长春大学旅游学院教师教案（2013—2014学年第二学期）课程名称：高等数学（线性代数）许莹任课教师：基础部所在分院（部）：长春大学旅游学院教务处制
长春大学旅游学院 教 师 教 案 （2 01 3 2 014 学年第 二 学期） 课 程 名 称： 高等数学（线性代数） 任 课 教 师： 许莹 所在分院（部）： 基础部 长 春 大 学 旅 游 学 院 教 务 处 制
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容2页第
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 2 页
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容第一章行列式重点：1、明白行列式的概念，了解行列式的性质。2、能够应用行列式的性质计算行列式的值，可以通过行列式按行（列）展开定理计算行列式的值。难点：1、行列式的性质的掌握。2、行列式按行（列）展开定理。第一节n阶行列式的定义、二阶行列式和三阶行列式1.二阶行列式(1)[ax +a2x =bi二元线性方程组(2)a21 +a22x, =b2通过计算二元用加减消元法求得线性方程组，给出行列式的[(auμa22-a12a21)x, =b,a22-bza12定义，引导学[(aiia22 -ai2a21)x2 = b,a-b,a21生简化（*）的b,a22 - b,ai2记忆xi :aia22 -a12a21即(*)b,au -b,a21x2aa22 -a12a21主对角线元素相乘取正号，定义1由2个数a,(i,j=1,2,3)构成的如下算式次对角线元素相乘取负号ana12=auα22-αi2α21叫做二阶行列式.记作D，a21a22lana12即D=(1)=ai22-a221a21a22（1）式右端叫做二阶行列式的展开式.其中am，α2，α21，α22，叫做这个二第3页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 3 页 第一章 行列式 重点： 1、明白行列式的概念，了解行列式的性质。 2、能够应用行列式的性质计算行列式的值，可以通过行列式按行（列）展开定理 计算行列式的值。 难点: 1、 行列式的性质的掌握。 2、 行列式按行（列）展开定理。 第一节 n 阶行列式的定义 一、二阶行列式和三阶行列式 1. 二阶行列式 二元线性方程组 + = + = (2) (1) 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 用加减消元法求得 定义 1 由 2 2 个数 a (i, j =1,2,3) ij 构成的如下算式 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − 叫做二阶行列式.记作 D ， 即 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a D = = − （1） （1）式右端叫做二阶行列式的展开式.其中 11 a ， 12 a ， 21 a ， 22 a ，叫做这个二 通 过 计 算 二 元 线 性 方 程 组 ， 给 出 行 列 式 的 定 义 ， 引 导 学 生 简 化（*）的 记 忆 主 对 角 线 元 素 相 乘 取 正 号 ， 次 对 角 线 元 素 相 乘 取负号 − = − − = − 11 22 12 21 2 2 11 1 21 11 22 12 21 1 1 22 2 12 ( ) ( ) a a a a x b a b a a a a a x b a b a 1 22 2 12 1 11 22 12 21 2 11 1 21 2 11 22 12 21 ( ) b a b a x a a a a b a b a x a a a a − = − − = − 即
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容阶行列式的元素，且a,(i=1,2;j=1,2)表示行列式D中第i行第j列的元素.对角线法则只适（1）式右端的代数和是用对角线法则计算出来的。用在求二、三阶[3x +5x = 1例1用二阶行列式求解线性方程组行列式的值[2x, +4x,=32.三阶行列式定义2由32个数a,(i,j=12,3)构成的如下算式aia13ai2a21a23=aia22a33+ai2a23ai+ai3a2ia32a2233[a31a32通过三阶行列式的分析，引2332-a22221出展开法则叫做三阶行列式，记为D，即anai3ai2D=a21a22a23=a223+2231+a232a31a32a3322—a232上式右端叫做三阶行列式的展开式，它是6项的代数和，且每一项都是位于行列式中的不同行、不同列的三个元素之乘积。