工程科学学报，第38卷，第5期：644649,2016年5月 Chinese Journal of Engineering,Vol.38,No.5:644-649,May 2016 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2016.05.008:http://journals.ustb.edu.cn 应用格子Boltzmann方法直接数值模拟研究钢中夹杂 物上浮及碰撞行为 王 耀》，于小南2》，郭洛方》，李宏12，朱少楠2) 1)北京科技大学钢铁治金新技术国家重点实验室，北京1000832)北京科技大学治金与生态工程学院，北京100083 3)青岛钢铁控股集团有限责任公司技术中心，北京100083 ☒通信作者，E-mail:lihong@metall.ustb.cdu.cn 摘要采用格子Boltzmann方法对钢液中夹杂物上浮及上浮过程中的碰撞行为进行直接数值模拟研究.结果表明，不同尺 寸夹杂物颗粒上浮速度的模拟结果和理论值基本一致，表明本文所采用的数值算法能够精确有效地对钢液中固相夹杂物颗 粒运动行为进行研究.当钢液中直径为80μm的夹杂物颗粒位于直径为40μm的下方并一起上浮时，直径为80μm的夹杂物 颗粒会逐渐追赶上直径为40um的夹杂物颗粒并发生碰撞形成大尺寸凝聚体，凝聚体的上浮速度显著大于二者单独上浮时 的上浮速度.对于直径为40m的夹杂物来说，形成凝聚体后的上浮速度比单独上浮时的上浮速度增加300%.实际炼钢过 程中，采取必要的措施增加夹杂物颗粒之间上浮过程中的碰撞凝聚，对于提高夹杂物颗粒的上浮速度，尤其是小尺寸夹杂上 浮去除速度，提高钢液的洁净度具有重要的意义 关键词夹杂物去除：上浮：碰撞：直接数值模拟 分类号TF704.7:TF777.1 Direct numerical simulation of inclusion floating and collision behavior in molten steel using the lattice Boltzmann method WANG Yao2,YU Xiao-nan'),GUO Luo-fang,LI Hong,ZHU Shao-nan) 1)State Key Laboratory of Advanced Metallurgy,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Metallurgical and Ecological Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 3)Technology Center,Qingdao Iron and Steel Group Co.,Ltd.,Qingdao 266043,China Corresponding author,E-mail:lihong@metall.ustb.edu.cn ABSTRACT The floating and collision behavior of inclusions in the floating process was numerically simulated by using the Lattice Boltzmann method.It is found that the floating velocity simulation results of different size inclusion particles are almost the same as the theoretical value,which demonstrates that the motion behavior of solid inclusion particles can be investigated concisely and effectively by using the numerical algorithm adopted in this paper.When an inclusion particle with a diameter of 80um locates below an inclusion particle with a diameter of 40 pm and floats up at the same time,the inclusion particle with a diameter of 80 m can catch up with the inclusion particle with a diameter of 80 um,collide with each other and grow up into a big inclusion cluster.When the inclusion parti- cles with diameters of 80 um and 40 um floats up separately,the floating velocity of the inclusion cluster is bigger than them.For the inclusion particle with a diameter of 40 um,the floating velocity after collision with the bigger size inclusion particle increases by 300%compared with that of floating separately.In the steelmaking process,it is necessary to take measures to enhance collision and coagulation in the floating process,which will improve the floating velocity of inclusions especially for small size inclusions and have a great importance on the cleanliness of steel. KEY WORDS inclusions removal;floating:collision:direct numerical simulation 收稿日期：2015-05-07 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51074020)
