二项概率公式 一、事件的相互独立性 定义 如果事件 A ， B 满足 P AB P A P B ( ) = ( ) ( ) （7） 则称事件 A 与 B 相互独立，简称 A , B 独立. 例 1 甲、乙二人独立地向同一目标射击.已知甲、乙二人击中目标的概率分别为 0.7 和 0.8，求目标被击中的概率. 例 2 若事件 A 与 B 相互独立，证明 A 与 B 也相互独立. 设 A ， B ，C 是三个事件，如果满足等式 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), P ABC P A P B P C P AC P A P C P BC P B P C P AB P A P B = = = = 则称事件 A ， B ，C 相互独立. 一般地，设 A1 A2 An , 是 n （ n 2 ）个事件，如果对于其中任意 2 个，任意 3 个，.，任意 n 个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称为事件 A1 A2 An , 相互独立. 由此即可得到以下两个重要结论： （i）若事件 A1 A2 An , （ n 2 ）相互独立，则其中任意 k(2 k n) 个事件 也是相互独立的. （ii) 若 n 个事件 A1 A2 An , （ n 2 ）相互独立，则将 A1 A2 An , 中任意多个 事件换成其对立事件仍是独立的. 若事件 A1 ， A2 ，.， A n 相互独立，则有 P A A A P A P A P A ( 1 2 1 2 , , , n n ) = ( ) ( ) ( ) 每次试验出现的结果互不影响，这类试验叫做重复独立试验.在 n 次重复独立试