注意：M,同Aij104的区别2-12=14例2计算三阶行列式D=-130二、n阶行列式的定义在三阶行列式D分别划去元素au，ai2，ais所在的行和列，把剩下的元素按原来的顺序构成的二阶行列式得到三个二阶行列式如下a22a23a21a2a21a22按行（列）展a32a33a3ia33a32a31开公式，比较难理解，因此将它们依次叫做元素au，ai2，a3的余子式，记为M，M2，M，即讲课时速度尽量放慢[a22a23a2a21a21a22Mu=Mi2 :Mi3-a32a33a3132a33a31记 A,=(-1)++ M1, Ai2 =(-1)+2 M12, A13 =(-1)+3 M13, 将A1, A12, A13第4页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 4 页 阶行列式的元素，且 a (i =1,2; j =1,2) ij 表示行列式 D 中第 i 行第 j 列的元素. （1）式右端的代数和是用对角线法则计算出来的。 例 1 用二阶行列式求解线性方程组 1 2 1 2 3 5 1 2 4 3 x x x x + = + = 2. 三阶行列式 定义 2 由 2 3 个数 a (i, j =1,2,3) ij 构成的如下算式 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 叫做三阶行列式，记为 D ，即 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D = = + + − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 上式右端叫做三阶行列式的展开式，它是 6 项的代数和，且每一项都是 位于行列式中的不同行、不同列的三个元素之乘积. 例 2 计算三阶行列式 1 3 0 2 1 2 1 0 4 − D = − =14 二、n 阶行列式的定义 在三阶行列式 D 分别划去元素 11 a ， 12 a ， 13 a 所在的行和列，把剩下的元素按原 来的顺序构成的二阶行列式得到三个二阶行列式如下 32 33 22 23 a a a a ， 31 33 21 23 a a a a ， 31 32 21 22 a a a a 将它们依次叫做元素 11 a ， 12 a ， 13 a 的余子式，记为 M11， M12 ， M13 ，即 32 33 22 23 11 a a a a M = ， 31 33 21 23 12 a a a a M = ， 31 32 21 22 13 a a a a M = 记 11 1 1 11 A ( 1) M + = − ， 12 1 2 12 A ( 1) M + = − ， 13 1 3 13 A ( 1) M + = − ，将 A11，A12 ， A13 对角线法则只适 用在求二、三阶 行列式的值 通 过 三 阶 行 列 式 的 分 析 ， 引 出 展开法则 注 意 ：M ij 同 Aij 的区别 按 行 （ 列 ） 展 开 公 式 ， 比 较 难 理 解 ， 因 此 讲课时 速 度 尽 量 放 慢
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容分别叫做元素a，αi2’ai3的代数余子式按每一行（列）展开计算均一般地，三阶行列式D中元素α,的余子式是是指将D中第i行，第j列各元素可，选择0元素最多的那一划去后剩余的元素按原来的顺序构成的行列式，记为M，·而α,的代数余子式为行（列）展开最简单A, =(-1) M,(i, j =1,2,3).234例3计算三阶行列式012的第一行各元素的代数余子式570[2 3 4aia12ai301(2)0例4将下列行列式按第一行展开（1）a21a2200570a3定义3由n2个数组成的如下算式例7比较难，aa2.ain可选讲，或者a2a22..a2n=auA+ai2A2+...+ainAn留做思考题++anam2.ann叫做n阶行列式，记作D，即aai2..aina21a22.a2nD==aA.+a2A2+.+anA,=a,A,注意：由于行j=l列式的概念，anan2...anm并不适合计算行列式的值，其中A,是元素α,(j=1,2,,n)的代数余子式.所以有必要探讨行列式的性40-20质230-4例5计算四阶行列式D的值D=050.13060130-423500=18解：αi2=0,ai4=0, A=(-1)0= 90, A13 =(-1)P1J006630所以由定义3得D=4x90-2x18=324例6计算n阶行列式D的值（D叫做下三角行列式）第5页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 5 页 分别叫做元素 11 a ， 12 a ， 13 a 的代数余子式 一般地，三阶行列式 D 中元素 aij 的余子式是是指将 D 中第 i 行，第 j 列各元素 划去后剩余的元素按原来的顺序构成的行列式，记为 Mij .而 aij 的代数余子式为 = (−1) ( , =1,2,3) + A M i j ij i j ij . 