工程科学学报，第 38 卷，第 5 期: 644--649，2016 年 5 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 38，No． 5: 644--649，May 2016 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2016． 05． 008; http: / /journals． ustb． edu． cn 应用格子 Boltzmann 方法直接数值模拟研究钢中夹杂 物上浮及碰撞行为 王 耀1，2) ，于小南1，2) ，郭洛方3) ，李 宏1，2) ，朱少楠1，2) 1) 北京科技大学钢铁冶金新技术国家重点实验室，北京 100083 2) 北京科技大学冶金与生态工程学院，北京 100083 3) 青岛钢铁控股集团有限责任公司技术中心，北京 100083 通信作者，E-mail: lihong@ metall． ustb． edu． cn 摘 要 采用格子 Boltzmann 方法对钢液中夹杂物上浮及上浮过程中的碰撞行为进行直接数值模拟研究． 结果表明，不同尺 寸夹杂物颗粒上浮速度的模拟结果和理论值基本一致，表明本文所采用的数值算法能够精确有效地对钢液中固相夹杂物颗 粒运动行为进行研究． 当钢液中直径为 80 μm 的夹杂物颗粒位于直径为 40 μm 的下方并一起上浮时，直径为 80 μm 的夹杂物 颗粒会逐渐追赶上直径为 40 μm 的夹杂物颗粒并发生碰撞形成大尺寸凝聚体，凝聚体的上浮速度显著大于二者单独上浮时 的上浮速度． 对于直径为 40 μm 的夹杂物来说，形成凝聚体后的上浮速度比单独上浮时的上浮速度增加 300% ． 实际炼钢过 程中，采取必要的措施增加夹杂物颗粒之间上浮过程中的碰撞凝聚，对于提高夹杂物颗粒的上浮速度，尤其是小尺寸夹杂上 浮去除速度，提高钢液的洁净度具有重要的意义． 关键词 夹杂物去除; 上浮; 碰撞; 直接数值模拟 分类号 TF704. 7; TF777. 1 收稿日期: 2015--05--07 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 51074020) Direct numerical simulation of inclusion floating and collision behavior in molten steel using the lattice Boltzmann method WANG Yao 1，2) ，YU Xiao-nan1，2) ，GUO Luo-fang3) ，LI Hong1，2) ，ZHU Shao-nan1，2) 1) State Key Laboratory of Advanced Metallurgy，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) School of Metallurgical and Ecological Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 3) Technology Center，Qingdao Iron and Steel Group Co． ，Ltd． ，Qingdao 266043，China Corresponding author，E-mail: lihong@ metall． ustb． edu． cn ABSTＲACT The floating and collision behavior of inclusions in the floating process was numerically simulated by using the Lattice Boltzmann method． It is found that the floating velocity simulation results of different size inclusion particles are almost the same as the theoretical value，which demonstrates that the motion behavior of solid inclusion particles can be investigated concisely and effectively by using the numerical algorithm adopted in this paper． When an inclusion particle with a diameter of 80μm locates below an inclusion particle with a diameter of 40 μm and floats up at the same time，the inclusion particle with a diameter of 80 μm can catch up with the inclusion particle with a diameter of 80 μm，collide with each other and grow up into a big inclusion cluster． When the inclusion particles with diameters of 80 μm and 40 μm floats up separately，the floating velocity of the inclusion cluster is bigger than them． For the inclusion particle with a diameter of 40 μm，the floating velocity after collision with the bigger size inclusion particle increases by 300% compared with that of floating separately． In the steelmaking process，it is necessary to take measures to enhance collision and coagulation in the floating process，which will improve the floating velocity of inclusions especially for small size inclusions and have a great importance on the cleanliness of steel． KEY WOＲDS inclusions removal; floating; collision; direct numerical simulation
