第四章根轨迹法 ◎经典控制理论的两大代表性方法之 WR. Evans1948年提出 ◇根据开环传递函数,分析改变系统参数 对闭环极点的影响 R(S E(S) Y(S) G1(s) G2(s) S) H(S)
第四章 根 轨 迹 法 经典控制理论的两大代表性方法之一 W. R. Evans 1948年提出 根据开环传递函数，分析改变系统参数 对闭环极点的影响 D1 (s) R(s) Y(s) G1 (s) G 2 (s) H(s) - D2 (s) E(s)
本章主要内容 根轨迹基本概念 绘制根轨迹的基本依据及规则 参数根轨迹 串联校正的综合(自学)
本章主要内容 根轨迹基本概念 绘制根轨迹的基本依据及规则 参数根轨迹 串联校正的综合（自学）
4-1.根轨迹基本概念 根轨迹的定义: 开环传递函数的某一参数从0变到时,闭环系 统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。 R(S) E(S) G1(s) G2(s) H(S) D2S K 如G(s)G2(s)H(s) >常规根轨迹 S(3+)(s+2) G(s)G(s)H(s)=51s+bs+3参数根轨迹 (s+1)3
4-1. 根轨迹基本概念 开环传递函数的某一参数从0变到∞时，闭环系 统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。 根轨迹的定义： D1 (s) R(s) Y(s) G1 (s) G 2 (s) H(s) - D2 (s) E(s) 1 2 3 (s 1 ) 5(s b )( s 3 ) G (s )G (s )H(s ) + + + = s(s 1 )( s 2 ) K G (s)G (s)H(s) g 1 2 + + 如 = 常规根轨迹 参数根轨迹
例:闭环传函为 p(5/s1(s) 2K K S(0.5s+1) R(s)s2+2.+2K 特征方程为:s2+2s+2K=0 特征根为:s1=-1+√1-2K,s2=-1-√1-2K 设K从0→∞,则有 2I S K=0时, 1,2一 0,-2,(开环极点) K≤05时,s1,s2为实数,且K个→S1↓,s2个 K>O5时,S,s2为复数,Rs=-1,且K个→1的虚部个
s ( 0. 5 s 1 ) K + R(s) Y(s) s 2 s 2 K - 2 K R ( s ) Y ( s ) ( s ) 2 + + = = 例 ： 闭环传函为 s 2 s 2 K 0 2 特征方程为： + + = 特征根为：s1 = -1 + 1 − 2 K , s2 = -1 − 1 − 2 K 时 ，（开环极点） 设 从 ，则有 K 0 , s 0, 2 K= 1,2 = − 0 → K 0.5 时, s1，s2 为实数，且 K s1 ，s2 K 0.5 时, s1，s2 为复数，R e s = −1,且 K s1,2的虚部 - 2 0 × × j 1 s 2 s
由根轨迹图分析系统性能 1稳定性因为根轨迹全部位于左半S 平面,故闭环系统对所有的K>0都是 稳定的。 K=2.5 2暂态性能00.5时,特征根为共轭复根,欠阻尼 系统,响应为衰减振荡;可根据性能要 K=1 求设置闭环极点。 3.稳态性能开环传函有一个位于坐标K25 2 原点的极点→型系统→阶跃响应的稳态K→∞ 误差为0;闭环极点确定→K确定→其他 响应的稳态误差确定。 当特征方程>2阶时无法求解,如何绘制根轨迹图?