例 3 计算三阶行列式 234 0 1 2 5 7 0 − 的第一行各元素的代数余子式 例 4 将下列行列式按第一行展开（1） 234 0 1 2 5 7 0 − ；（2） 11 12 13 21 22 33 0 0 0 a a a a a a 定义 3 由 2 n 个数组成的如下算式 n n n n nn n n a A a A a A a a a a a a a a a 11 11 12 12 1 1 1 2 21 22 2 11 12 1 . . . . . . . = + ++ 叫做 n 阶行列式，记作 D ，即 n n n n nn n n a A a A a A a a a a a a a a a D 11 11 12 12 1 1 1 2 21 22 2 11 12 1 . . . . . . . = = + ++ = = n j a j A j 1 1 1 其中 A1 j 是元素 ( 1,2, , ) a1 j j = n 的代数余子式. 例 5 计算四阶行列式 D 的值 3 0 0 6 1 0 5 0 2 3 0 4 4 0 2 0 − − − D = 解： 0, 0, a12 = a14 = 18 3 0 6 1 0 0 2 3 4 90, ( 1) 0 0 6 0 5 0 3 0 4 ( 1) 1 3 13 1 1 11 − = − = = − − = − + + A A 所以由定义 3 得 D = 490−218 = 324 例 6 计算 n 阶行列式 D 的值（ D 叫做下三角行列式） 按每一 行（ 列） 展 开 计算均 可，选择 0 元 素 最 多 的 那 一 行 （ 列 ） 展 开 最简单 例 7 比 较 难， 可选讲 ， 或 者 留做思考题 注意： 由 于 行 列 式 的 概 念 ， 并 不 适 合 计 算 行 列 式 的 值 ， 所 以 有 必 要 探 讨 行 列 式 的 性 质
长春大学旅游学院课程教案用纸容教学设计教案内以三阶行列式000aii0a3.为例，总结各00a22a44a21.a43..=aua22(-1)+ID=项性质...=ai1a22a33..annan2auam3anian4ann...3-121-513例7DT=求A, +A/2 +Ar3 +A14s2011-53-31性质6着重讲111解，因为使用110-5解Au+A/2+A13+A14=4率极高313-12-4-1 -3第二节n阶行列式的性质[aa2aina21azna22...将n阶行列式D：....aalan2an...的行与列互换（不改变它们的前后顺序）后得到一个新的行列式au2.a12a22..an2DT =aina2n...am称DT为行列式D的转置行列式.显然D也是DT的转置行列式，于是也称D与DT互为转置行列式.性质1行列式转置后其值不变，即D=DT由此性质可知，行列式的性质凡是对行成立的对列也成立、性质2互换行列式的任意两行（列），行列式变号，互换i,j两行（列）记为r台r(c,台c,)推论若行列式中有两行（列）元素完全相同，则行列式为零性质3行列式某一行（列)中各元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列注意：克莱姆第6页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 6 页 an an ann a a a D . . . . . . 0 0 . 0 1 2 21 22 11 = nn n n nn a a a a a a a a a a = a a − = = + 11 22 33 3 4 43 44 33 1 1 11 22 . . . . . . 0 0 . 0 ( 1) T 11 12 13 14 11 12 13 14 3 1 1 2 5 1 3 4 . A A A A , 2 0 1 1 1 5 3 3 1 1 1 1 1 1 0 5 A A A A 4 1 3 1 3 2 4 1 3 D − − − = + + + − − − − + + + = = − − − − 例7 求 解 第二节 n 阶行列式的性质 将 n 阶行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D . . . . . . . 1 2 21 22 2 11 12 1 = 的行与列互换（不改变它们的前后顺序）后得到一个新的行列式 n n nn n n T a a a a a a a a a D . . . . . . . 1 2 12 22 2 11 21 1 = 称 T D 为行列式 D 的转置行列式.显然 D 也是 T D 的转置行列式，于是也称 D 与 T D 互为转置行列式. 性质 1 行列式转置后其值不变，即 T D = D . 由此性质可知，行列式的性质凡是对行成立的对列也成立. 性质 2 互换行列式的任意两行（列），行列式变号， 互换 i, j 两行（列）记为 ( ) i j i j r r c c . 推论 若行列式中有两行(列)元素完全相同，则行列式为零. 性质 3 行列式某一行(列)中各元素都乘以同一个数 k ，等于用数 k 乘以此行列 以 三 阶 行 列 式 为例， 总 结 各 项 性 质 性 质 6 着 重讲 解 , 因为使用 率极高 注 意 ： 克 莱 姆