王耀等：应用格子Boltzmann方法直接数值模拟研究钢中夹杂物上浮及碰撞行为 ·645 炼钢过程中由于脱氧剂的加入钢液中会生成不 同尺寸和形貌的夹杂物颗粒，夹杂物颗粒上浮至钢 流体粒子 液表面然后进入熔渣中，这是由钢液中将其去除的 最直接的方式.对于小尺寸的固相夹杂物颗粒来说， 其在钢液中的上浮速度较小，主要通过彼此之间碰 离散速度 撞聚合长大，然后再由钢液中上浮去除，如铝镇静钢 由于细小氧化铝颗粒碰撞形成大尺寸簇群状氧化 铝-习.因此，展开钢液中夹杂物颗粒上浮，特别是 夹杂物颗粒之间碰撞凝聚规律的研究，对于加速细 图1格子Boltzman流体示意图 小夹杂物颗粒的去除和提高钢液的洁净度具有重要 Fig.1 Schematic view of a lattice Boltzmann fluid 意义 (Bhatnagar-Cross--Krook)模型，它的表达式如下o: 针对上述问题，国内外众多学者进行了大量的研 f(x+e:△t,t+△)-f(x,t）= 究，其中基于Euler一Lagrange模型的数值模拟是研究 钢液中夹杂物动力学行为最常见的方法.张邦文 -x,》-x,0). (1) 等4应用Lagrange方法在求解连铸中间包钢液流场 式中，表示离散速度方向，x表示流体粒子的空间 的基础上对不同尺寸夹杂物颗粒的运动轨迹进行研 位置，！表示时间，△！表示流体粒子运动的时间步 究：Lei和He对结晶器内夹杂物的运动轨迹及碰撞 长，e:表示离散速度矢量，T表示弛豫时间，∫(x,t) 凝聚行为进行研究.但是，钢液中夹杂物颗粒的尺寸 表示流体粒子在i方向的速度分布函数，(x,）表 较小，其在钢液中的运动涉及复杂的流一固耦合过程， 示流体粒子平衡态分布函数.平衡态分布函数 传统的Euler--Lagrange模型通常将不同尺寸和形貌的 (x,)的选择要满足流体运动过程的质量守恒和 夹杂物当作质点处理，很难对夹杂物在钢液中的运动 动量守恒，通过选择适当的平衡态分布函数，式(1)所 及碰撞凝聚机理进行研究.因此需要探索一种新的数 示的格子Boltzmann方程可以推导得到宏观Navier一 值计算方法，来研究不同尺寸和形貌夹杂物颗粒在钢 Stokes方程. 中上浮及碰撞凝聚的规律 在所有的BGK模型中，至今应用最为广泛的离散 格子Boltzmann方法是近些年来发展的一种全新 速度集合就是Chen、Qian等提出的DnQb模型.其中n 的数值计算方法.该方法兼具宏观尺度的连续介质模 表示空间维数，b表示离散速度的数目.本文主要研究 型和微观尺度的分子动力学模型的优点，Ladd、Aidun 钢液中固态夹杂物颗粒的上浮动力学过程，因此采用 等开创性的工作使得应用该方法研究液相中固相颗粒 D3Q19模型，即三维空间中流体粒子速度分布函数有 的动力学行为成为可能7-0.本文首先应用格子Blt- 19个方向的离散速度，如图2所示四 zmann方法对钢液中不同尺寸夹杂物颗粒上浮行为进 行讨论，并对该方法的可靠性进行验证，然后应用该方 法考察不同尺寸夹杂物颗粒上浮碰撞凝聚行为，探索 碰撞凝聚过程中不同尺寸和形貌的夹杂物速度的变化 规律 1研究方法 1.1计算流体流动的格子Boltzmann方法 与基于流体连续介质假设的传统计算流体力学方 法不同，格子Boltzmann方法将流体系统看成是大量虚 拟的微观流体粒子组成的集合体，着眼于流体粒子速 度分布函数在空间离散格点进行迁移和演化的过 程-，如图1所示流体粒子按照一定的离散速度在 空间离散网格上进行碰撞和迁移，然后依据宏观物理 量（速度、密度等）与流体粒子速度分布函数之间的关 系得到宏观流动信息 图2D3Q19模型 流体粒子在时空的演变规则由格子Boltzmann方程 Fig.2 D3Q19 model 加以确定.当前最常用的格子Boltzmann方程是BGK 在该模型中离散速度e,可以表示为四
王 耀等: 应用格子 Boltzmann 方法直接数值模拟研究钢中夹杂物上浮及碰撞行为 炼钢过程中由于脱氧剂的加入钢液中会生成不 同尺寸和形貌的夹杂物颗粒，夹杂物颗粒上浮至钢 液表面然后进入熔渣中，这是由钢液中将其去除的 最直接的方式． 对于小尺寸的固相夹杂物颗粒来说， 其在钢液中的上浮速度较小，主要通过彼此之间碰 撞聚合长大，然后再由钢液中上浮去除，如铝镇静钢 由于细小 氧 化 铝 颗 粒 碰 撞 形 成 大 尺 寸 簇 群 状 氧 化 铝［1--3］． 因此，展开钢液中 夹 杂 物 颗 粒 上 浮，特 别 是 夹杂物颗粒之间碰撞凝聚规律的研究，对于加速细 小夹杂物颗粒的去除和提高钢液的洁净度具有重要 意义． 针对上述问题，国内外众多学者进行了大量的研 究，其中基于 Euler--Lagrange 模型的数值模拟是研究 钢液中 夹 杂 物 动 力 学 行 为 最 常 见 的 方 法． 张 邦 文 等［4--5］应用 Lagrange 方法在求解连铸中间包钢液流场 的基础上对不同尺寸夹杂物颗粒的运动轨迹进行研 究; Lei 和 He［6］对结晶器内夹杂物的运动轨迹及碰撞 凝聚行为进行研究． 但是，钢液中夹杂物颗粒的尺寸 较小，其在钢液中的运动涉及复杂的流--固耦合过程， 传统的 Euler--Lagrange 模型通常将不同尺寸和形貌的 夹杂物当作质点处理，很难对夹杂物在钢液中的运动 及碰撞凝聚机理进行研究． 因此需要探索一种新的数 值计算方法，来研究不同尺寸和形貌夹杂物颗粒在钢 中上浮及碰撞凝聚的规律． 格子 Boltzmann 方法是近些年来发展的一种全新 的数值计算方法． 该方法兼具宏观尺度的连续介质模 型和微观尺度的分子动力学模型的优点，Ladd、Aidun 等开创性的工作使得应用该方法研究液相中固相颗粒 的动力学行为成为可能［7--11］． 本文首先应用格子 Boltzmann 方法对钢液中不同尺寸夹杂物颗粒上浮行为进 行讨论，并对该方法的可靠性进行验证，然后应用该方 法考察不同尺寸夹杂物颗粒上浮碰撞凝聚行为，探索 碰撞凝聚过程中不同尺寸和形貌的夹杂物速度的变化 规律． 1 研究方法 1. 1 计算流体流动的格子 Boltzmann 方法 与基于流体连续介质假设的传统计算流体力学方 法不同，格子 Boltzmann 方法将流体系统看成是大量虚 拟的微观流体粒子组成的集合体，着眼于流体粒子速 度分布函数在空间离散格点进行迁移和演化的过 程［7--10］，如图 1 所示流体粒子按照一定的离散速度在 空间离散网格上进行碰撞和迁移，然后依据宏观物理 量( 速度、密度等) 与流体粒子速度分布函数之间的关 系得到宏观流动信息． 流体粒子在时空的演变规则由格子 Boltzmann 方程 加以确定． 当前最常用的格子 Boltzmann 方程是 BGK 图 1 格子 Boltzman 流体示意图 Fig． 1 Schematic view of a lattice Boltzmann fluid ( Bhatnagar--Cross--Krook) 模型，它的表达式如下［10］: fi ( x + eiΔt，t + Δt) － fi ( x，t) = － 1 τ ( fi ( x，t) － f eq i ( x，t) ) ． ( 1) 式中，i 表示离散速度方向，x 表示流 体 粒 子 的 空 间 位置，t 表 示 时 间，Δt 表示流体粒子运动的时间步 长，ei 表示离散速度矢量，τ 表示弛豫时间，fi ( x，t) 表示流体粒子在 i 方向的速度分布函数，f eq i ( x，t) 表 示流体粒子平衡态分布函数． 平衡态分布函数 f eq i ( x，t) 的选择要满足流体运动过程的质量守恒和 动量守恒，通过选择适当的平衡态分布函数，式( 1) 所 示的格子 Boltzmann 方程可以推导得到宏观 Navier-- Stokes 方程． 在所有的 BGK 模型中，至今应用最为广泛的离散 速度集合就是 Chen、Qian 等提出的 DnQb 模型． 其中 n 表示空间维数，b 表示离散速度的数目． 本文主要研究 钢液中固态夹杂物颗粒的上浮动力学过程，因此采用 D3Q19 模型，即三维空间中流体粒子速度分布函数有 19 个方向的离散速度，如图 2 所示［12］． 图 2 D3Q19 模型 Fig． 2 D3Q19 model 在该模型中离散速度 ei 可以表示为［11］ · 546 ·
