计算机问题求解-论题3.3 图的基本概念 陶先平 2018年9月25日
计算机问题求解 -论题 3.3 图的基本概念 陶先平 2018年9月25日
Konigsberg-七桥问题 ·问题的抽象： ·用顶点表示对象-“地块” ·用边表示对象之间的关系“有桥相连” D B B
Königsberg七桥问题 • 问题的抽象： • 用顶点表示对象-“地块” • 用边表示对象之间的关系-“有桥相连” C D A B A C B D
“巧渡河”问题 ·问题：人、狼、羊、菜用一条只能同时载两位的小船渡河，“狼羊”、 “羊菜”不能在无人在场时共处，当然只有人能架船。 ·图模型：顶点表示“原岸的状态”，两点之间有边当且仅当一次合理 的渡河“操作”能够实现该状态的转变。 ·起始状态是“人狼羊菜”，结束状态是“空”。 ·问题的解：找到一条从起始状态到结束状态的尽可能短的通路
“巧渡河”问题 • 问题：人、狼、羊、菜用一条只能同时载两位的小船渡河，“狼羊”、 “羊菜”不能在无人在场时共处，当然只有人能架船。 • 图模型：顶点表示“原岸的状态”，两点之间有边当且仅当一次合理 的渡河“操作”能够实现该状态的转变。 • 起始状态是“人狼羊菜”，结束状态是“空”。 • 问题的解：找到一条从起始状态到结束状态的尽可能短的通路
“巧渡河”问题的解 ·注意：在“人狼羊菜”的16种组合种允许出现 的只有10种。 人羊狼菜人狼菜人羊狼人羊菜人羊 狼菜 狼 菜 羊 空（成功）
“巧渡河”问题的解 • 注意：在“人狼羊菜”的16种组合种允许出现 的只有10种。 空(成功 ) 人羊狼菜 人狼菜 人羊狼 人羊菜 狼菜 狼 菜 人羊 羊
考试时间编排问题 ·问题：排考试时间，一方面要总时间尽可能短（假设教室没问题）， 一方面一个同学所选的任意两门课不能同时间。 ·图模型：每门课程对应一个顶点。任意两点相邻当且仅当对应的两门 课程有相同的选课人。 ·解：用不同颜色给顶点着色。相邻的点不能同颜色。则最少着色数即 至少需要的考试时间段数（可以将颜色相同的点所对应的课程安排在 同一时间)
考试时间编排问题 • 问题：排考试时间，一方面要总时间尽可能短(假设教室没问题)，另 一方面一个同学所选的任意两门课不能同时间。 • 图模型：每门课程对应一个顶点。任意两点相邻当且仅当对应的两门 课程有相同的选课人。 • 解：用不同颜色给顶点着色。相邻的点不能同颜色。则最少着色数即 至少需要的考试时间段数(可以将颜色相同的点所对应的课程安排在 同一时间)
如何定义图这个数学概念？ What we have drawn in Figure 1.1 is called a graph.Formally,a graph G consists of a finite nonempty set V of objects called vertices(the singular is vertex)and a set E of 2- element subsets of V called edges.The sets V and E are the vertex set and edge set of G, G=V,E) 如果要定 E={{u,v}u,v∈V 义有向图？
如何定义图这个数学概念？ G = (V ,E ) E = {{u,v}| u,v V } 如果要定 义有向图？
有向图和无向图之间的本质区别是什么？ Figure 1.37:Digraphs 无向图是有向图的特殊类，简化表达为无向图
有向图和无向图之间的本质区别是什么？ 无向图是有向图的特殊类，简化表达为无向图
如何用图进行问题建模？ ·构造图节点 ·确定什么作为图节点？ ·构造图中的边 ·确定什么作为图中的边？ ·用图中数学语言重述待解问题 ·从自然语言到形式（数学）语言
如何用图进行问题建模？ • 构造图节点 • 确定什么作为图节点？ • 构造图中的边 • 确定什么作为图中的边？ • 用图中数学语言重述待解问题 • 从自然语言到形式（数学）语言
图建模：在一个中国象棋棋局中： ·进攻方：马如何才能以最快的速度去将军？ ·防守方：如何才能进行有效的防守？ 湘深
图建模：在一个中国象棋棋局中： • 进攻方：马如何才能以最快的速度去将军？ • 防守方：如何才能进行有效的防守？
Theorem 1.6 If a graph G contains a u-v walk of length l,then G contains a u-v path of length at most I. Proof.Among all u-vwalks in G,let P=(u=40,1,,uk=V) 还有其它证 be a u-vwalk of smallest length k.Therefore,k sI.We claim that p is a u-v path. 明方法吗？ Assume,to the contrary,that this is not the case.Then some vertex of Gmust be repeated in P,sayufor some iandjwithssk.If we then delete the verticesu 2.from P,we arrive at the u-vwalk 图中定理的证 (u=0,1,,1-1,4=j,uj+1,…,4以=V） 明，多用如此 whose length is less than k,which is impossible.Therefore,as claimed,P is a u-vpath 的反证法、构 of length k≤l ■ 造法
图中定理的证 明，多用如此 的反证法、构 造法 v 还有其它证 明方法吗？