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容法则的使用的式.第i行（列)乘以数k，记为kr(kc)范围推论行列式中某行（列)的元素的公因子可提到行列式符号的外面性质4行列式中若有两行(列)元素对应成比例，则此行列式等于零性质5若行列式某一行（列）的所有元素都是两数之和，则该行列式可表示为两个行列式的.例如第；行的各元素都是两数之和，性质6把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个非零数k加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。（用数k乘第i行（列）加到第j行（列）上，记作k+r(c,+c)性质7行列式D等于它的任一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即D=anA,+a,A,++amA,(i=1,2,,n)或D=a,A, +a2,A, +.+amAm,(j=1,2,,n)这个性质也叫做行列式按（列）展开法则，此性质的重要推论如下推论行列式任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积或之和等于零：即anA,+ai2A2+.+amA=0(i±)(i+i).+anA.=0auA,+ai31-1223-4-51300例1 计算D=-1=18例2计算D==120021/36021-533ai-10ai2ain1013a22a2m...例3计算D=例4计算行列式D：0o210100-53amm...ba...aa注意：区分行ba..例5计算n阶行列式D=列式与矩阵。矩阵是一个矩baaa形表，行列式是一个具体数111I值aa2asas例6计算行列式D=aa,a?aa3a.3a3a第7页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 7 页 式.第 i 行(列)乘以数 k ，记为 ( ) i i kr kc 推论 行列式中某行(列)的元素的公因子可提到行列式符号的外面. 性质 4 行列式中若有两行(列)元素对应成比例，则此行列式等于零. 性质 5 若行列式某一行(列)的所有元素都是两数之和，则该行列式可表示为两 个行列式的.例如第 i 行的各元素都是两数之和， 性质 6 把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个非零数 k 加到另一行 （列）对应的元素上去，行列式不变.（用数 k 乘第 i 行（列）加到第 j 行（列）上， 记作 ) i j i j kr + r（c + c 性质 7 行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之 和，即 ( 1,2, , ) D = ai1Ai1 + ai2Ai2 ++ ainAin i = n 或 ( 1,2, , ) D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + anjAnj j = n 这个性质也叫做行列式按（列）展开法则，此性质的重要推论如下 推论 行列式任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积 之和等于零 . 即 0 (i j) ai1Aj1 + ai2Aj2 ++ ai nAj n = 或 0 (i j) a1i A1 j + a2i A2 j + + aniAnj = 例 1 计算 3 0 6 1 0 0 2 3 4 − − D = =18 例 2 计算 1 5 3 2 2 0 1 1 5 1 3 4 3 1 1 2 − − − − − D = =120 例 3 计算 11 12 1 22 2 . 0 . . . . . 0 0 . n n nn a a a a a D a = 例 4 计算行列式 3 1 1 0 5 1 3 1 2 0 0 1 0 5 3 1 D − − = − 例 5 计算 n 阶行列式 . . . . . . . . b a a a a b a a D a a a b = 例 6 计算行列式 1 2 3 4 2 2 2 2 1 2 3 4 3 3 3 3 1 2 3 4 1 1 1 1 a a a a D a a a a a a a a = 法则的 使 用 的 范 围 注 意 ： 区 分 行 列 式 与 矩 阵 。 矩 阵 是 一 个 矩 形 表 , 行列式 是一个 具 体 数 值
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容[211]例7已知行列式D=1元1=0，求几的值.得=1或=-21元1第三节克莱姆法则含有n个未知量n个方程的线性方程组am,+a2x,+..+an=ba2imj+a22x2+...+a2nxn=b2(1)anx+anx,+...+amx,=b定理（克莱姆法则）如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即aiana12.a21a22azn*D=￥0aman2a.