湖北广播电视大学 课件 线性代数第3章

《线性代数》习题辅导 同学们好，我是《线性代数》的责任教师段珍 兰，欢迎大家进入本课程的学习，《线性代数》 是《经济数学》12中的第二部分，也是数学专 业的一门补修课。大家在学习过程中有任何问 题，都可以通过QQ,或在国开学习网进入本课 程，在课程论坛中提出来进行交流，我将竭诚 为大家答疑解惑，本学期我一共安排了四次P 课，主要是对大家学习中感到困难的习题作一 些辅导，希望对大家的学习有一定的帮助。 段珍兰QQ:470739017,邮箱： 470739017@gq.com 课程链接 http://hubei.ouchn.cn/course/view.php?id= 284&section=1

《线性代数》习题辅导 同学们好，我是《线性代数》的责任教师段珍 兰，欢迎大家进入本课程的学习，《线性代数》 是《经济数学》12中的第二部分，也是数学专 业的一门补修课。大家在学习过程中有任何问 题，都可以通过QQ，或在国开学习网进入本课 程，在课程论坛中提出来进行交流，我将竭诚 为大家答疑解惑，本学期我一共安排了四次IP 课，主要是对大家学习中感到困难的习题作一 些辅导，希望对大家的学习有一定的帮助。 段珍兰QQ：470739017，邮箱： 470739017@qq.com 课程链接 http://hubei.ouchn.cn/course/view.php?id= 284&section=1

第三章习题辅导 1.n元线性方程组； 2.消元法； 3.线性方程组解的情 况判定

第三章习题辅导 1.n元线性方程组； 2.消元法； 3.线性方程组解的情 况判定

1.求的值，使矩阵 1 -1 2 A= 2 -1 5 的秩最小 10 -6 解：从矩阵A可看出其2阶子式 =21≠0，所以2≤R4)≤3 2片+ 2 10 6 0 -1-2入 0 10-2

1.求λ的值,使矩阵 1 1 2 2 1 5 1 10 6 1 A     −   = −       − 的秩最小. 解：从矩阵A可看出其2阶子式 2 1 21 0, 1 10 − =  所以 2R(A) 3 1 1 2 2 1 5 1 10 6 1     −   −     − 1 2 1 3 2r r r r − + − + → 1 1 2 0 1 2 2 1 0 10 5 1       −   − − +     − − − 2 3 r r + →

1 2 -1 2 0-1-2+212+ 010-元 -5-1 1 -1 2 0-1-2入 元+2 1 0 -3(入-3)入-3 0 =3时， 1 元 -1 2 0 -1-2%九+21 0-3(入-3) 元-30 「1 3-1 21 0-751 0000 非零行的行数为2，所以 R(4)=2.此时A的秩最小. /

1 1 2 0 1 2 2 1 0 3( 3) 3 0        −   − − +     − − − 1 1 2 0 1 2 2 1 0 10 5 1       −   − − +     − − − 2 3 r r + → λ=3时， 1 3 1 2 0 7 5 1 0 0 0 0   −   −     非零行的行数为2,所以 R(A)=2.此时A的秩最小. 1 1 2 0 1 2 2 1 0 3( 3) 3 0        −   − − + =     − − −

2.设A是n阶方阵，证明： (1)当R(4)=n时，R(A)=n; (2)当R(4)<-1时，R(4=0. 证明：（1)当R4)=n时， 则A可逆，且 即A*也可逆，R(A)=n. (2)当R(A)<n-1时，即 R(A)sn-2,可知A的任意 (-1)阶子式必为0，也就是 A*是零矩阵，所以R(A*)=O

2.设A是n阶方阵,证明: (1)当R(A)=n时,R(A* )=n; (2)当R(A)<n-1时, R(A* )=0. 证明：(1)当R(A)=n时, 则A可逆,且 1 1 | | A A A −  = 即A也可逆, R (A ) =n. (2)当R(A)<n-1时,即 R(A)n-2,可知A的任意 (n-1)阶子式必为0,也就是 A*是零矩阵,所以R(A*)=0

3.求解齐次线性方程组： x1+2x2+x3-x4=0 3x1+6x2-x3-3x4=0 5x1+10x2+x3-5x4=0 解：系数矩阵 「121 1 A= 3 6 1 5 10 1 5 「12 -3n+2> 00 -4 -55+3 L00 一4 0 「121-1 001 0 0000

3.求解齐次线性方程组： 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 0 3 6 3 0 5 10 5 0 x x x x x x x x x x x x  + + − =   + − − =   + + − = 解：系数矩阵 1 2 1 1 3 6 1 3 5 10 1 5 A   − = − −       − 1 2 1 3 3 5 r r r r − + ⎯⎯⎯→ − + 1 2 1 1 0 0 4 0 0 0 4 0   −   −     − 2 3 2 1 4 r r r − + − ⎯⎯⎯→ 1 2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0   −      

18 0 1 0 Too 100 2 00 ~o B所对应的方程组为 x1+2x2-x4=0 x3=0

1 2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0   −       2 1 ⎯⎯ ⎯→ − + r r 1 2 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 B   −   =     B所对应的方程组为 1 2 4 3 2 0 0 x x x x  + − =   =

B所对应的方程组为 x1+2x2-x4=0 (x3=0 设x2=C,x4=C (c1,c2为任意常数)，则有 x1=-2c+C2 x2=C1 x3=0 X4=C2 此解是方程组Bx=O的通解， 它也是方程组Ax=0的通解

2 1 4 2 x c x c = = , B所对应的方程组为 1 2 4 3 2 0 0 x x x x  + − =   = 设 (c1 ,c2为任意常数), 则有 1 1 2 2 1 3 4 2 2 0 x c c x c x x c  = − +  =  =   = 此解是方程组Bx=0的通解, 它也是方程组Ax=0的通解

4求解下列非齐次线性方程组： 4x1+2x2-x3=2 3x1-x2+2x3=10 11x1+3x2=8 解：增广矩阵 -1 B=【A:b]= 3 -1 30 8 3 B= 3 2 10 3 0 8 3 -3 -8 3 2 10 11 3 0

4.求解下列非齐次线性方程组： 1 2 3 1 2 3 1 2 4 2 2 3 2 10 11 3 8 x x x x x x x x  + − =   − + =   + = 解：增广矩阵   4 2 1 2 3 1 2 10 11 3 0 8 B A b   − = = −       4 2 1 2 3 1 2 10 11 3 0 8 B   − = −       1 2 r r − → 1 3 3 8 3 1 2 10 11 3 0 8   − −   −    

1 3 -3 87 3 20 10 -1+5 [1 3 -3 -8 0 -10 11 34 -32+5→> -30 33 96 [1 3 3 -87 0 -10 1134 0 0 0-6 R4)=2<RB)=3 原方程组无解

1 3 3 8 0 10 11 34 0 30 33 96   − −   −     − 1 3 3 8 3 1 2 10 11 3 0 8   − −   −     1 3 1 3 3 11 r r r r − + ⎯⎯⎯⎯→ − + 1 3 3 8 0 10 11 34 0 0 0 6   − −   −     − 3 2 3 ⎯⎯ ⎯→ − + r r R(A)=2<R(B)=3 原方程组无解