第四章「随机变量的数字特征与极限定理总习题与详解
第四章 随机变量的数字特征与极限定理 总习题与详解
总习题四1.甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为X和Y，它们的概率分布律依次为2X01Y012b0.20.20.6P0.60.30.1分别计算EX和EY，从而评定他们成绩的好坏2.已知随机变量X的分布律为：X-20-12eP求X的数学期望EX3.设随机变量X的概率密度为：a0<x<1;f(x)=3 元(1+ x2)o，其它其中a为常数，求a及X的数学期望EX4.设随机变量X的分布律为：X2n11-61-2-13p求 E(X+1).5.设随机变量（X,Y）的联合概率密度为：[12y2,0≤y≤x≤];f(x,y)=[o，其它求EX，EY，E(XY).6.设连续型随机变量X的概率密度为：[3(1- x),0 < x<1:f(x)=[o，其它求Y=X"的数学期望.7.设连续型随机变量X的概率密度为：
总习题四 1. 甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为 和 ，它们的概率分布律依次为： 分别计算 和 ，从而评定他们成绩的好坏. 2. 已知随机变量 的分布律为： 求 的数学期望 . 3. 设随机变量 的概率密度为： 其中 为常数，求 及 的数学期望 . 4. 设随机变量 的分布律为： 求 . 5. 设随机变量 的联合概率密度为： 求 ， ， . 6. 设连续型随机变量 的概率密度为： 求 的数学期望. 7. 设连续型随机变量 的概率密度为： X Y EX EYX X EX X = + 0 , . ,0 1; ( ) (1 ) 2 其它 x x a f x a a X EX X ( 1) 2 E X + (X ,Y) = 0 , . 12 ,0 1; ( , ) 2 其它 y y x f x y EX EY E(XY)X − = 0 , . 3(1 ),0 1; ( ) 其它 x x f x 3 Y = X X X 0 1 2 P 0.2 0.2 0.6 Y 0 1 2 P 0.6 0.3 0.1 X − 2 −1 0 2 P 3 1 6 1 4 1 4 1 X 1 2 3 P 2 1 3 1 6 1
[a+bx2,0 <x<1,f(x) :，其它03并且EX求a和b的值58.设随机变量（X,Y）的联合分布律为：X-101Y11-21-13-2121-n1-61142EX和Y的数学期望求X的数学期望EY9.设随机变量X的概率密度为：1e- (-00<x<+00),f(x) =2求EX，EX，DX的值10.设随机变量X的分布函数为f0 ,x<-1,F(x)=a+barcsinx,-1<x<1;[1 , x≥1,求a,b和 DX.11.已知随机变量X和Y服从正态分布N(1,33)和N(0,42），且X与Y的相关系数1XY，设Z-Pxy=32'求（1）Z的数学期望EZ和方差DZ：（2）X与Z的相关系数Pxz12.已知离散型随机变量X的分布律为：P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3, P(X=3)=0.5求EX和DX？13.已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4，DX=1.44，求二项分布的参数n与p.14.设随机变量X，X,X，相互独立，其中X在[0,6]上服从均匀分布，X，服从正态分布N0,2"），X,服从参数为=3的泊松分布，记Y=X,-2X,+3X3，求DY
并且 ，求 和 的值. 8. 设随机变量 的联合分布律为： 求 的数学期望 和 的数学 期望 . 9. 设随机变量 的概率密度为： x f x e − = 2 1 ( ) （ − x + ）， 求 ， ， 的值. 10. 设随机变量 的分布函数为： 求 和 . 11. 已知随机变量 和 服从正态分布 和 ，且 与 的相关系数 ，设 ， 求（1） 的数学期望 和方差 ；（2） 与 的相关系数 12. 已知离散型随机变量 的分布律为： ， ， 求 2 EX 和 2 DX . 13. 已知随机变量 服从二项分布，且 ， ，求二项分布的参数 与 . 14. 