则方程组（1）有唯一解D,D,D,相等矩阵：必(2)X =X2 =X.DDD须是同型矩阵才有可能其中D,(j=1,2…,n)是用b,b,b,代替D中第j列所得到的n阶行列式，[2x -x, +2x, =1例1用克莱姆法则求线性方程组3x,+4x2-x,=0的解[X+2x2-3x=4D_38_19D2=-40-_5D=_ 46=-23，x, =D24"12x3'24D-2412D只有同型矩阵aux+a2x2+...+anx,=0才可以相加，a2ix,+a2x2+...+a2nx,=0并且对应元素线性方程组(4)要相加amx+am2x,+...+ax,=0叫做齐次线性方程组.显然，X=xz==x，=0是方程组（4）的解，称这个解为齐次线性方程组（4）的零解：显然，齐次线性方程组（4）一定有零解.如果方程组（4）的一个解中x，x2…，x，不全为零，则称该解为齐次线性方程组（4）的非零解.数乘矩阵：数乘以矩阵的每一个第8页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 8 页 例 7 已知行列式 0 1 1 1 1 1 1 = = D ，求 的值. 得 =1 或 = −2. 第三节 克莱姆法则 含有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组 + ++ = + ++ = + ++ = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 （1） 定理（克莱姆法则）如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即 0 . . . . . . . 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n nn n n a a a a a a a a a D 则方程组（1）有唯一解 D D x 1 1 = ， D D x 2 2 = ，.， D D x n n = （2） 其中 D ( j 1,2, ,n) j = 是用 b b bn , , 1 2 代替 D 中第 j 列所得到的 n 阶行列式， 例 1 用克莱姆法则求线性方程组 + − = + − = − + = 2 3 4 3 4 0 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 的解 12 19 24 1 38 1 = = = D D x ， 3 5 24 2 40 2 = = − = − D D x ， 12 23 24 3 46 3 = = − = − D D x 线性方程组 + ++ = + ++ = + ++ = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x （4） 叫做齐次线性方程组.显然， x1 = x2 = = xn = 0 是方程组（4）的解，称这个解为 齐次线性方程组（4）的零解；显然，齐次线性方程组（4）一定有零解.如果方程组 （4）的一个解中 n x，x ，，x 1 2 不全为零，则称该解为齐次线性方程组（4）的非零 解. 相 等 矩 阵 ： 必 须 是 同 型 矩 阵 才有可能 只 有 同 型 矩 阵 才可以 相 加 , 并 且 对 应 元 素 要 相 加 数乘矩阵：数乘 以矩阵的每一个
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容元素；x+x+x+=5数乘行列式：数x +2x2-x+4x4 =-2例2用克莱姆法则求线性方程组3乘以某行(列)的2x -x, -3x, -5x4 =-2元素3x +X2+2x+11x=0X+x2+2x,=0例3为何值时，齐次线性方程组x+x一x=0）有非零解2x+2x,+3x=0第二章矩阵重点：左（列)等于右1、了解矩阵的定义。2、明白什么是单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵和对称矩阵，并且了解（行）它们的性质。3、了解矩阵的线性运算、乘法、转置，并且掌握它们的运算规律。4、明白方阵的幂同方阵的行列式。5、了解逆矩阵的定义，明白逆矩阵的性质，还有矩阵可逆的充分必要条件。6、理解伴随矩阵的定义，会通过伴随矩阵求出逆矩阵。7、了解矩阵的初等变换，明白初等矩阵的定义。8、了解矩阵的秩的定义，会用初等变换求矩阵的秩，会用初等变换求逆矩阵。难点：注意：1、矩阵的乘法AB+BAAB=0不能推出2、逆矩阵A=0或B=03、矩阵可逆的充分必要条件特例：AB=BA4、矩阵的秩5、用初等变换求矩阵的秩以及逆矩阵的方法。AC=BC,不能推出A+B6、矩阵运算性质的综合运用。矩阵是从很多实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，也是研究线性方程组的重要数学工具.本章主要介绍矩阵的概念，运算及其性质，矩阵的秩及其求法.