水力学辅导材料2： 一、第3章水动力学基础 【教学基本要求】 1、了解措还液体运动的拉格朗川法和欧拉法的内容和特点。 2、理解液体运动的基本概念，包括流线和迹线，元流和总流，过水断面、流量和断面 平均流速，一元流、二元流和三元流等。 3、掌握液体运动的分类和特征，即恒定流和非恒定流，均匀流和非均匀流，渐变流和 急变流 4、掌握并能应用恒定总流连续性方程。 5、掌握恒定总流的能量方程，理解恒定总流的能量方程和动能修下系数的物理意义， 了解能量方程的应用条件和注意事项，能熟练应用恒定总流能量方程进行计算。 6、理解测压管水头线、总水头线、水力坡度与测压管水头、流速水头、总水头和水头 损失的关系。 7、掌握恒定总流的动量方程及其应用条件和注意事项，掌握动量方程投影表达式和矢 量投影正负号的确定方法，会进行作用在总流上外力的分析。 8、能应用恒定总流的动量方程、能量方程和连续方程联合求解，解决工程实际问题。 【学习重点】 1、液体运动的分类和基本概念。 2、恒定总流的连续性方程、能量方程和动量方程及其应用是本章的重点，也是本课程 讨论工程水力学问题的基础。 3、恒定总流的连续性方程的形式及应用条件. 4、恒定总流能量方程的应用条件和注意事项，并会用能量方程进行水力计算。 5、能应用恒定总流的连续方程和能量方程联解进行水力计算。 6、掌握恒定总流动量方程的矢量形式和投影形式，掌握恒定总流动量方程的应用条件 和注意事项。重点注意和影响水体动量变化的作用力。 7、能应用恒定总流的连续方程、能量方程和动量方程进行水力计算 【内容提要和学习指导】 3.1概述 本章讨论液体运动的基本规律，建立恒定总流的基本方程一连续性方程、能量方程和 动量方程，作为解决工程实际问题的基础。山于实际液体流动时质点向存在着相对运动，因 而必须考虑液体的粘滞性，而液体运动要克服粘滞性，必然导致液体能量的损耗，这就是液
体运动的水头损失.关于水头损失放在第4章专门进行讨论。山于本章内容较多而且很重要， 侧上辅导分两次进行。第一次主要讨论描述液体运动的方法、液体运动的基本概念、运动的 分类和特征、恒定总流连续性方程和能量方程及其应用 3.2描述液体运动的拉格朗日方法和欧拉方法 (1)拉格朗日方法也称为质点系法，它是垠踪并研究每一个液体质点的运动情况，把 它们综合起来就能学握整个液体运动的规律。这种方法形象直观，物理概念清晰，但是对于 易流动（易变形）的液体，需要无穷多个方程能描述山无穷多个质点组成的液体的运动状 态，这在数学上难以做到，而月也没有必要。对于固体运动，特别是简化为恻体运动，虽然 刚体山无穷多个质点构成，但质点之间具有固定的位臀和距离，这时只需要研究州体上两个 质点的运动藏可以反映州体的运动状态，所以拉格朗川法在周体力学中较多应用。 (2)欧拉法：液体流动所占据的空间称为流场。在水力学中，我们只关心不同的液体 质点在通过流场中固定位置时的运动状态。例如河道某断面处，不同时间的水位、流量和流 速：管道中某处的流速和压强等。我们并不关心这个液体质点是怎么来的，下一步又流到哪 甲去。把某辉时通过流场各个固定点的液体质点运动状态综合起来，就能反映液体在某个时 刻流场内的运动状况。这种措述液体运动的方法称为欧拉法，也称为流场法，这是水力学中 常用的方法。这种方法物理意义不如拉格朗山法直观，因为欧拉法研究的对象是随时间而变 的，但是对我们研究流场的运动状况较为方便。 3.3液体运动分类和基本概念 (1)恒定流和非恒定流 流场中液体质点通过空间点时所有的运动要素都不随时间而变化的流动称为恒定流：反 之，只要有一个运动要素随时间而变化，就是非恒定流。非恒定流的流速、压强等运动要素 是时间的函数，山于描述液体运动的变量增加，使得水流运动分析史加复杂和困难。茧然自 然界的水流绝大部分是非恒定流，但在一定条件下，常将非恒定流简化为恒定流进行讨论。 