·646· 工程科学学报，第38卷，第5期 r01-1000000001-1-111-11 e1s=0001-1001-11-100001-1 L000001-11-1-111-11 -100 ( 其中c=△x/△1为格子速度，表示为空间步长△x与时 间步长△：的比值.平衡态速度分布函数可以表 边界点 示为四 固体边界 x,0=0p1+”+9,w_lu1 流体格点 2c-2c (3) 固体格点 式中：p表示流体宏观密度：u表示宏观速度；c,=c/W3 表示格子声速；w:表示权系数，用来确保流体的各向 同性.不同离散速度方向权系数：可由下式确定： 图3固体颗粒和流体耦合模型 1/3,i=0: Fig.3 Coupling model of the solid particle and fluid 0:=1/18,i=1~6: (4) 1/36,i=7~18. 式中，山是边界点速度，U。是颗粒移动速度，卫。是颗 数值计算过程中流体的运动黏度，与量纲一的松 粒角速度，R是颗粒质量中心的坐标，”是边界节点 弛时间？的关系可以表示为 坐标. =) 边界节点x。处颗粒受到的作用力可由下式 (5) 表示四： 流体的宏观密度p(x,t)和宏观速度u(x,t),与速度分 布函数∫(x,)之间的关系可由下式表示： 0=2W-2p”]点.9) p(x,)=∑f(x,), (6) 对颗粒周围所有边界格点受到的作用力和力矩进行求 和，可得固体颗粒受到的总作用力和总力矩： pu(x,0=∑ef(x,）. (7) F。=∑∑F(x), (10) 1.2夹杂物颗粒和钢液耦合数学模型 T=∑∑(×Fx0). (11) 钢液中不同类型夹杂物的尺寸较小，一般为微米 级，并且形貌结构也各不相同.常见的研究钢液中夹 在此受力分析的基础上，固体颗粒的平动和转动方程 杂物颗粒运动的方法为Lagrange法.该方法将夹杂物 可由牛顿第二定律加以描述，如下式所示： 颗粒当作质点处理，不考虑尺寸形貌对其运动行为的 x=F+F me dr (12) 影响，因而无法对其在钢液中的运动及碰撞凝聚机理 进行研究.如何处理不同尺寸形貌夹杂物颗粒运动过 d心g=1,+T. 1, (13) 程中其与钢液之间复杂的流一固耦合作用是研究其运 动行为的关键.Ladd、Aidun等7开创性地建立了基 式中：m。和x。分别表示固体颗粒的质量和位置：F为 于有限体积颗粒的格子Boltzmann方法，该方法为直接 黏滞阻力：F为外部场力，本研究中主要指重力和浮 模拟研究固体颗粒在液相的运动行为奠定了基础.在 力：I。和0。分别表示颗粒惯性矩和转动角度：T为固 该方法中，流体的流动使用格子Boltzmann方法加以描 体颗粒受到的黏滞力矩：T为外力场产生的力矩 述，并将固体颗粒用一组离散边界点来描述.以球形 1.3初始条件和边界条件设置 夹杂物颗粒为例，其在二维平面上可以表示为图3所 图4为模拟区域的结构示意图.从图中可以看出 示的灰色圆形区域.在颗粒运动的过程中，原先的流 模拟区域为一矩形腔，假设腔内充满钢液，矩形腔的底 体格点会被固体颗粒覆盖成为固体格点，固体边界则 部、侧面和顶部均为周期性边界条件.初始时不同尺 用流体格点和固体格点连线的中心位置处的边界格点 寸夹杂物颗粒位于模拟区域的底部中心处，模拟夹杂 加以表示.在计算区域网格划分细致的情况下，离散 物颗粒和钢液的运动，其物性参数如表1所示.计算 边界格点可以较为精确地描绘出固体颗粒的大小和 区域的大小为1371μm×1371μm×1486um,并将其 形状. 划分为120×120×130的网格，因此单位网格即空间 固体颗粒运动速度与边界节点速度的关系可表 步长△x=11.43μm,时间步长的选取则与空间步长、 示为 钢液及夹杂物颗粒的物性参数有关，本研究中时间步 u=U,+2。×(r-R) (8) 长△1=3.05×10-5s
工程科学学报，第 38 卷，第 5 期 e0 ～ 18 = c 0 1 － 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 － 1 － 1 1 1 － 1 1 － 1 0 0 0 1 － 1 0 0 1 － 1 1 － 1 0 0 0 0 1 － 1 － 1 1 0 0 0 0 0 1 － 1 1 － 1 － 1 1 1 － 1 1 － 1 0 0 0 0 ． ( 2) 其中 c = Δx /Δt 为格子速度，表示为空间步长 Δx 与时 间步长 Δt 的 比 值． 平 衡 态 速 度 分 布 函 数 可 以 表 示为［11］ f eq i ( x，t) = wiρ [ 1 + ei ·u c 2 s + ( ei ·u) 2 2c 4 s － | u | 2 2c 2 ] s ． ( 3) 式中: ρ 表示流体宏观密度; u 表示宏观速度; cs = c /槡3 表示格子声速; wi 表示权系数，用来确保流体的各向 同性． 不同离散速度方向权系数 wi 可由下式确定: wi = 1 /3， i = 0; 1 /18， i = 1 ～ 6; 1 /36， i = 7 ～ 18 { ． ( 4) 数值计算过程中流体的运动黏度 ν 与量纲一的松 弛时间 τ 的关系可以表示为 ν = ( 1 3 τ － ) 1 2 Δx 2 Δt ． ( 5) 流体的宏观密度 ρ( x，t) 和宏观速度 u( x，t) ，与速度分 布函数 fi ( x，t) 之间的关系可由下式表示: ρ( x，t) = ∑i fi ( x，t) ， ( 6) ρu( x，t) = ∑i ei fi ( x，t) ． ( 7) 1. 2 夹杂物颗粒和钢液耦合数学模型 钢液中不同类型夹杂物的尺寸较小，一般为微米 级，并且形貌结构也各不相同． 常见的研究钢液中夹 杂物颗粒运动的方法为 Lagrange 法． 该方法将夹杂物 颗粒当作质点处理，不考虑尺寸形貌对其运动行为的 影响，因而无法对其在钢液中的运动及碰撞凝聚机理 进行研究． 如何处理不同尺寸形貌夹杂物颗粒运动过 程中其与钢液之间复杂的流--固耦合作用是研究其运 动行为的关键． Ladd、Aidun 等［7--9］开创性地建立了基 于有限体积颗粒的格子 Boltzmann 方法，该方法为直接 模拟研究固体颗粒在液相的运动行为奠定了基础． 在 该方法中，流体的流动使用格子 Boltzmann 方法加以描 述，并将固体颗粒用一组离散边界点来描述． 以球形 夹杂物颗粒为例，其在二维平面上可以表示为图 3 所 示的灰色圆形区域． 在颗粒运动的过程中，原先的流 体格点会被固体颗粒覆盖成为固体格点，固体边界则 用流体格点和固体格点连线的中心位置处的边界格点 加以表示． 在计算区域网格划分细致的情况下，离散 边界格点可以较为精确地描绘出固体颗粒的大小和 形状． 固体颗粒运动速度与边界节点速度的关系可表 示为 ub = Up + Ωp × ( rb － Ｒ) ． ( 8) 图 3 固体颗粒和流体耦合模型 Fig． 3 Coupling model of the solid particle and fluid 式中，ub 是边界点速度，Up 是颗粒移动速度，Ωp 是颗 粒角速度，Ｒ 是颗粒质量中心的坐标，rb 是边界节点 坐标． 