第一节矩阵的概念一、矩阵的定义定义由mxn个数a,(i=1,2,,m,j=1,2,,n)排列m行n列的矩形表一般地:A+Ar第9页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 9 页 例 2 用克莱姆法则求线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 4 2 2 3 5 2 3 2 11 0 x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = + − + = − − − − = − + + + = 例 3 为何值时，齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 0 0 2 2 3 0 x x x x x x x x x + + = + − = + + = 有非零解 第二章 矩阵 重点： 1、了解矩阵的定义。 2、明白什么是单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵和对称矩阵，并且了解 它们的性质。 3、了解矩阵的线性运算、乘法、转置，并且掌握它们的运算规律。 4、明白方阵的幂同方阵的行列式。 5、了解逆矩阵的定义，明白逆矩阵的性质，还有矩阵可逆的充分必要条件。 6、理解伴随矩阵的定义，会通过伴随矩阵求出逆矩阵。 7、了解矩阵的初等变换，明白初等矩阵的定义。 8、了解矩阵的秩的定义，会用初等变换求矩阵的秩，会用初等变换求逆矩阵。 难点: 1、 矩阵的乘法 2、 逆矩阵 3、 矩阵可逆的充分必要条件 4、 矩阵的秩 5、 用初等变换求矩阵的秩以及逆矩阵的方法。 6、矩阵运算性质的综合运用。 矩阵是从很多实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，也是研究线性方程组 的重要数学工具.本章主要介绍矩阵的概念，运算及其性质，矩阵的秩及其求法. 第一节 矩阵的概念 一、矩阵的定义 定义 由 mn 个数 a (i 1,2, ,m; j 1,2, , n) ij = = 排列 m 行 n 列的矩形表 元素； 数乘行列式：数 乘以某行(列)的 元素 左 ( 列 )等 于 右 (行 ) 注意： A B B A A B= O 不 能 推出 A=O 或 B=O 特 例 : A B = BA AC=BC, 不 能 推 出 A B 一般地 : T A A
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容对称矩阵：aai2anA=ATa21a22...a2nA=(amlam2...a叫做m行n列矩阵，简称mxn矩阵.其中a,叫做矩阵A的第i行第j列元素.为了方便（1）式也简记为A=（a）m或Amxn，用字母A、B、C等表示.二、常见的特殊矩阵所有元素均为零的矩阵叫做零矩阵，记为0m或0.aua2在定义中当n=1时，A=(au）mx=叫做列矩阵.aml当m=1时，A=(a,)x=(au1an）叫做行矩阵.ai2.当m=n时，A=(ag）nn叫做n阶方阵(a00(au...a12ar00a21a22a22a2n..*.形如A=或B=0aan2aan.的n阶方阵叫做下（或上）三角形矩阵.主对角线以外的元素都为零的n阶方阵，0(a000a22...A=叫做n阶对角形矩阵.00ann...主对角线上元素都是1的n阶对角形矩阵注意：100001当[A+0时，E =叫做n阶单位矩阵(00A-才存在1若两个矩阵A,B行数相等，列数也相等，则称矩阵A与B是同型矩阵.对同型矩第10页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 10 页 = m m mn n n a a a a a a a a a A . . . . . . . 1 2 21 22 2 11 12 1 叫做 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵.其中 aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素.为了方 便（1）式也简记为 A = aij mn ( ) 或 Amn ，用字母 A、B、C 等表示. 二、常见的特殊矩阵 所有元素均为零的矩阵叫做零矩阵，记为 0mn 或 0. 在定义中 当 n =1 时， = = 1 21 11 1 ( ) m ij m a a a A a ，叫做列矩阵. 当 m =1 时， ( ) ( ) A = aij 1n = a11 a12 a1n 叫做行矩阵. 当 m = n 时， A = aij nn ( ) 叫做 n 阶方阵. 形如 = an an ann a a a A . . . . . . 0 0 . 0 1 2 21 22 11 或 = nn n n a a a a a a B 0 . . . . . 0 . . 22 2 11 12 1 的 n 阶方阵叫做下（或上）三角形矩阵. 主对角线以外的元素都为零的 n 阶方阵， = ann a a A 0 0 . . . . . 0 . 0 0 . 0 22 11 ，叫做 n 阶对角形矩阵. 主对角线上元素都是 1 的 n 阶对角形矩阵 = 0 0 . 1 . . . . 0 1 . 0 1 0 . 0 E ，叫做 n 阶单位矩阵. 若两个矩阵 A,B 行数相等，列数也相等，则称矩阵 A 与 B 是同型矩阵.对同型矩 对称矩阵: T A = A 注意： 当 A 0 时 ， −1 A 才存在