本课程主要讨论恒定流运动 (2)迹线和流线 迹线是液体质点运动的轨迹，它是某一个质点不同时刻在空间位置的连线，迹线必定与 时间有关。迹线是拉格朗山法描述液体运动的图线。 流线是某一阙间在流场中回出的一条曲线，这个时刻位于曲线上各点的质点的流速方向 与该曲线相切。流线是从欧拉法引出的，也是我们要重点理解的概念。对于恒定流，流线的 形状不随时间而变化，这时流线与迹线五相重合：对于非恒定流，流线形状随时间而改变， 这时流线与迹线一般不币合。 流线有两个重要的性质，即流线不能相交，也不能转折，否则交点（或转折）处的质点 就有两个流速方向，这与流线的定义相矛盾。也可以说某瞬时通过流场中的任一点只能画
条流线。 流线的形状和疏索反映了某瓣时流场内液体的流速大小和方向，流线密的地方表示流速 大，流线琉处表示流速小， (3)元流、总流和过水断面 元流是横断面积无限小的流束，它的表面是山流线组成的流管。山无数个元流组成的宏 观水流称为总流 与元流或总流的所有流线正交的横断面称为过水断面。过水断面的形状可以是平面（当 流线是平行的直线时)或曲面（流线为其它形状）。 单位时间内流过某一过水断面的液体体积称为流量，流量用Q表示，单位为(ms)。 引入元流概念的目的有两个：1)、元流的横断面积d4无限小，因此d4面积上各点的 运动要素（点流速“和压强）都可以当作常数：2)一、元流作为基本无限小单位，通过积分 运算可求得总流的运动要素。元流的流量为dO-d4,则通过总流过水断面的流量Q为 Q=∫dQ=JAd4 (3一1) (4)断面平均流速 一般情况下组成总流的各个元流过水断面上的点流速是不相等的，而月有时流速分布很 复杂。为了简化问题的讨论，我们引入了断面半均流速v的概念。这是恒定总流分析方法的 基础，也称为一元流动分析法，即认为液体的运动要素只是一个空向坐标（流程坐标）的函 数。断面半均流速v等于通过总流过水断面的流量Q除以过水断面的面积A,即V=QA, (5)均匀流与非均匀流 流线是相互平行的直线的流动称为均匀流。这甲要满足两个条件，即流线既要相互平行， 又必须是直线，其中有一个条件不能满足，这个流动就是非均匀流。均匀流的概念也可以表 述为液体的流速大小和方向沿空间流程不变。 流动的恒定、非恒定是相对时间而言，均匀、非均匀是相对空间而言：恒定流可是均匀 流，也可以是非均匀流，非恒定流也是如此，但是明渠非恒定均匀流是不可能存在的，请江 意区分。 均匀流具有下列特征：1)过水断面为平面，月形状和大小沿程不变：2)同一条流线上 各点的流速相同，因此各过水断面上半均流速v相等：3)同一过水断面上各点的测压管水 头为常数（即动水压强分布与静水压强分布规律相同，具有产艺-©的关系）。 (6)一维流、二维流与三维流 根据水流运动要素与空间坐标有关的个数，我们把水流运动分为一维流、二维流与三维 流。严格地说自然界的实际水流都是三维流，但是为了简化分析过程，引入断面平均流速后， 把许多问题转化为一维流动来讨论，这是重要的处理方法。 (7)渐变流与总变流 3
根据流线的不平行和弯曲程度，我们把非均匀流又分为两类：流线个平行但流线间夹角 较小，或者流线弯曲但弯曲程度较小（即曲率半径较大），这种流动称为非均匀渐变流，简 称渐变流：反之则称为急变流.我们可以证明渐变流同一个过水断面上的测压管水头(zpr) 近似当作常数，这一点在讨论恒定总流能量方程时要应用到。对于急变流，同一过水断面上 各点的zpr≠c。 自然界的实际水流绝大多数是非均匀流，把非均匀流区分为渐变流和急变流是为了简化 对非均匀流渐变流的讨论。 3.4恒定总流的连续性方程 根据质量守恒定律可以导出没有分叉的不可压缩液体一维恒定总流任意两个过水断面 的连续性方程有下列形式。 Q=02或v4=v (3-2) 业-4 A (3—3) 上式说明：任意两个过水断面的平均流速与过水断面的面积成反比。 