第2章连续控制系统的数学模型 2.Ⅰ控制系统数学模型的概念 定义:根据系统运动过程的物理、化学等规律,所写出 的描述系统运动规律、特性和输出与输入关系的数学 表达式。 2.1.1数学模型的类型 1.静态模型与动态模型 描述系统静态(工作状态不变或慢变过程)特性的模 型,称为静态数学模型。静态数学模型一般是以代数 方程表示的,数学表达式中的变量不依赖于时间,是 输入输出之间的稳态关系
第2章 连续控制系统的数学模型 2.1 控制系统数学模型的概念 定义：根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出 的描述系统运动规律、特性和输出与输入关系的数学 表达式。 2.1.1 数学模型的类型 1. 静态模型与动态模型 描述系统静态（工作状态不变或慢变过程）特性的模 型，称为静态数学模型。静态数学模型一般是以代数 方程表示的，数学表达式中的变量不依赖于时间，是 输入输出之间的稳态关系
描述系统动态或瞬态特性的模型,称为动态数学模型。 动态数学模型中的变量依赖于时间,一般是微分方程 等形式。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特 殊情况。 3.连续时间模型与离散时间模型 根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信 号,数学模型分为连续时间模型和离散时间模型,简 称连续模型和离散模型。连续数学模型有微分方程、 传递函数、状态空间表达式等。离散数学模型有差分 方程、Z传递函数、离散状态空间表达式等
描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型。 动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程 等形式。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特 殊情况。 3. 连续时间模型与离散时间模型 根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信 号，数学模型分为连续时间模型和离散时间模型，简 称连续模型和离散模型。连续数学模型有微分方程、 传递函数、状态空间表达式等。离散数学模型有差分 方程、Z传递函数、离散状态空间表达式等
4.参数模型与非参数模型 从描述方式上看,数学模型分为参数模型和非参数模 型两大类。参数模型是用数学表达式表示的数学模型, 如传递函数、差分方程、状态方程等。 非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得 到的响应曲线表示的数学模型,如脉冲响应、阶跃响 应、频率特性曲线等
4. 参数模型与非参数模型 从描述方式上看，数学模型分为参数模型和非参数模 型两大类。参数模型是用数学表达式表示的数学模型， 如传递函数、差分方程、状态方程等。 非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得 到的响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响 应、频率特性曲线等
数学模型虽然有不同的表示形式,但它们之间可以互 相转换,可以由一种形式的模型转换为另一种形式的 模型。 2.1.2建立数学模型的方法 建立系统的数学模型简称为建模。系统建模有两大类 方法,或者说有两种不同的途径。一类是机理分析建 模方法,称为分析法,另一类是实验建模方法,通常 称为系统辨识
数学模型虽然有不同的表示形式，但它们之间可以互 相转换，可以由一种形式的模型转换为另一种形式的 模型。 2.1.2 建立数学模型的方法 建立系统的数学模型简称为建模。系统建模有两大类 方法，或者说有两种不同的途径。一类是机理分析建 模方法，称为分析法，另一类是实验建模方法，通常 称为系统辨识
2.2状态空间模型 2.2.1状态与状态空间的概念 如图2.1所示弹簧阻尼器 K 系统,根据物理学定律 可知,在外作用力F(t) F(t) 已知的情况下,如果知道 Yt 了物体在某一时刻的位移 y(t)及速度vt)就能确定系 统未来的动态响应。 图21弹簧-阻尼器系统
2.2 状态空间模型 2.2.1 状态与状态空间的概念 如图2.1所示弹簧-阻尼器 系统，根据物理学定律 可知，在外作用力F(t) 已知的情况下，如果知道 了物体在某一时刻的位移 y(t)及速度v(t),就能确定系 统未来的动态响应。 K Y(t) F(t) f M 图2.1 弹簧-阻尼器系统
如果仅知道物体的位移或速度,就不能确定系统未来 的动态响应。另一方面,物体的位移、速度及加速度 这三个量显然是不独立的,即可以根据其中的两个量 确定另外的一个量,因此这个量对于描述系统的状态 是多余的。我们可以选择物体在某一时刻的位移及速 度作为弹簧-阻尼器系统在某一时刻的状态
如果仅知道物体的位移或速度，就不能确定系统未来 的动态响应。另一方面，物体的位移、速度及加速度 这三个量显然是不独立的，即可以根据其中的两个量 确定另外的一个量，因此这个量对于描述系统的状态 是多余的。我们可以选择物体在某一时刻的位移及速 度作为弹簧-阻尼器系统在某一时刻的状态
即状态对于描述系统特性应该是充分且必要的。因此 状态可以定义如下: 状态是系统中一些信息的集合,在已知未来外部输入 的情况下,这些信息对于确定系统未来的行为是充分 且必要的 状态变量:能够确定系统各个时刻状态的具有最少个 数变量的一组变量
即状态对于描述系统特性应该是充分且必要的。因此 状态可以定义如下： 状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入 的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分 且必要的。 状态变量：能够确定系统各个时刻状态的具有最少个 数变量的一组变量
把描述系统状态的n个状态变量xO=12,…m) 个向量的n个分量,这n个向量称为状态向量, 记为x(),即 例如,弹簧阻尼器系统的状态向量为 x()= 其中y()为物体的位移,物体的速度
把描述系统状态的n个状态变量 为一 个向量的n个分量，这n个向量称为状态向量， 记为 ，即 ⚫ (2.1) 例如，弹簧-阻尼器系统的状态向量为 其中， 为物体的位移， 为物体的速度。 x (t),(i 1,2, ,n) i = x(t) T n x(t) [x (t) x (t) x (t)] = 1 2 = ( ) ( ) ( ) y t y t x t y(t) y (t)
以个状态变量作为坐标轴所组成的维空间称为状态空 间。如果n=2,则状态空间是一个平面,通常称为相平 面。如果n=3,则是一般的三维空间。三维以上的空 间就失去了一般空间的意义 由于把系统的状态看成是一个向量,状态向量可用状态 空间中的一个点来表示,因此能够在状态空间中用几 何术语来解释状态变量分析的问题,即采用“状态空 间分析”方法
以个状态变量作为坐标轴所组成的维空间称为状态空 间。如果n=2，则状态空间是一个平面，通常称为相平 面。如果 n=3，则是一般的三维空间。三维以上的空 间就失去了一般空间的意义。 由于把系统的状态看成是一个向量，状态向量可用状态 空间中的一个点来表示，因此能够在状态空间中用几 何术语来解释状态变量分析的问题，即采用“状态空 间分析”方法
2.2.2系统的状态空间描述 1.状态方程和输出方程 描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶 微分方程组称为状态方程。 系统的输出量完全取决于系统的状态变量和输 入变量,可以用一个关系式来描述。描述系统 输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系 的方程称为输出方程 系统的状态方程和输出方程合称为系统的状态 空间表达式,或称为动态方程
2.2.2 系统的状态空间描述 1. 状态方程和输出方程 描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶 微分方程组称为状态方程。 系统的输出量完全取决于系统的状态变量和输 入变量，可以用一个关系式来描述。描述系统 输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系 的方程称为输出方程。 系统的状态方程和输出方程合称为系统的状态 空间表达式，或称为动态方程