湖北广播电视大学 课件 线性代数第2章

《线性代数》习题辅导 同学们好，我是《线性代数》的责任教师段珍兰， 欢迎大家进入本课程的学习，《线性代数》是《经 济数学》12中的第二部分，也是数学专业的一门补 修课。大家在学习过程中有任何问题，都可以通过 QQ,或在国开学习网进入本课程，在课程论坛中提 出来进行交流，我将竭诚为大家答疑解惑，本学期 我一共安排了四次P课，主要是对大家学习中感到 困难的习题作一些辅导，希望对大家的学习有一定 的帮助。 段珍兰QQ:470739017,邮箱：470739017@qg.com 课程链接 http://hubei.ouchn.cn/course/view.php?id-284 &section=1

《线性代数》习题辅导 同学们好，我是《线性代数》的责任教师段珍兰， 欢迎大家进入本课程的学习，《线性代数》是《经 济数学》12中的第二部分，也是数学专业的一门补 修课。大家在学习过程中有任何问题，都可以通过 QQ，或在国开学习网进入本课程，在课程论坛中提 出来进行交流，我将竭诚为大家答疑解惑，本学期 我一共安排了四次IP课，主要是对大家学习中感到 困难的习题作一些辅导，希望对大家的学习有一定 的帮助。 段珍兰QQ：470739017，邮箱： 470739017@qq.com 课程链接 http://hubei.ouchn.cn/course/view.php?id=284 &section=1

第二章习题辅导 1.矩阵的概念； 2.矩阵的运算和性质； 3.矩阵的初等变换； 4.矩阵的秩； 5.逆矩阵； 6.分块矩阵

第二章习题辅导 1.矩阵的概念； 2.矩阵的运算和性质； 3.矩阵的初等变换； 4.矩阵的秩； 5.逆矩阵； 6.分块矩阵

1.计算下列乘积： -1 Amxp Bpxn =Cmzn (1)[123 4] 023 2-

1.计算下列乘积: （1）   1 0 1 2 3 4 2 3   −         （2）   2 3 1 1 2     −     − （3）   11 12 1 1 2 21 22 2 a a x x x a a x             A B C m p p n m n    =

解： 1 (1)[123 4 Am-p Bpn Cmon 1×(-1)+2×0+3×2+4×3=17 2- 装[3割

解： 1 1 2 0 3 2 4 3 17  − +  +  +  = （ ）  10 1 2 3 4 23   −   =       （ 1 ） （ 2 ）   2 3 1 1 2     − =     − 2 1 2 1 2 2 3 1 3 1 3 3 2 1 2 1 2 2       − −       − = −         −  −  − − （ ） （ ） （ ） A B C m p p n m n    =

(3儿sx[8[] [ss[8[] -a+a+a[] =(a11x1+a2x2）x1+(a12X1+a22x2)x2 =ax12+(a12+a21）xx2+a22x22

（3）   11 12 1 1 2 21 22 2 a a x x x a a x               1 11 1 21 2 12 1 22 2 2 x a x a x a x a x x   = + +       11 12 1 1 2 21 22 2 a a x x x a a x             = + + + （ ） （ ） a x a x x a x a x x 11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 2 2 = + + + a x a a x x a x 11 1 12 21 1 2 22 2 （ ）

2.AX=AY,A≠0，问能否确定X=Y?为什么？ 解：不能，因为AX=AY,则A(X-=0, AX=AX,A0,但X≠Y. 即使A0,X-Y也不一定为0， 即X不一定等于X例如： 1[3x] 88x--[2] x)[36][子多 [88

2.AX=AY, A≠0,问能否确定X=Y ?为什么？ 解：不能,因为AX=AY,则A(X-Y)=0, 即使A≠0, X-Y也不一定为0, 即X不一定等于Y. 2 4 2 4 3 6 1 2 0 0 2 4 , 0 0 1 2 A X Y X Y     − =         − − −     − − =         − ， = ， = 例如: AX=AY, A≠0,但XY. 2 4 2 4 3 6 1 2 0 0 0 0 A X Y     − − =         − − −   =     （ ）

3.证明：对于任意矩阵A,AAT恒有意义，且为对称矩阵 证明： 对称矩阵(AD”=A 设A是mXn阶矩阵， 则AT是n×m阶矩阵， AAT恒有意义，且是一 个m阶方阵. (AA)=(A)AT=AA 所以AAT为对称矩阵」

设A是m×n阶矩阵, 则AT是n×m阶矩阵, AAT恒有意义,且是一 个m阶方阵 . 3.证明:对于任意矩阵A, AAT恒有意义,且为对称矩阵. 证明: T T （ ） AA = T （ ）A A T T T = AA 所以AAT为对称矩阵. T 对称矩阵 （A A ） =

4.设矩阵4为3阶方阵，且4=3，求 解： A是阶方阵，则1k4仁k”A 灯[店] =314 =14 6432- 1 9 64

4.设矩阵A为3阶方阵,且|A|=3,求 2 1 . 2 A       解： 1 9 2 3 64 64 =  = 2 1 2 A   =     1 1 2 2 A A             1 3 2 [ ] 2 =（ ） A 1 6 2 2 =（ ） A | | n A n kA k A 是 阶方阵，则 =

5设矩阵A=1,2,3,B=1,1,1,求(4B)k 解： 1 BA=[1,1,1] 2 =1×1+1×2+1×3=6 3 (ATB)=(ATB)...(ATB) =(AT(BA)...(BAB) =(AT(BAT)K-1B)=AT6k-1B =6k-1ATB 1 =6- 2 2 3

5.设矩阵A=[1，2，3], B=[1，1，1], 求(ATB) k . =(ATB)(ATB) 解： 1 [1, 1, 1] 2 1 1 1 2 1 3 6 3 T BA   = =  +  +  =       (ATB) k =(AT(BAT)(BAT)B) =(AT(BAT) k-1B) =AT6 k-1B =6k-1ATB   1 1 6 2 1 1 1 3 k−   =       1 111 6 2 2 2 333 k−   =      

6.设n阶方阵AE,且A2=A,证明A不可逆 证明： 用反证法.假设A可逆， 因为A2=A,则A1A2=A=A1A=E, 即A=E,这与已知A≠E矛盾. 所以A不可逆

6.设n阶方阵A≠E,且A2=A,证明A不可逆. 证明： 用反证法. 因为A2=A,则A-1A2=A=A-1A=E, 即A=E,这与已知A≠E矛盾. 假设A可逆, 所以A不可逆