对于有分叉的恒定总流，连续性方程可以表示为： ∑Q=∑Q (3-4) 连续性方程是一个运动学方程，它没有涉及作用力的关系，通常应用连续方程米计算某 一己知过水断面的面积和断面半均流速或者已知流速求流量，它是水力学中三个最基本的方 程之一 3.5恒定总流的能量方程 (1)恒定元流的能量方程： 根据物理学动能定理或牛顿第二定律，可以导出恒定元流的两个过水新面之间的能量关 系式为 L+h (3-5) 式中：：是相对某个基准面单位重量液体具有的位能，称为位胥水头： 卫是单位重量液体具 有的压能，称为压强水头：(z+)是单位重量液体具有的位能和压能之和，称为总势能 或测压管水头：复表示单位重量液体具有的动能，称为流速水头：方，表示单位重量液体 从1断面流到2断面克服山液体粘滞性引起的阻力而损失的能量，称为水头损失 式(3一5)表示水流在流动过程中，单位重量液体具有的位能、压能和动能的相互钻换 和守恒关系。理想液体不存在粘滞性，所以理想液体流动中水头损失0，表示液体机械 能的守恒。但实际水流都有粘滞性，因此方≠0，说明水流沿流动方向机械能总是在减少 的。 应用毕托管测某点的流速，其理论依据就是恒定元流的能量方程，可以参见教材第73
页的分析。 (2)恒定总流的能量方程 将恒定元流能量方程沿总流的2个过水新面进行积分，并用引入过水新面处水流是均的 流或者渐变流的条件，就可得到恒定总流的能量方程（称为伯努利方程） ++=+++h (36) 2g 2g 请注意：积分过程中用到均匀流和渐变流条件，表明同一过流断面上各点的测压管水头具有 (z+卫)=℃的性质：用断面平均流速V替代过水新面上的实际流速，计算单位重量液体其 有的动能并不相等，因此就必须引进动能修正系数·，使得 2。污成表示为a= (3-7) A 在式(3一6)中，表示过水新面上单位重量液体具有的平均动能，同样表示单位重量 液体从1新面流到2断面平均的水头损失。 恒定总流能量方程是水力学的二个基本方程之一，是最重婴最常用的基本方程，它与连 续方程联合求解可以计算断面上的平均流速或平均压强，它们与后面讨论的恒定总流动量方 程联解，可以计算水流对边界的作用力，在确定定筑物荷载和水力机械功能转换中丨分有用。 (3)恒定总流能量方程的图示，水头线和水力坡度 恒定总流能量方程各项的量纲都是长度量，因此可以用比例线段表示位置水头、压强水 头、流速水头的大小。各断面的位肾水头、测压管水头和总水头端点的连线分别称为位骨水 头线、测压管水头线和总水头线。 位置水头线与测压管水头线、测压管水头线与总水头线之间的距离分别表示该过水断面 上各点的平均压强水头和平均流速水头。所以画出水流的水头线可以清楚地反映沿流程各个 断面上位能、压能和动能的变化关系，它在分析有压管道各个断面的压强变化分重要。 假如水流从1断面流到2断面的平均水头损失为，流程长度为，则将单位长度上的 水头损失定义为水力坡度J,它也表示总水头线的斜率： J=2 (3-8) J是没有单位的纯数，也称为无量纲数。根据水头线表示的能量转换关系，恒定总流能 量方程的几何意义可以这样来描述：对于理想液体(-0)，总水头线是一条水半线：对于 实际液体(>0),总水头线总是一条下降的曲线或直线，它下降的数值等于两个过水断面 之间水流的水头损失。 请注意：测压管水头线不一定是下降的曲线，需要山位能与压能的相五转换情况来确定 其形状。对于均匀流，流速水头沿程不变，总水头线与测压管水头是相互半行的直线。 (4)应用恒定总流能量方程的条件和注意事项 5
