西安交通大学：《信号与系统 Signals and Systems》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 连续时间傅立叶变换

面步通大学 与系线9 网络教育资源建设工程 信≡ SIGNALS AND SYSTEMS 与系统 第4章连续时间傅立叶变换 The continuous time fourier transform

第4章 连续时间傅立叶变换 The Continuous time Fourier Transform

ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信号与系红 主 教 本章的主要内容 王阎 鸿 霞森 副教 1.连续时间傅立叶变换; 教授 授 2.傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系; 3傅立叶变换的性质; 4.系统的频率响应及系统的频分析;

本章的主要内容: 1. 连续时间傅立叶变换; 2. 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系; 3. 傅立叶变换的性质; 4. 系统的频率响应及系统的频域分析；

ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 40引言 Introduction 师 王阎 鸿 霞森 副教 在工程应用中有相当广泛的信号是非周期 教授 授 信号,对非周期信号应该如何进行分解,什 么是非周期信号的频谱表示,线性时不变系 统对排周期信号的响应如何求得,就是这 章要解决的问题

在工程应用中有相当广泛的信号是非周期 信号，对非周期信号应该如何进行分解，什 么是非周期信号的频谱表示，线性时不变系 统对非周期信号的响应如何求得，就是这一 章要解决的问题。 4.0 引言 Introduction

ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 主 被在时域可以看到,如果一个周期信号的周期趋 师 王于无穷大,则周期信号将演变成一个非周期信 鸿 霞森 副教 号;反过来,如果将任何非周期信号进行周期 教授 授 性延拓,就一定能形成一个周期信号。 我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于 无穷大时的极限,从而考查连续时间傅立叶级 数在T趋于无穷大时的变化,就应该能够得到 对非周期信号的频域表示方法

在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋 于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信 号；反过来，如果将任何非周期信号进行周期 性延拓，就一定能形成一个周期信号。 我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于 无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶级 数在 T趋于无穷大时的变化，就应该能够得到 对非周期信号的频域表示方法

考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 4.1非周期信号的表示一连续时间傅立叶变换 师 王阎 Representation of Aperiodic Signals: The 鸿 霞森 Continuous-Time Fourier transform 接一从傅立叶级数到傅立叶变换 授 我们已经看到,周期性矩形脉冲,当周期增大 时,频谱的幅度随的增大而下降;谱线间隔随 的增大ⅳ烔小;但频谱的包络不变。 再次考察周期性矩形脉冲的频谱图

4.1 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换 Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform 一.从傅立叶级数到傅立叶变换 我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期 增大 时，频谱的幅度随 的增大而下降；谱线间隔随 的增大而减小；但频谱的包络不变。 T0 T0 T0 再次考察周期性矩形脉冲的频谱图：

ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 主讲教师阎鸿 2 k 20 王 (a) 霞森 =21 4 4 副教 教授 授 (b)_,,,,t,,,,, 0 at=4T (b)70=871 当T时周期性矩形脉冲信号将演变成为非周 期的单个矩形脉冲信号

当 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周 期的单个矩形脉冲信号。 T0 →  （a） （b） (a) T T 0 1 = 4 (b) 0 ak  20 − 20 k a  −41 41 0 T T 0 1 = 8 0 1   ＝2

ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 主讲教师 当7时 2丌 do. kc x→dO 由于4-x增大而减小,并最终于0 考查的变化,宮在时应该是有限的。 授 于是,我们推断出:当T时φ离散的频谱将演变 为连续的频谱。 T/2 由Tak=」2(z) e-jkoo' dt

由于 也随 增大而减小，并最终趋于0， 考查 的变化，它在 时应该是有限的。 1 0 1 0 0 1 2 sin k T k T a T k T   = T0 T a0 k T0 →  于是，我们推断出:当 时，离散的频谱将演变 为连续的频谱。 T0 →  0 0 0 / 2 0 / 2 ( ) T jk t k T T a x t e dt −  − =  由 当 时, T0 →  0 0 2 d , T    = → 0 k  → , → 

ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 毒如果令 lim ta=X(1o)则有 教 10 师 王阎 X(o= x(t e Jdt 连续时间傅立叶变换 鸿 霞森 副教与周期信号傅立叶级数对比有:ak=X(km0) 授 这表明:周期信号的频谱就是与它相对应的非周期 信号频谱的样本。 根据傅立叶级数表示: ()=∑aey=n∑X(a) ∑X(ka shoot 0k=-∞0 2T k

( ) ( ) j t X j x t e dt    − − =  0 0 lim ( ) k T T a X j → 如果令 = 则有 0 0 1 ( ) k a X jk T 与周期信号傅立叶级数对比有： =  这表明:周期信号的频谱就是与它相对应的非周期 信号频谱的样本。 根据傅立叶级数表示： 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 jk t jk t jk t k k k k x t a e X jk e X jk e T           =− =− =− = = =    连续时间傅立叶变换

ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信号与系红 当7→∞时,X(t)→>x(D),an=2,do, 师 0 王阎 ∑→「 于是有: 鸿 霞森 Jat 副教 x(t X(oe 教授 2丌J-∞ 傅立叶反变换 授 此式表明,非周期信号可以分解成无数多个频率 连续分布、振幅为x(鼬复指数信号之和。 2丌 由于(j0)=im7n=lim具有频谱随频率分 →)00 70→∞,6→>0 布的物理含义,因而称X(j)为频谱密度函数

当 T0 →  时， x t x t ( ) ( ), → 0 0 2 d , T    = → 0 k  →  →  于是有： 1 ( ) ( ) 2 j t x t X j e d      − =  傅立叶反变换 此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率 连续分布、振幅为 的复指数信号之和。 由于 具有频谱随频率分 布的物理含义，因而称 为频谱密度函数。 1 ( ) 2 X j d    0 0 0 0 , 0 0 ( ) lim lim k k T T f a X j T a f  → → → = = X j ( ) 

ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 主 薮于是,我们得到了对非期信号的频域描述方法 师 王阎 鸿 霞森 副教 教授 X(o)= x(t)e o di 授 x(t)= X(geode 这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对

1 ( ) ( ) 2 j t x t X j e d      − =  ( ) ( ) j t X j x t e dt    − − =  于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法 这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对