设随机变量 相互独立，其中 在 上服从均匀分布， 服从正态分布 ， 服从参数为 的泊松分布，记 ，求 . + = 0 , . ,0 1; ( ) 2 其它 a bx x f x 5 3 EX = a b (X ,Y) X EX Y EY X EX E X DX X + − − = 1 , 1. arcsin , 1 1; 0 , 1; ( ) x a b x x x F x a,b DX X Y (1,3 ) 2 N (0,4 ) 2 N X Y 2 1 XY = − 3 2 X Y Z = + Z EZ DZ X Z XZ X P{X =1} = 0.2 P{X = 2} = 0.3 P{X = 3} = 0.5 X EX = 2.4 DX =1.44 n p 1 2 3 X , X , X X1 [0,6] X2 (0,2 ) 2 N X3 = 3 1 2 3 Y = X − 2X + 3X DY X Y −1 0 1 2 1 − 3 1 12 1 12 1 2 12 1 4 1 6 1
2*e-215.已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即P(X=k)=(k=0,1,.),k!求随机变量Z=3X-2的数学期望16.设随机变量X服从参数为的指数分布，求P(X>VDX)17.设随机变量X服从参数为1的泊松分布，求P(X=EX?).18.设随机变量X和Y的相关系数为0.9，若Z=X-0.4，求Y与Z的相关系数Pyz·19.将长度为1的木棒随机地截成两段，求两段长度的相关系数为多少？20.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，求X和Y的相关系数PxY：21．设随机变量(X,Y)的联合分布律为：X021Y-14-14001001311201212求 Cov(X -Y,Y) 与Pxr.22.计算器在进行加法计算时，将每个加数舍人最靠近它的整数.设所有的舍人误差相互独立，且在区间（-0.5,0.5）内服从均匀分布（1）将1500个数相加，求其舍人误差总和的绝对值超过15的概率；（2)最多可有几个数相加使得舍人误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？
15. 已知离散型随机变量 服从参数为 的泊松分布，即 ( ), 求随机变量 的数学期望. 16. 设随机变量 服从参数为 的指数分布，求 . 17. 设随机变量 服从参数为 的泊松分布，求 . 18. 设随机变量 和 的相关系数为 ，若 ，求 与 的相关系数 . 19. 将长度为 的木棒随机地截成两段，求两段长度的相关系数为多少？ 20. 将一枚硬币重复掷 次，以 和 分别表示正面向上和反面向上的次数，求 和 的相关系数 . 21. 设随机变量 的联合分布律为： 求 与 . 22.计算器在进行加法计算时，将每个加数舍人最靠近它的整数.设所有的舍人误差相互 独立，且在区间（-0.5,0.5）内服从均匀分布.（1）将 1500 个数相加，求其舍人误差总和 的绝对值超过 15 的概率；（2)最多可有几个数相加使得舍人误差总和的绝对值小于 10 的概 率不小于 0.90？ X 2 ! 2 { } 2 k e P X k k − = = k = 0,1, Z = 3X − 2 X P{X DX } X 1 { } 2 P X = EX X Y 0.9 Z = X − 0.4 Y Z YZ 1 n X Y X Y XY (X ,Y) Cov(X −Y,Y) XY X Y 0 1 2 0 4 1 0 4 1 1 0 3 1 0 2 12 1 0 12 1
总习题四详解1、解：EX=0×0.3+1×0.2+2×0.5=1.2，EY=0×0.6+1x0.3+2×01=0.5由EX>EY知甲的成绩比乙好1门11一2、解：EX=+(-1)×-+2×--2×+0x-44336aa-dx = -arctan x3、解:由(0) =1,甲(+4=1，得a=4，于是，04元4,0<x<1f(x)=元(1+x3)o,其它()=4=EX=[,d(1+x)元（1+x2）元Jo1+，2 1n(1+x*)] = 21n2.元元4、解：由×的分布律得X2+1的分布律为L:10X? +1P111123613111所以E(X2+1)=2×==+5×=+10x236336、解: EY = EX3= [tx f(x)dx=["3x (1- x)dx =3(t.4520bb7、解：由(x)dx=1,即f(a+bx)dx=(ax+rl=1，得b=3(1-a)=a+3Ja+3(1-a)x,0<x<1于是f(x)=[o,其它再由EX=[x(x)d=x[a+3(1-a)xjdx=号 +3(1-a))43a3，得a4455