边界节 点 xb 处 颗粒受到的作用力可由下式 表示［11］: Ff i ( xb，t) [ = 2 fi ( xb，t) － 2wiρ ub ·ei c 2 ] s Δx Δt ei ． ( 9) 对颗粒周围所有边界格点受到的作用力和力矩进行求 和，可得固体颗粒受到的总作用力和总力矩: Fp = ∑xb ∑i Ff i ( xb，t) ， ( 10) Tf p = ∑xb ∑i ( rb × Ff i ( xb，t) ) ． ( 11) 在此受力分析的基础上，固体颗粒的平动和转动方程 可由牛顿第二定律加以描述，如下式所示: mp d2 xp dt 2 = Ff p + Fexp p ， ( 12) Ip d2 θp dt 2 = Tf p + Texp p ． ( 13) 式中: mp 和 xp 分别表示固体颗粒的质量和位置; Ff p 为 黏滞阻力; Fext p 为外部场力，本研究中主要指重力和浮 力; Ip 和 θp 分别表示颗粒惯性矩和转动角度; Tf p 为固 体颗粒受到的黏滞力矩; Text p 为外力场产生的力矩． 1. 3 初始条件和边界条件设置 图 4 为模拟区域的结构示意图． 从图中可以看出 模拟区域为一矩形腔，假设腔内充满钢液，矩形腔的底 部、侧面和顶部均为周期性边界条件． 初始时不同尺 寸夹杂物颗粒位于模拟区域的底部中心处，模拟夹杂 物颗粒和钢液的运动，其物性参数如表 1 所示． 计算 区域的大小为 1 371 μm × 1 371 μm × 1 486 μm，并将其 划分为 120 × 120 × 130 的网格，因此单位网格即空间 步长 Δx = 11. 43 μm，时间步长的选取则与空间步长、 钢液及夹杂物颗粒的物性参数有关，本研究中时间步 长 Δt = 3. 05 × 10 － 5 s． · 646 ·
王耀等：应用格子Boltzmann方法直接数值模拟研究钢中夹杂物上浮及碰撞行为 ·647 2模拟结果与讨论 2.1数值算法和流固耦合模型验证 铝由于其较强的脱氧能力，现已成为治炼低氧钢 和超低氧钢最常见的脱氧剂之一·因此，本研究选择 固态氧化铝夹杂物颗粒作为研究对象.为了验证本文 所采用的格子Boltzmann法及流一固耦合模型的可靠 性，首先模拟静止钢液中直径d=40μm及d=80μm 球状A山，0，夹杂物的上浮过程.图5为不同尺寸夹杂 物颗粒上浮达到稳定时，模拟区域Y-Z中心对性面 上钢液速度分布图 从图5可以看出，对于不同尺寸的夹杂物颗粒来 图4模拟区域结构示意图 说，夹杂物颗粒的尺寸越大，夹杂物颗粒的终点上浮速 Fig.4 Schematic view of the simulation domain 度越大.并且由于夹杂物颗粒表面和钢液之间采用无 滑移边界条件，夹杂物颗粒周围钢液的速度分布也是 表1钢液与A山20，夹杂物颗粒的物性参数 Table 1 Physical properties of steel and Al,O,inclusion particles 相似的，即靠近夹杂物周围位置处钢液速度较大，远离 夹杂物颗粒处钢液速度较小，直至夹杂物颗粒的运动 类型 符号 取值 不会对钢液流场产生影响.夹杂物颗粒所受钢液黏滞 A203密度/(kgm) Pe 3600 阻力的方向与夹杂物颗粒和钢液相对运动速度的方向 钢液密度/(kgm3) P 7000 相反，夹杂物颗粒达到稳定上浮时，其所受重力、浮力 钢液动力黏度/(N·sm2) m 0.005 和钢液黏滞阻力达到平衡.图6为模拟得到的不同尺 重力加速度/(Nkg) 寸夹杂物颗粒在钢液中的上浮速度随时间变化的 9.8 关系 (a b o 0 405203 ,6 1.0 钢液速度/ 钢液速度/ (10m8） (103ms 图5不同尺寸夹杂物颗粒上浮达到稳定时模拟区域Y-Z中心对性面上钢液速度分布图.(a）d=40um:(b)d=80μm Fig.5 Velocity distribution in the Y-Z symmetry plane of the computational domain when different size inclusions stably floats:(a)d=40 m: (b)d=80μm 从图6可以看出，夹杂物颗粒在钢液中的上浮过 上浮速度理论计算值和模拟结果进行对比.由对比结 程可以分为两个阶段：加速上浮阶段和稳定上浮阶段. 果可以看出不同尺寸夹杂物颗粒上浮速度的理论计算 在加速上浮阶段，颗粒所受钢液的黏滞阻力随上浮速 值和模拟结果基本一致，表明本文所采用的格子Bolz- 度的增加而增加，因而上浮加速度逐渐减小，直至夹杂 mann方法和流-固耦合模型，能够较为精确有效地对 物颗粒达到稳定上浮阶段.夹杂物颗粒尺寸越小，其 固相夹杂物颗粒在钢液中上浮运动行为进行研究. 上浮达到稳定所需的时间越短，颗粒尺寸越大，其稳定 2.2夹杂物颗粒之间上浮过程中的碰撞 上浮速度越大.同时，球形夹杂物颗粒的上浮速度可 上浮碰撞是钢液中夹杂物颗粒之间主要的碰撞凝 以使用Stokes定律进行计算.将不同尺寸夹杂物颗粒 聚方式之一.对于小尺寸的夹杂物颗粒来说，其上浮
王 耀等: 应用格子 Boltzmann 方法直接数值模拟研究钢中夹杂物上浮及碰撞行为 图 4 模拟区域结构示意图 Fig． 4 Schematic view of the simulation domain 表 1 钢液与 Al2O3夹杂物颗粒的物性参数 Table 1 Physical properties of steel and Al2O3 inclusion particles 类型 符号 取值 Al2O3密度/( kg·m － 3 ) ρp 3600 钢液密度/( kg·m － 3 ) ρm 7000 钢液动力黏度/( N·s·m － 2 ) μm 0. 005 重力加速度/( N·kg － 1 ) g 9. 8 2 模拟结果与讨论 2. 1 数值算法和流--固耦合模型验证 铝由于其较强的脱氧能力，现已成为冶炼低氧钢 和超低氧钢最常见的脱氧剂之一． 因此，本研究选择 固态氧化铝夹杂物颗粒作为研究对象． 为了验证本文 所采用的格子 Boltzmann 法及流--固耦合模型的可靠 性，首先模拟静止钢液中直径 d = 40 μm 及 d = 80 μm 球状 Al2O3夹杂物的上浮过程． 图 5 为不同尺寸夹杂 物颗粒上浮达到稳定时，模拟区域 Y － Z 中心对性面 上钢液速度分布图． 从图 5 可以看出，对于不同尺寸的夹杂物颗粒来 说，夹杂物颗粒的尺寸越大，夹杂物颗粒的终点上浮速 度越大． 并且由于夹杂物颗粒表面和钢液之间采用无 滑移边界条件，夹杂物颗粒周围钢液的速度分布也是 相似的，即靠近夹杂物周围位置处钢液速度较大，远离 夹杂物颗粒处钢液速度较小，直至夹杂物颗粒的运动 不会对钢液流场产生影响． 夹杂物颗粒所受钢液黏滞 阻力的方向与夹杂物颗粒和钢液相对运动速度的方向 相反，夹杂物颗粒达到稳定上浮时，其所受重力、浮力 和钢液黏滞阻力达到平衡． 图 6 为模拟得到的不同尺 寸夹杂物颗粒在钢液中的上浮速度随时间变化的 关系． 图 5 不同尺寸夹杂物颗粒上浮达到稳定时模拟区域 Y － Z 中心对性面上钢液速度分布图． ( a) d = 40 μm; ( b) d = 80 μm Fig． 5 Velocity distribution in the Y － Z symmetry plane of the computational domain when different size inclusions stably floats: ( a) d = 40 μm; ( b) d = 80 μm 从图 6 可以看出，夹杂物颗粒在钢液中的上浮过 程可以分为两个阶段: 加速上浮阶段和稳定上浮阶段． 在加速上浮阶段，颗粒所受钢液的黏滞阻力随上浮速 度的增加而增加，因而上浮加速度逐渐减小，直至夹杂 物颗粒达到稳定上浮阶段． 夹杂物颗粒尺寸越小，其 上浮达到稳定所需的时间越短，颗粒尺寸越大，其稳定 上浮速度越大． 同时，球形夹杂物颗粒的上浮速度可 以使用 Stokes 定律进行计算． 将不同尺寸夹杂物颗粒 上浮速度理论计算值和模拟结果进行对比． 由对比结 果可以看出不同尺寸夹杂物颗粒上浮速度的理论计算 值和模拟结果基本一致，表明本文所采用的格子 Boltzmann 方法和流--固耦合模型，能够较为精确有效地对 固相夹杂物颗粒在钢液中上浮运动行为进行研究． 2. 2 夹杂物颗粒之间上浮过程中的碰撞 上浮碰撞是钢液中夹杂物颗粒之间主要的碰撞凝 聚方式之一． 对于小尺寸的夹杂物颗粒来说，其上浮 · 746 ·
