面步通大学 与系线9 网络教育资源建设工程 信≡ SIGNALS AND SYSTEMS 与系统 第9章拉普拉斯变换 THE LAPLACE TRANSFORM
第9章 拉普拉斯变换 THE LAPLACE TRANSFORM
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 主 藪本章基本内容 师 王阎 鸿 双边拉普拉斯变换 霞森 副教 教授 2.双边拉普拉斯变换的收敛域; 授 3.零极点图; 4.双边拉普拉斯变换的性质; 5.系统函数 6.单边拉普拉斯变换;
4. 双边拉普拉斯变换的性质； 本章基本内容： 1. 双边拉普拉斯变换； 2. 双边拉普拉斯变换的收敛域； 5. 系统函数； 6. 单边拉普拉斯变换； 3. 零极点图；
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 主讲教师 9.0 引官 Introduction 王傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析 霞森 副数中如此有用,很大程度上是因为相当广泛的信号 教授 都可以表示成复指数信号的线性组合,而复指数 函数是一切LTI系统的特征函数。 傅里叶变换是以复指数函数的特例e和en 为基底分解信号的。对更一般的复指数函数积, 也理应能以此为基底对信号进行分解
9.0 引言 Introduction 傅里叶变换是以复指数函数的特例 和 为基底分解信号的。对更一般的复指数函数 和 ， 也理应能以此为基底对信号进行分解。 j t e j n e st e n z 傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析 中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号 都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数 函数是一切 LTI 系统的特征函数
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 谛将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下 师 王间一章要讨论的中心问题 鸿 霞森 副數通过本章及下一章,会看到拉普拉斯变换和Z变 教授 换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质,不 仅能解决用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统 分析问题,而且还能用于傅里叶分析方法不适用的 许多方面。拉普拉斯变换与Z变换的分析方法是傅 里叶分析法的推广,傅里叶分析是它们的特例
通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和Ｚ变 换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不 仅能解决用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统 分析问题，而且还能用于傅里叶分析方法不适用的 许多方面。拉普拉斯变换与Ｚ变换的分析方法是傅 里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。 将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下 一章要讨论的中心问题
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 请91拉普拉斯变换 师 The laplace transform 王阎 鸿 霞森 副数复指数信号e是一切LT系统的特征函数。 教授 如果LTI系统的单位冲激响应为M(),则系统对 产生的响应是: v()=H(s)e",其中H()=」hoet 显然当S=,就是连续时间傅里叶变换
9.1 拉普拉斯变换 复指数信号 是一切LTI系统的特征函数。 如果LTI系统的单位冲激响应为 ，则系统对 产生的响应是: st e h t( ) st e ( ) ( ) st y t H s e = ( ) ( ) st H s h t e dt − − = ，其中 显然当 s j = 时，就是连续时间傅里叶变换。 The Laplace Transform
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 主 教 双边拉氏变换的定义: 师 王阎 鸿 X(s)= x(t)e sdt 霞森 副教 教授 称为x(的双边拉氏变换,其中S=q+jio 授 若a=0s则裔X(0)0x()c-mc 这就是x的傅里叶变换。 表明:连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换 在σ=或是在轴的特例
一.双边拉氏变换的定义： ( ) ( ) st X s x t e dt − − = 称为 x t( ) 的双边拉氏变换，其中 s j = + 。 若 = ， 0 s j 则有 = : ( ) ( ) j t X j x t e dt − − = 这就是 x t( ) 的傅里叶变换。 表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换 在 = 或是在 0 轴上的特例。 j
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 主 藪由于X(s)=x(lemt=[x(o) e o e oat 师 王阎 鸿 FLx(te j 霞森 瑟接所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广,x(的 授 拉氏变换就是x(t)的傅里叶变换。只要有合适的 存在a就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的 信号在引入后满是该条件。即有当信号的傅氏 变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变 换比傅里叶变换有更广泛的适用性
( ) ( ) [ ( ) ] t j t t j t X s x t e e dt x t e e dt − − − − − − = = [ ( ) ]t x t e− = F [ 由于 所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， 的 拉氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的 信号在引入 后满足该条件。即有些信号的傅氏 变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变 换比傅里叶变换有更广泛的适用性。 x t( ) t e − ( ) t x t e−
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 速例1.x(t)=e“l() 师 王阎 鸿 X(s)=heed=he-(stay dt=s+a 0 霞森 副教 教授 在Re[时q积分收敛 授 当a>时,的傅里叶变换存在 X(o)=e“emat a> a+10 显然,在a>时,拉氏变换收敛的区域为 ReS]>包括了即0轴)
( ) ( ) at x t e u t − 例1. = ( ) 0 0 1 ( ) at st s a t X s e e dt e dt s a − − − + = = = + 在 Re[ ]s a − 时，积分收敛。 当 a 时， 0 的傅里叶变换存在 x t( ) 0 1 ( ) at j t X j e e dt a j − − = = + ( 0) a 显然，在 时，拉氏变换收敛的区域为 ，包括了 （即 轴）。 a 0 Re[ ]s a − = 0 j
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 鏤比较X(积X(然有 师 王霞 间 鸿 X()=m=X(0) 数投当a脑时,x(t)=eal(t)=l(t) 可知(4)<>一Re[s]>0 例2.x(1)=-elv(-t) X(3)= Rels<-a sta 与例1比较,区别仅在于收敛城不同
比较 X s( ) 和 X j ，显然有 ( ) ( ) ( ) X s X j s j = = 当 时， ( ) ( ) ( ) at x t e u t u t − a = 0 = = 1 u t( ) s 可知 Re[ ] 0 s 例2. ( ) ( ) at x t e u t − = − − 0 0 ( ) 1 ( ) at st s a t X s e e dt e dt s a − − − + − − = − = − = + Re[ ]s a − 与例1.比较，区别仅在于收敛域不同
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 主 被由以上例子,可以看出 师 王1.拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并 霞森 副数非任何信号的拉氏变换都存在,也不是S平面上 教授 授 的任何复数都能使拉氏变换收敛。 2.使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合,称 为拉氏变换的收敛城。拉氏变换的收敛域ROC Region of Convergence)对拉氏变换是非常重 要的概念
由以上例子，可以看出: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并 非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上 的任何复数都能使拉氏变换收敛。 2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称 为拉氏变换的收敛域 。拉氏变换的收敛域 ROC （Region of Convergence）对拉氏变换是非常重 要的概念