总习题四详解 1、 解： EX = + + = 0 0.3 1 0.2 2 0.5 1.2， EY = + + = 0 0.6 1 0.3 2 0.1 0.5， 由 EX EY 知甲的成绩比乙好 2、 解： 1 1 1 1 1 2 ( 1) 0 2 3 6 4 4 3 EX = − + − + + = − . 3、 解：由 f x dx ( ) 1 + − = ，即 1 1 2 0 0 arctan 1 (1 ) 4 a a a dx x x = = = + ，得 a = 4 ，于是， 2 4 , 0 1 ( ) (1 ) 0, x f x x = + 其它 ， 1 1 2 2 2 0 0 4 2 1 ( ) (1 ) (1 ) 1 x EX xf x dx dx d x x x + − = = = + + + 2 1 0 2 2 ln(1 ) ln 2 x = + = . 4、解：由 X 的分布律得 2 X +1 的分布律为 2 X +1 2 5 10 P 1 2 1 3 1 6 所以 2 1 1 1 13 ( 1) 2 5 10 2 3 6 3 E X + = + + = . 6、解： 4 5 1 3 3 3 1 0 0 3 ( ) 3 (1 ) 3( ) 4 5 20 x x EY EX x f x dx x x dx + − = = = − = − = . 7、解：由 f x dx ( ) 1 + − = ，即 1 2 3 1 0 0 ( ) ( ) 1 3 3 b b a bx dx ax x a + = + = + = ，得 b a = − 3(1 ) ， 于是 2 3(1 ) , 0 1 ( ) 0, a a x x f x + − = 其它 再由 1 2 0 EX xf x dx x a a x dx ( ) [ 3(1 ) ] + − = = + − 4 2 1 0 3(1 ) [ ] 2 4 a a x x − = + 3 3 4 4 5 a = − = ，得 3 5 a =
是代入到b=3(1-α)中得b=号,所以α=号,b=%,将a=5"5.6569、解：EX=x(x)dx=xe-dx=0（因为xe在(-00,+o)内是奇函数)E|X=[(x)dx=,xle-dx=J。xe-dx=Jxe*dxJ。xd(-e")=-xe"+J, edx=-e"| =1,而EX= xf(x)dx=-[ re-ldx=Jxedx=Jxrd(-e)=-xe"| +2]xedx=2DX - EX?- EX = 2.10、解：因为F(x)在(-00,+oo)内是连续的，则其在x=-1及x=1都是连续的，所以有F(-1)= lim 0=F(-1)=a+bx(-), 即α-b=0..①,22及F(1)= lim(a+barcsinx)=a+bx=F()=1,即a+号b=1..?,221a=2因为DX=EX-(EX)，而联立①②两式解得1b=元-1<x<1f(x)=F(x)=3 元/1-x0,其它EX = [t xf(x)dx =Vi-=0,Ex=fxf(x)dx=dx:xdxN1-insin042所以DX=}-0=！2212、解：有已知得X的分布律为
将 3 5 a = 代入到 b a = − 3(1 ) 中得 6 5 b = ，所以 3 6 , 5 5 a b = = . 9、解： 1 ( ) 0 2 x EX xf x dx xe dx + + − − − = = = （因为 x xe − 在 ( , ) − + 内是奇函数） 0 0 1 ( ) 2 x x x E X x f x dx x e dx x e dx xe dx + + + + − − − − − = = = = 0 0 0 0 ( ) 1 x x x x xd e xe e dx e + + − − + − − + = − = − + = − = ， 而 2 2 2 2 2 0 0 1 ( ) ( ) 2 x x x EX x f x dx x e dx x e dx x d e + + + + − − − − − = = = = − 2 0 0 2 2 x x x e xe dx + − + − = − + = 2 DX EX EX = − = 2 . 10、解：因为 F(x)在 ( , ) − + 内是连续的，则其在 x =−1 及 x =1 都是连续的，所以有 1 ( 1 ) lim 0 ( 1) ( ) x 2 F F a b − − → − − = = − = + − ，即 0. 2 a b − = ①， 及 1 (1 ) lim( arcsin ) (1) 1 x 2 F a b x a b F − − → = + = + = = ，即 1. 