·648· 工程科学学报，第38卷，第5期 3.5 在钢液中上浮过程进行模拟研究，验证数值方法的有 3.0 一理论值 效性，并得到其在钢液中上浮时的速度变化规律.本 ●de80mm 2.5 d=40 mm 节将继续以d=40μm和d=80um固态球形氧化铝夹 杂物颗粒为研究对象，应用格子Boltzmann方法对其在 钢液中的上浮碰撞凝聚过程进行研究.图7为d= 159 40μm和d=80μm夹杂物颗粒上浮碰撞凝聚过程中模 拟区域中心Y-Z对称面上的速度分布 从图7可以看出：当1=1.22×10-4s即上浮开始 0.5 时，d=80μm的夹杂物颗粒位于d=40μm的夹杂物 '0 0.050.100.150.200.250.30 颗粒的正下方，但d=80um的夹杂物颗粒上浮速度较 时间/s 快，因此随着上浮的进行，两个颗粒之间的距离不断缩 图6不同尺寸夹杂物颗粒上浮速度随时间的变化关系 小；当t=0.85s时，d=80μm的夹杂物颗粒已经追赶 Fig.6 Floating velocity of inclusions with different sizes as a func- 上d=40um的夹杂物颗粒，并发生碰撞后一起向上运 tion of time 动.图8为两种尺寸夹杂物颗粒单独上浮及一起上浮 并发生碰撞的情形下，夹杂物颗粒上浮速度随时间的 速度较慢，与其他尺寸夹杂物颗粒碰撞凝聚长大后，能 变化关系 够加速其在钢液中的上浮去除.但是至今很少有人对 从图8可以看出，两种尺寸夹杂物颗粒单独上浮 夹杂物颗粒之间的上浮碰撞凝聚过程，以及碰撞凝聚 时上浮速度随时间的变化关系与两者一起上浮并发生 后形成的复杂形貌夹杂物的上浮速度进行较为深入的 碰撞时差别较大.在两者一起上浮的情况下，随着时 研究.上一节对d=40um和d=80um的夹杂物颗粒 间的延长，两者的上浮速度都逐渐增大，但是位于下方 (a) 0.39 ■8品 0.10 钢液速度/ 钢液速度/ (10m·8) (103ms) (e) d 299 00 ■82 ■6 钢液速度/ 钢液速度 (103ms (103ms 图7夹杂物上浮过程中模拟区域中心Y-Z对称面上不同时刻的流场速度分布.(a)t=1.22×104s:(b)t=0.02s:(c)t=0.03s: (d)t=0.85s Fig.7 Velocity distributions in the Y-Z symmetry plane of the computational domain at different times in the inclusion floating process:(a)= 1.22×10-4s:(b)1=0.02s:(c）t=0.03s:(d)t=0.85s
工程科学学报，第 38 卷，第 5 期 图 6 不同尺寸夹杂物颗粒上浮速度随时间的变化关系 Fig． 6 Floating velocity of inclusions with different sizes as a function of time 速度较慢，与其他尺寸夹杂物颗粒碰撞凝聚长大后，能 图 7 夹杂物上浮过程中模拟区域中心 Y － Z 对称面上不同时刻的流场速度分布． ( a) t = 1. 22 × 10 － 4 s; ( b) t = 0. 02 s; ( c) t = 0. 03 s; ( d) t = 0. 85 s Fig． 7 Velocity distributions in the Y － Z symmetry plane of the computational domain at different times in the inclusion floating process: ( a) t = 1. 22 × 10 － 4 s; ( b) t = 0. 02 s; ( c) t = 0. 03 s; ( d) t = 0. 85 s 够加速其在钢液中的上浮去除． 但是至今很少有人对 夹杂物颗粒之间的上浮碰撞凝聚过程，以及碰撞凝聚 后形成的复杂形貌夹杂物的上浮速度进行较为深入的 研究． 上一节对 d = 40 μm 和 d = 80 μm 的夹杂物颗粒 在钢液中上浮过程进行模拟研究，验证数值方法的有 效性，并得到其在钢液中上浮时的速度变化规律． 本 节将继续以 d = 40 μm 和 d = 80 μm 固态球形氧化铝夹 杂物颗粒为研究对象，应用格子 Boltzmann 方法对其在 钢液中的上浮碰撞凝聚过程进行研究． 图 7 为d = 40 μm和 d = 80 μm 夹杂物颗粒上浮碰撞凝聚过程中模 拟区域中心 Y － Z 对称面上的速度分布． 从图 7 可以看出: 当 t = 1. 22 × 10 － 4 s 即上浮开始 时，d = 80 μm 的夹杂物颗粒位于 d = 40 μm 的夹杂物 颗粒的正下方，但 d = 80 μm 的夹杂物颗粒上浮速度较 快，因此随着上浮的进行，两个颗粒之间的距离不断缩 小; 当 t = 0. 85 s 时，d = 80 μm 的夹杂物颗粒已经追赶 上 d = 40 μm 的夹杂物颗粒，并发生碰撞后一起向上运 动． 图 8 为两种尺寸夹杂物颗粒单独上浮及一起上浮 并发生碰撞的情形下，夹杂物颗粒上浮速度随时间的 变化关系． 从图 8 可以看出，两种尺寸夹杂物颗粒单独上浮 时上浮速度随时间的变化关系与两者一起上浮并发生 碰撞时差别较大． 在两者一起上浮的情况下，随着时 间的延长，两者的上浮速度都逐渐增大，但是位于下方 · 846 ·