由根轨迹图分析系统性能: １.稳定性 因为根轨迹全部位于左半Ｓ 平面，故闭环系统对所有的Ｋ>0都是 稳定的。 ２.暂态性能 02阶时无法求解，如何绘制根轨迹图？
4-2.绘制根轨迹的基本依据和条件 特征方程为: R(S aG(S) Y(S) 1+G(sH(s)=0 即:G(s)H(s=-1 G(S)H(S)=I 幅值条件 ∠G()H(s)=±80°(2k+1),k=0,1,2, 相角条件 S 2 0 110 s平面 GH平面
特征方程为： 1+G(s)H(s)=0 即： G(s)H(s)= -1 相角条件 G( s )H( s ) = 1 4-2. 绘制根轨迹的基本依据和条件 G(s) H(s) - R(s) Y(s) G(s )H(s ) = 180( 2k + 1 ), k = 0，1，2， 幅值条件 -1 0 j GH平面 -2 0 × × j 1 s2 s s平面
零极点表达形式下的幅值条件和相角条件: n ∏6- G(s)H(s) :I =1,或K > g I IIs-ii) ∠G(SH(s)=∑∠(s-x)-∑∠-)=±180°(2k+1 k=0,l,2 ●相角条件及特征方程是绘制根轨迹的主要依据 幅值条件主要用于特征根s确定时求Kg
, n m (s z ) (s p ) 1 , K (s p ) K (s z ) G(s)H(s) m i 1 i n i 1 i n g i 1 i m i 1 g i − − = = − − = = = = = 或 k 0,1,2, G(s )H(s ) (s z ) (s p ) 180 ( 2k 1 ), n i 1 i m j 1 j = = − − − = + = = 零极点表达形式下的幅值条件和相角条件： ⚫ 相角条件及特征方程是绘制根轨迹的主要依据 ⚫ 幅值条件主要用于特征根 s 确定时求 Kg
幅值条件和相角条件的几何意义 例如,若S是根轨迹上的点,则s满足 ∠G(s)H(Sn) 0 =∠(-x,)∑∠(-p) p2 =B1-(a1+a2+ax3) =土80°(2k+1,k=0,l,2, Z p1 II(so-Pi K g 3 II(so i=l p3
180 ( 2k 1 ), k 0,1,2, ( ) ( s z ) ( s p ) G( s )H( s ) s s 1 1 2 3 3 i 1 0 1 0 i 0 0 0 0 = + = = − + + = − − − = = 例如，若 是根轨迹上的点，则 满 足 幅值条件和相角条件的几何意义 1 1 2 3 m i 1 0 i n i 1 0 i g b a a a (s z ) (s p ) K = − − = = = × p2 × p1 s0 × p3 O z1 1 1 3 2 1 a 2 a a3 1 b j
4-3.绘制根轨迹的基本规则 根轨迹的分支数 kI(s-ii 根轨迹的分支数=n,G(s)H(s)= 与开环极点数相同。 II(s-Pi) 二.根轨迹的对称性 特征方程的系数是实数,其特征根为实数或 共轭复数,因此根轨迹对称于实轴。 三.根轨迹的起点和终点 起点对应于Kn=0时的特征根位置, 终点则对应于K8→>时的特征根位置
4-3. 绘制根轨迹的基本规则 二．根轨迹的对称性 特征方程的系数是实数，其特征根为实数或 共轭复数，因此根轨迹对称于实轴。 三．根轨迹的起点和终点 起点对应于 时的特征根位置， 终点则对应于 时的特征根位置。 K 0 g = Kg → 一．根轨迹的分支数 根轨迹的分支数=n， 与开环极点数相同。 1 1 1 = − − − = = = ( s p ) K ( s z ) G( s )H( s ) n i i m i g i
特征方程可改写为 ICs-z g I(s-pi) Kg=0.1Kg=0 当Kn=0,必有S=P,即起点是开环极点;Kg 当K8→>,必有S=2,即开环零点是终点。 对于控制系统,一般n>m(有nm个无穷远处零点),所 以有m条根轨迹终止于m个开环零点,剩下的nm条根轨迹 将趋于无穷远处(终止于nm个无穷远处零点) 如前面的二阶系统,起点:0,-2,无零点,n=2,m=0, n-m=2,两条根轨迹→0 G(S)H(S) g (S+2)
g n i 1 i m i 1 i K 1 ( s p ) (s z ) = − − − = = 特征方程可改写为 当 ，必有 ，即起点是开环极点； 当 ，必有 ，即开环零点是终点。 K 0 g = Kg → pi s = i s = z 对于控制系统，一般n>m（有n-m个无穷远处零点），所 以有m条根轨迹终止于m个开环零点，剩下的n-m条根轨迹 将趋于无穷远处（终止于n-m个无穷远处零点） 。 如前面的二阶系统，起点：0，-2，无零点，n=2，m=0， n-m=2，两条根轨迹→∞ Kg=0 Kg=0 × × Kg ∞ Kg ∞ -1 jω σ Kg=0.5 -2 0 s(s ) K G(s)H(s) g + 2 =