2 a b + = ②， 联立①②两式解得 1 2 1 a b = = ，因为 2 2 DX EX EX = −( ) ，而 2 1 , 1 1 ( ) '( ) 1 0, x f x F x x − = = − 其它 1 1 2 ( ) 0 1 x EX xf x dx x + − − = = = − ， 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 0 1 0 0 2 2 2 2 = ( ) ( 1 1 ) 1 1 x x EX x f x dx dx x x x dx x x + − − = = = − − + − − − 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 1 cos 2 2 sin 2 1 1 sin sin cos ( ) 2 2 4 2 t t t td t tdt dt + = − = = = + = 所以 1 1 2 0 2 2 DX = − = 12、解：有已知得 2 X 的分布律为
0.5所以E(X2)=1×0.2+4×0.3+9×0.5=5.9，因为D(X2)=E[(X2)"]-[E(X2)P并易求(X）的分布律为1681X4P0.20.30.5故E[(X2)2=1×0.2+16×0.3+81×0.5=45.5从而D(X)= 45.5-(5.9)2 =10.69.13、解：由已知X～B(n,p)及EX=np=2.4,DX=np(1-p)=1.44，可解得p=0.4,n=614、14、解：由已知X~U(0.6)得DX,-=3 X~N(02)得DX,=4,12X,～P(3)得DX,=3，于是DY=D(X-2X,+3X)=DX,+4DX,+9DX=3+4×4+9×3=4615、解：由X～P(2)得EX=2，于是EZ=E(3X-2)=3EX-2=3×2-2=4[Me-ixr,x>0,=及(x)=16、解：由X~E()知D=所以Va2[o,其它P(X>DX)= P(X>=)=fr"f(x)dx=Jte-"dx=-e-|+=ee.17、解：由X~P(1)知，其分布律为P(X=k)=-(k =0,1,2..n)及 EX =1,DX =-1,k!再由DX=E(X)-(EX)得EX?=DX-(EX)=1-P=0 ，于是P(X = E(X2)) = P(X = 0) =e-I
X 1 4 9 P 0. 2 0. 3 0.5 所以 2 E X( ) 1 0.2 4 0.3 9 0.5 5.9 = + + = ，因为 2 2 2 2 2 D X E X E X ( ) [( ) ] [ ( )] = − 并易求 2 2 ( ) X 的分布律为 4 X 1 16 81 P 0.2 0.3 0.5 故 2 2 E X ( ) 1 0.2 16 0.3 81 0.5 45.5 = + + = ，从而 2 2 D X( ) 45.5 (5.9) 10.69 = − = . 13、解：由已知 X ～ B n p ( , ) 及 EX np DX np p = = = − = 2.4, (1 ) 1.44 ，可解得 p n = = 0.4, 6 . 14、14、解：由已知 X1 ～U(0, 6) 得 2 1 (6 0) 3 12 DX − = = ， X2 ～ 2 N(0, 2 ) 得 2 DX = 4 ， X3 ～ P(3) 得 3 DX = 3 ，于是 1 2 3 1 2 3 DY D X X X DX DX DX = − + = + + ( 2 3 ) 4 9 = + + = 3 4 4 9 3 46 15、解：由 X～ P(2) 得 EX = 2 ，于是 EZ E X EX = − = − = − = (3 2) 3 2 3 2 2 4 16、解：由 X～ E( ) 知 2 1 1 D = = 及 , 0, ( ) 0, x e x f x − = 其它 ，所以 1 1 1 1 P{X } {X }= ( ) x x f x dx e dx e e + + − − + − = = − = １ DX ＝Ｐ 17、解：由 X～ P(1) 知，其分布律为 1 { } ( 0,1, 2,., ) ! e P X k k n k − = = = 及 EX DX = = 1, 1， 再 由 ( ) 2 2 DX E X EX = − ( ) 得 ( ) 2 2 2 EX DX EX = − = − = 1 1 0 ，于是 2 1 P X E X P X e { ( )} { 0} − = = = =