王耀等：应用格子Boltzmann方法直接数值模拟研究钢中夹杂物上浮及碰撞行为 ·649 4.0m 颗粒的上浮速度，尤其是小尺寸夹杂上浮去除速度，提 4d40um碰撞 3.5 高钢液的洁净度具有重要的意义. 。d-80Hm碰撞 3.0 4d=40m上浮 ◆d-80m上浮 参考文献 2.5 [Rege R A,Szekeres ES,Forgeng W D.Three-imensional view 2.0 of alumina clusters in aluminum-killed low-carbon steel.Metall 1.5 Mater Trans B,1970,1(9):2652 碰撞 1.0 [2]Doo W C,Kim D Y,Kang S C,et al.Measurement of the 2-i- mensional fractal dimensions of alumina clusters formed in an ultra 0.5 low carbon steel melt during RH process.IS/J Int,2007,47(7) 0 0.050.100.150.200.250.30 1070 时间/s B] Tozawa H,Kato Y,Sorimachi K,et al.Agglomeration and floata- 图8单独上浮及发生上浮碰撞两种情形下夹杂物颗粒上浮速 tion of alumina cluster in molten steel.IS//Int,1999,39 (5): 度随时间的变化关系 426 Fig.8 Change in inclusion floating velocity with time under the con- 4]Zhang B W,Li B W,Liu Z X.Mathematical simulation to the dition of floating lonely and collision in the floating process moving trajectory of inclusion particles of tundish in continuous casting process.J Baotou Unir Iron Steel Technol,1999,18(2): 的d=80μm的夹杂物颗粒的上浮速度大于正上方的 125 d=40μm的上浮速度，因此两者之间的距离不断缩 (张邦文，李保卫，刘中兴.连铸中间包钢液中夹杂物颗粒运 小，直至发生碰撞，并且形成一个较大尺寸复杂形貌夹 动轨迹的数值模拟.包头钢铁学院学报，1999,18(2)：125) 杂物后以相同的速度向上运动，如图7()和图8所 5] Zhang B W,Deng K,Lei Z S,et al.A mathematical model on 示.同时相比于两者单独上浮，在二者一起上浮情况 collision and removal of inclusion particles in continuous casting 下，较小尺寸夹杂物颗粒即d=40μm在上浮过程中速 tundish.Acta Metall Sin,2004,40(6)623 度增加更为显著，这是由于下部d=80um的夹杂物颗 (张邦文，邓康，雷作胜，等.连铸中间包中夹杂物聚合与去 粒上浮速度较快，其在上浮的过程中会带动周围钢液 除的数学模型.金属学报，2004,40(6)：623) 的运动，当d=80μm的氧化铝颗粒不断接近d=40μm [6]Lei H,He J C.A dynamic model of alumina inclusion collision growth in the continuous caster.J Non Cryst Solids,2006,352 氧化铝颗粒时，钢液会对上方d=40μm夹杂物颗粒起 (36-37):3772 到加速上浮的作用，直至两者发生碰撞后一起上浮. [7]Ladd A J C.Numerical simulations of particulate suspensions via a 并且形成的凝聚体的上浮速度明显大于两种尺寸夹杂 discretized Boltzmann equation:Part 1.Theoretical foundation. 物颗粒单独上浮时的上浮速度，如图8所示，对于d= Fluid Mech,1994,271:285 40m的夹杂物来说，形成凝聚体后的上浮速度比单 ] Ladd A JC.Numerical simulations of particulate suspensions via a 独上浮时增加300%.因此实际炼钢过程中，采取必要 discretized Boltzmann equation:Part 2.Numerical results.J 的措施增加夹杂物颗粒之间上浮过程中的碰撞凝聚， Fluid Mech,1994,271:311 对于提高夹杂物颗粒的上浮速度，尤其是小尺寸夹杂 9]Aidun C K,Lu Y,Ding E J.Direct analysis of particulate sus- 上浮去除速度，具有重要的意义 pensions with inertia using the discrete Boltzmann equation. Fluid Mech,1998,373:287 3结论 [10]Liou T M,Lin C T.Study on microchannel flows with a sudden contraction-expansion at a wide range of Knudsen number using (1)不同尺寸夹杂物颗粒上浮速度的模拟结果和 lattice Boltzmann method.Microfluid Nanofluid,2014,16(1): 理论值基本一致，表明本文所采用的数值算法能够精 315 确有效地对钢液中固相夹杂物颗粒运动进行研究. [11]Sun D K,Xiang N,Chen K,et al.Lattice Boltzmann modeling (2)当钢液中d=80um的夹杂物颗粒位于d= of particle inertial migration in a curved channel.Acta Phys Sin, 40um的下方并一起上浮时，d=80um的夹杂物颗粒 2013,62(2):391 会逐渐追赶上d=40μm的夹杂物颗粒并发生碰撞后 (孙东科，项楠，陈科，等.格子玻尔兹曼方法模拟弯流道中 形成复杂形貌凝聚体，凝聚体的上浮速度显著大于二 粒子的惯性迁移行为.物理学报，2013,62(2)：391) [12]Li L,Zheng H,Luo X B.3-imensional lattice Boltzmann simu- 者单独上浮时的上浮速度.对于d=40μm的夹杂物 lation of phosphor gel dispensing process in light emitting diodes 来说，形成凝聚体后的上浮速度比单独上浮时增加 Appl Math Mech,2014,35 (3):264 300%. (李岚，郑怀，罗小兵.大功率LED荧光粉硅胶点涂工艺的 (3)实际炼钢过程中，采取必要的措施增加夹杂 三维格子Boltzmann模拟.应用数学与力学，2014,35(3)： 物颗粒之间上浮过程中的碰撞凝聚，对于提高夹杂物 264)
