1-8 Set Theory:Axioms and Operations 魏恒峰 hfwei@nju.edu.cn 2019年11月26日 ▣▣ Hengfeng Wei (hfweiinju.edu.cn)Set Theory:Axioms and Operations 2019年11月26日1/38
1-8 Set Theory: Axioms and Operations 魏恒峰 hfwei@nju.edu.cn 2019 年 11 月 26 日 Hengfeng Wei (hfwei@nju.edu.cn) Set Theory: Axioms and Operations 2019 年 11 月 26 日 1 / 38
Set Theory Foundation A Branch of Math- of Math- ematics ematies (Loglc) (a,b) A→B N,R ) AxB RC AxB Hengfeng Wei (hfweiinju.edu.cn Set Theory:Axioms and Operations 2019年11月26日2/38
Set Theory A Branch of Mathematics N, R ℵ0 ω Foundation of Mathematics (+ Logic) (a, b) {} A × B R ⊆ A × B f : A → B Hengfeng Wei (hfwei@nju.edu.cn) Set Theory: Axioms and Operations 2019 年 11 月 26 日 2 / 38
GOTTLOR FREGE t情rTE “Basic Laws of Arithmetic” Gottlob Frege (1848-1925) (1893&1903) 对于一个科学工作者来说，最不幸的事情莫过于：当他的工作 接近完成时，却发现那大厦的基础已经动摇。 《附录二》，1902 Hengfeng Wei (fweinju.edu.cn)Set Theory:Axioms and Operations 2019年11月26日3/38
Gottlob Frege (1848–1925) “Basic Laws of Arithmetic” (1893 & 1903) 对于一个科学工作者来说，最不幸的事情莫过于: 当他的工作 接近完成时, 却发现那大厦的基础已经动摇。 — 《附录二》, 1902 Hengfeng Wei (hfwei@nju.edu.cn) Set Theory: Axioms and Operations 2019 年 11 月 26 日 3 / 38
Bertrand Russell (1872-1970) History of PRINCIPIA Western MATHEMATICA Philosophy 帮 BERTRAND RUSSELL Hengfeng Wei (fweinju.edu.cn Set Theory:Axioms and Operations 2019年11月26日4/38
Bertrand Russell (1872–1970) Hengfeng Wei (hfwei@nju.edu.cn) Set Theory: Axioms and Operations 2019 年 11 月 26 日 4 / 38
我们将集合理解为任何将我们思想中那些确定而彼此独立的对 象放在一起而形成的聚合。 Georg Cantor《超穷数理论基础》 Georg Cantor (1845-1918) Theorem(概括原则) For any predicate v(x),there is a set X: X={x|(x)} Hengfeng Wei (hfwei&inju.edu.cn) Set Theory:Axioms and Operations 2019年11月26日5/38
我们将集合理解为任何将我们思想中那些确定而彼此独立的对 象放在一起而形成的聚合。 — Georg Cantor《超穷数理论基础》 Georg Cantor (1845–1918) Theorem (概括原则) For any predicate ψ(x), there is a set X: X = {x | ψ(x)} Hengfeng Wei (hfwei@nju.edu.cn) Set Theory: Axioms and Operations 2019 年 11 月 26 日 5 / 38
Theorem(概括原则) For any predicate v(x),there is a set X: X={x|(x)}. Definition (Russell's Paradox) (x)≌“x夫x” R={x|x生x} Q:R∈R? Hengfeng Wei (fweinju.edu.cn Set Theory:Axioms and Operations 2019年11月26日6/38
Theorem (概括原则) For any predicate ψ(x), there is a set X: X = {x | ψ(x)}. Definition (Russell’s Paradox) ψ(x) ≜ “x /∈ x” R = {x | x /∈ x} Q : R ∈ R ? Hengfeng Wei (hfwei@nju.edu.cn) Set Theory: Axioms and Operations 2019 年 11 月 26 日 6 / 38
Q:既然朴素集合论存在悖论，你是如何做作业的？ 但装看不到… Hengfeng Wei (hfweiinju.edu.cn)Set Theory:Axioms and Operations 2019年11月26日7/38
Q : 既然朴素集合论存在悖论，你是如何做作业的? Hengfeng Wei (hfwei@nju.edu.cn) Set Theory: Axioms and Operations 2019 年 11 月 26 日 7 / 38
YOU HAVE OXT▣ Theorem (Russell's Paradox) xrg rh is not a set. Hengfeng Wei (fweinju.edu.cn Set Theory:Axioms and Operations 2019年11月26日8/38
Theorem (Russell’s Paradox) {x | x /∈ x} is not a set. Hengfeng Wei (hfwei@nju.edu.cn) Set Theory: Axioms and Operations 2019 年 11 月 26 日 8 / 38
Axiomatic Set Theory (ZFC) Ernst Zermelo (1871-1953) Abraham Fraenkel (1891-1965) Hengfeng Wei (hfweiinju.edu.cn)Set Theory:Axioms and Operations 2019年11月26日9/38
Axiomatic Set Theory (ZFC) Ernst Zermelo (1871–1953) Abraham Fraenkel (1891–1965) Hengfeng Wei (hfwei@nju.edu.cn) Set Theory: Axioms and Operations 2019 年 11 月 26 日 9 / 38
First-order Language for Sets Cset =fE Parentheses:(,) Variables:,,,. Connectives:∧，V,一，→，分 Quantifiers:廿，3 Equality:= Constants: Functions: Predicates:∈ Everything we consider in Cset is a set. Hengfeng Wei (hfweinju.edu.cn)Set Theory:Axioms and Operations 2019年11月26日10/38
First-order Language for Sets LSet = {∈} Parentheses: (,) Variables: x, y, z, · · · Connectives: ∧, ∨, ¬, →, ↔ Quantifiers: ∀, ∃ Equality: = Constants: Functions: Predicates: ∈ Everything we consider in LSet is a set. Hengfeng Wei (hfwei@nju.edu.cn) Set Theory: Axioms and Operations 2019 年 11 月 26 日 10 / 38