吉祥第13章非正弦周期电流电路13. 1周期信号及其傅立叶级数分解13. 2非正弦周期信号的有效值平均值和平均功率花--13.3非正弦周期信号作用下的线性-电路分析酒森
第13章 非正弦周期电流电路 13.1 周期信号及其傅立叶级数分解 13.2 非正弦周期信号的有效值、 平均值和平均功率 13.3 非正弦周期信号作用下的线性 电路分析
13.1周期信号及其傅立叶级数分解周期信号00稻一酒00景
13.1 周期信号及其傅立叶级数分解 一、周期信号
周期信号的傅里叶级数若周期函数满足狄利赫利条件①周期函数极值点的数目为有限个1②间断点的数目为有限个；③在一个周期内绝对可积，即：T[1f(t)] dt <8R可展开成收敛的傅里叶级数注意一般电工里遇到的周期函数都能满足狄利赫利条件
13.2 周期函数分解为傅里叶级数 若周期函数满足狄利赫利条件： ①周期函数极值点的数目为有限个； ②间断点的数目为有限个； ③在一个周期内绝对可积，即： 可展开成收敛的傅里叶级数 注意 一般电工里遇到的周期函数都能满足狄 利赫利条件。 0 ( ) d T f t t 二、周期信号的傅里叶级数
周期函数展开成傅里叶级数：直流分量f(t) = A + Am cos(at +d)+基波+ A2m cos(2@t +Φ)二次谐波+ Am cos(not +d)（2倍频）nm福--高次谐波8f(t) = A + Am cos(kot +dkk=1
直流分量 基波 二次谐波 （2倍频） 高次谐波 ( ) cos( ) 1 0 1 = = + + k km k f t A A kt 周期函数展开成傅里叶级数： 0 1 1 1 2 1 2 1 ( ) cos( ) cos(2 ) cos( ) m m nm n f t A A t A t A n t = + + + + + + + + +
吉祥也可表示成：Am cos(ko, t+Φ) = a, cos ko, t+b, sin ko tkn8f(t)= a. + ZE[a, cosko t +b, sinkot]k-1系数之间的关系为：RO- =αo刺a+bsind5ak= Akm cosdk-60arctanak
( ) [ cos sin ] 1 1 0 1 f t a a k t b k t k k k = = + + 也可表示成： 系数之间的关系为： 0 0 2 2 cos sin arctan km k k k km k k km k k k k A a A a b a A b A b a = = + = = − − = 1 1 1 cos( ) cos sin A k t a k t b k t km k k k + = +
1111系数的计算：/111111111CTf(t)d t14aT11111111.2元f(t)cos(kat)d(o t)ak0元1I2元1bf(t)sin(kot)d(o t)R元J0求出Ao、ak、bk便可得到原函数 f(t)的展开式。R.111111111111111111111
求出A0、ak、bk便可得到原函数 f(t) 的展开式。 系数的计算： 0 0 0 2π 1 1 0 2π 1 1 0 1 ( )d 1 ( )cos( )d( ) π 1 ( )sin( )d( ) π T k k A a f t t T a f t k t t b f t k t t = = = =
13.2非正弦周期信号的有效值平均值和平均功率有效值非正弦周期量的有效值定义与正弦交流电有效值的定义完全相同：与非正弦周期量热效应相同的直流电的数值，称为该非正弦周期函数的有效值。实验和理论都可以证明：非正弦周期量的有效值：若i(t)= I。 + ZIkm cos(kot + pk)?酒k=1福12 +12 +1,2 +.福
13.2 非正弦周期信号的有效值、 平均值和平均功率 非正弦周期量的有效值定义与正弦交流电有效值 的定义完全相同：与非正弦周期量热效应相同的直流 电的数值，称为该非正弦周期函数的有效值。 实验和理论都可以证明：非正弦周期量的有效值： 2 2 2 0 1 2 = + + + I I I I 一、有效值 若 0 1 ( ) cos( ) km k k i t I I k t = = + +
I平均值78Z若1+i(t) = Iocos(kot +Pk)kmk=111福1其直流值为：i(ot)dt = I.其平均值为： J li(ot)]dt1正弦量的平均值为：11I111cos ot dt = 0.8981景avm1
二、平均值 0 0 1 ( ) T I i t dt I T 其直流值为： = = 若 其平均值为： = T av i t t T I 0 ( ) d 1 正弦量的平均值为： 0 1 ( ) cos( ) km k k i t I I k t = = + + 0 1 cos d 0.898 T av m I I t t I T = =
吉1三、平均功率非正弦周期量通过负载时也要消耗功率此功率与非正弦量的各次谐波有关。即：I1P=U.l。 +U,I, cos Q +U,I2 cos P21= P+P+P, +..1稻显然，只有同频率的正弦谐波电压和电流才能构成平均功率福招蒙.11
三、平均功率 非正弦周期量通过负载时也要消耗功率，此功率 与非正弦量的各次谐波有关。即： 0 0 1 1 1 2 2 2 0 1 2 P U I U I U I cos cos P P P = + + + = + + + 显然，只有同频率的正弦谐波电压和电流才能构 成平均功率
11吉祥11111I例：已知有源二端网络的端口电压和电流分别为u =[50 + 85 sin(ot + 30°) + 56.6 sin(2ot + 10°)Vi =[1 + 0.707 sin(t - 20°)+ 0.424 sin(2t + 50°)A11111-求电路所消耗的平均功率11111111超景85 x 0.70756.6 × 0.404P=50x1+cos(10°cos[30°- (-20°)1+50°22-1 + Pz=50+19.3+9.2= 78.5WPo+P1111111111E11I11111111/11111111111
例：已知有源二端网络的端口电压和电流分别为： [1 0.707 sin( 20 ) 0.424 sin(2 50 )A [50 85sin( 30 ) 56.6sin(2 10 )V = + − + + = + + + + i t t u t t 求电路所消耗的平均功率。 50 19.3 9.2 78.5W cos(10 50 ) 2 56.6 0.404 cos[30 ( 20 )] 2 85 0.707 50 1 = 0 + 1 + 2 = + + = − − − + = + P P P P