王 耀等: 应用格子 Boltzmann 方法直接数值模拟研究钢中夹杂物上浮及碰撞行为 图 8 单独上浮及发生上浮碰撞两种情形下夹杂物颗粒上浮速 度随时间的变化关系 Fig． 8 Change in inclusion floating velocity with time under the condition of floating lonely and collision in the floating process 的 d = 80 μm 的夹杂物颗粒的上浮速度大于正上方的 d = 40 μm 的上浮速度，因此两者之间的距离不断缩 小，直至发生碰撞，并且形成一个较大尺寸复杂形貌夹 杂物后以相同的速度向上运动，如图 7 ( d) 和图 8 所 示． 同时相比于两者单独上浮，在二者一起上浮情况 下，较小尺寸夹杂物颗粒即 d = 40 μm 在上浮过程中速 度增加更为显著，这是由于下部 d = 80 μm 的夹杂物颗 粒上浮速度较快，其在上浮的过程中会带动周围钢液 的运动，当 d = 80 μm 的氧化铝颗粒不断接近d = 40 μm 氧化铝颗粒时，钢液会对上方 d = 40 μm 夹杂物颗粒起 到加速上浮的作用，直至两者发生碰撞后一起上浮． 并且形成的凝聚体的上浮速度明显大于两种尺寸夹杂 物颗粒单独上浮时的上浮速度，如图 8 所示，对于 d = 40 μm 的夹杂物来说，形成凝聚体后的上浮速度比单 独上浮时增加 300% ． 因此实际炼钢过程中，采取必要 的措施增加夹杂物颗粒之间上浮过程中的碰撞凝聚， 对于提高夹杂物颗粒的上浮速度，尤其是小尺寸夹杂 上浮去除速度，具有重要的意义． 3 结论 ( 1) 不同尺寸夹杂物颗粒上浮速度的模拟结果和 理论值基本一致，表明本文所采用的数值算法能够精 确有效地对钢液中固相夹杂物颗粒运动进行研究． ( 2) 当钢液中 d = 80 μm 的夹杂物颗粒位于d = 40 μm的下方并一起上浮时，d = 80 μm 的夹杂物颗粒 会逐渐追赶上 d = 40 μm 的夹杂物颗粒并发生碰撞后 形成复杂形貌凝聚体，凝聚体的上浮速度显著大于二 者单独上浮时的上浮速度． 对于 d = 40 μm 的夹杂物 来说，形成凝聚体后的上浮速度比单独上浮时增加 300% ． ( 3) 实际炼钢过程中，采取必要的措施增加夹杂 物颗粒之间上浮过程中的碰撞凝聚，对于提高夹杂物 颗粒的上浮速度，尤其是小尺寸夹杂上浮去除速度，提 高钢液的洁净度具有重要的意义． 参 考 文 献 ［1］ Ｒege Ｒ A，Szekeres E S，Forgeng W D． Three-dimensional view of alumina clusters in aluminum-killed low-carbon steel． Metall Mater Trans B，1970，1( 9) : 2652 ［2］ Doo W C，Kim D Y，Kang S C，et al． Measurement of the 2-dimensional fractal dimensions of alumina clusters formed in an ultra low carbon steel melt during ＲH process． ISIJ Int，2007，47( 7) : 1070 ［3］ Tozawa H，Kato Y，Sorimachi K，et al． Agglomeration and floatation of alumina cluster in molten steel． ISIJ Int，1999，39 ( 5) : 426 ［4］ Zhang B W，Li B W，Liu Z X． Mathematical simulation to the moving trajectory of inclusion particles of tundish in continuous casting process． J Baotou Univ Iron Steel Technol，1999，18( 2) : 125 ( 张邦文，李保卫，刘中兴． 连铸中间包钢液中夹杂物颗粒运 动轨迹的数值模拟． 包头钢铁学院学报，1999，18( 2) : 125) ［5］ Zhang B W，Deng K，Lei Z S，et al． A mathematical model on collision and removal of inclusion particles in continuous casting tundish． Acta Metall Sin，2004，40( 6) : 623 ( 张邦文，邓康，雷作胜，等． 连铸中间包中夹杂物聚合与去 除的数学模型． 金属学报，2004，40( 6) : 623) ［6］ Lei H，He J C． A dynamic model of alumina inclusion collision growth in the continuous caster． J Non Cryst Solids，2006，352 ( 36--37) : 3772 ［7］ Ladd A J C． Numerical simulations of particulate suspensions via a discretized Boltzmann equation: Part 1． Theoretical foundation． J Fluid Mech，1994，271: 285 ［8］ Ladd A J C． Numerical simulations of particulate suspensions via a discretized Boltzmann equation: Part 2． Numerical results． J Fluid Mech，1994，271: 311 ［9］ Aidun C K，Lu Y，Ding E J． Direct analysis of particulate suspensions with inertia using the discrete Boltzmann equation． J Fluid Mech，1998，373: 287 ［10］ Liou T M，Lin C T． Study on microchannel flows with a sudden contraction-expansion at a wide range of Knudsen number using lattice Boltzmann method． Microfluid Nanofluid，2014，16( 1) : 315 ［11］ Sun D K，Xiang N，Chen K，et al． Lattice Boltzmann modeling of particle inertial migration in a curved channel． Acta Phys Sin， 2013，62( 2) : 391 ( 孙东科，项楠，陈科，等． 格子玻尔兹曼方法模拟弯流道中 粒子的惯性迁移行为． 物理学报，2013，62( 2) : 391) ［12］ Li L，Zheng H，Luo X B． 3-dimensional lattice Boltzmann simulation of phosphor gel dispensing process in light emitting diodes． Appl Math Mech，2014，35( 3) : 264 ( 李岚，郑怀，罗小兵． 大功率 LED 荧光粉硅胶点涂工艺的 三维格子 Boltzmann 模拟． 应用数学与力学，2014，35( 3) : 264) · 946 ·
