间题1: “函数”与“关系”有什么异同? “函数”与“集合”是什么关系? 令关系f:R→R,f(X)=+1,f是否是函数? 就上述关系,我们熟悉的f2)该如何表示? f(2)={3}?f2)=3?
令关系:R→R, (x) = x+1, 是否是函数? 就上述关系,我们熟悉的(2)该如何表示? (2)={3}?(2)=3?
函数的型构(signature): f:R→R,fX)=X+1 问题2:你能用上例来解释什么是函数的Domain(定义 域)?Codomain(陪域)?Range(值域)? 你能用上例来解释什么是well defined function? 你能否构造一个不是well defined function?
函数的型构(signature): :R→R, (x) = x+1 问题2:你能用上例来解释什么是函数的Domain(定义 域)? Codomain(陪域)?Range(值域)? 你能用上例来解释什么是well defined function? 你能否构造一个不是well defined function?
You probably learned that a function f R-R can be repre- sented by a graph,and that there is a vertical line test to determine whether or not f is a function (see Figure above)Which condition in the definition corresponds to the vertical line test?Why? 问题3: 你是否能解释一下?
( See Figure above)
When you define a new mathematical concept,it's always a good idea to think about it and pose questions.Of course,it's also a good idea to answer those questions,if you can.We now turn to some questions that we find interesting.See if you can think of some questions on your own. 问题4: 书中提出了什么问题?你想 出了什么“自己”的问题吗?
问题5 函数相等到底是什么含义? 函致作为关系,会让你想起什么? 函数作为集合,会让你想起什么? 函数作为“函数”,它们的相等, 会让你想起什么? Two functions f and g are equal if dom(f)=dom(g)and f(x)=g(x)for all xE dom(f)
函数相等到底是什么含义? 函数作为关系,会让你想起什么? 函数作为集合,会让你想起什么? 函数作为“函数”,它们的相等, 会让你想起什么? 问题5:
几种特殊的函数 满射(surjective,onto) of:A→B是满射的:ran(f)=B,if.y∈B,x∈A,使得fX)=y ■单射(injective,one to one) of:A→B是单射的:y∈ran(f),xeA,使得f(X)=yif. x1,x2∈A,若×1≠x2,则fK1)≠fX2)if.X1,x2∈A,若fx1) =f2),则x1=x2 双射(bijective) 口满射+单射
几种特殊的函数 ◼ 满射(surjective, onto) ❑ :A→B是满射的:ran()=B, iff. yB, xA, 使得(x)=y ◼ 单射(injective, one to one) ❑ :A→B是单射的:y ran(), !xA, 使得(x)=y iff. x1 ,x2A, 若x1 x2,则(x1 ) (x2 ) iff. x1 ,x2A, 若(x1 ) =(x2 ),则x1=x2。 ◼ 双射(bijective) ❑ 满射+单射
几种特殊的函数:例子 ■f:R→R,f(X)=-x2+2X1 单射 f:Z+→R,fX)=lnx, 问题⑥:为什么? 满射 ·fR→Z,fx)=Lx, 双射 ■f:R→R,f(X)=2x1, ■f:R+→R+,fX)=(x2+1)/X 日注意:2,而对任意正实数x,W化 双射 ·f:RxR→RxR,f)=, ·fNxN-→N,f)=|2-y2I
几种特殊的函数:例子 ◼ :R→R, (x)= -x 2+2x-1 ◼ :Z+→R, (x)= ln x, ◼ :R→Z, (x)= x, ◼ :R→R, (x)= 2x-1, ◼ :R+→R+ , (x)= (x2+1)/x ❑ 注意:f(x)2, 而对任意正实数x,f(x)=f(1/x) ◼ :RR→RR, () = , ◼ :NN→N, () = | x 2 -y 2 | 单射 满射 双射 双射
有限集合上一一对应的函数的例子 ■S={1,2,3},可以在S上定义6个不同的一一对应 的函数(侮一个称为一个“置换”):
有限集合上一一对应的函数的例子 ◼ S={1,2,3}, 可以在S上定义6个不同的一一对应 的函数 (每一个称为一个“置换”): = 1 2 3 1 2 3 e = 2 3 1 1 2 3 = 3 1 2 1 2 3 = 1 3 2 1 2 3 = 3 2 1 1 2 3 = 2 1 3 1 2 3