在推导恒定总流能量方程的过程中曾经引入过一些条件，这些条件限制了恒定总流能量 方程的使用范围，同时在应用能量方程解决工程实际问题时还必须处理好一些具体事项，现 归纳说明如下。 1)恒定总流能量方程的应用条件 a)液体流动必须是恒定流，而月是不可压缩液体(P=常数)： b)作用在液体上的质量力只有重力： ©)建立能量方程的两个过水断面都必须位于均匀流或渐变流段，但该两个断面之间 的某些流动可以是急变流。 )在推导能量方程的过程中，两个计算断面之间没有流量的汇入或流出。果有流 量的汇入或分流，也可以建立相应的能量方程式，参见书上第80页。这时必须强调能量方 程的两侧都是单位玉量液体具有的能量，但确定相应的水头损失非常因难。 2)应用恒定总流能量方程需要注意的具体问题 )为了计算能量方程中的位骨水头，必须确定基准面。基准面可以任意选择，但尽 可能使所选的基准面能简化能量方程，便于求解。例如所选基准面使：=0，这样能量方程 项数减少。还必须强调，同一个能量方程只能选择同一个基准，杏则能量方程就不能成立。 b)计算压强水头卫，既可选择绝对压强也可选用相对压强，但两个断面必须选用 致。实际工程计算中一般采用相对压强史为方便。 )因为渐变流过水断面上各点的(：+马值相等，在过水断面上要选好计算点，便 于计算测压管水头(：+已)。对于管流，计算点通常取在管轴线上：对明柒水流，计算点 取在自山表面上，这甲的相对压强为零，所以(：+是)一：。 )选取过水断面除了满足渐变流条件外，还应使所选断面上未知量仪可能少，这样 可以简化能量方程的求解过程。 )求解能量方程必须确定动能修正系数a,:值与断面流速分布有关，流速分布越 均匀，a值趋向于1，断面流速分布不同，a值也不同。严格地讲两个断面上的a1与a:是 不相等的，但是实际工程中的动能修正系数大多在1.05-1.10之间，一般可以取a=a= 计算。对于流速分布相当不均匀的水流（例如层流运动），动能修正系数远大于1，这将在 第4章讨论 )能量方程中水头损失是分重要又非常复杂的一项，不能下确地计算液体流动 的h,能量方程难以解决实际问题。关于h的讨论和计算也将在第四章专门讨论。 g)当一个问题中有2~3个未知数的时候，能量方程需要和连续方程、动量方程组成方 程组联合求解。 3.6恒定总流动量方程 恒定总流动量方程是动量定理在液体流动中的表达式，它反映水流动量变化与作用力之 6
间的关系。 恒定总流动量方程主要用于求解水流与固体边界之间的相互作用力，如水流对弯管的作 用力，水流作用在闸门和建筑物上的动水压力以及射流的冲击力等 (1)恒定总流动量方程 根据动量定理可导出恒定总流的动量方程式为 ΣF=pgP22-月o (3-9》 恒定总流动量方程的物理意义表明：单位时间内流出控制体与流入控制体的水体动量之 差等于作用在控制体内水体上的合外力 恒定总流的动量方程是个矢量方程，把动量方程沿二个坐标轴投影，即得到投影形式的 动量方程： EF=p0 (B:Va-B1V) ∑F=p0(B,V-B1V,) (3—10) ∑F=PQ(B,V-B1V) 式中：∑F、∑F、∑F,是作用在控制体上所有外力的合力沿x,y,:轴方向的分量： v、v、、Va、v、,分别是控制体进出口断面上的平均流速在x、y、z轴上的分量： B、B,为进出口断面处的动量修正系数，已知断面上的点流速u分布规律时，可以按下式 计纹 B-auda v24 (311】 B值一般约为1.02~1.05，通常取B1-B2-1.0计算 (2)恒定总流动量方程的应用条件和注意事项 )水流是恒定流，并月控制体的进出口断面都是渐变流，但两个断面之间可以是怎 变流。这与恒定总流能量方程的条件相同，这样在应用能量方程和动量方程进行联解时不会 出现适用范围的不一致。 b)动量方程是矢量方程，方程中的流速和作用力都具有方向的。因此，应用动量方 程解题必须建立坐标系。坐标系可以任意选择，但所选的坐标系应使流速和作用力的投影分 量越少越好，这样可以减少方程中的未知数。还必须注意，当流速或者作用力的投影分量与 坐标方向一致时，则为正值，否则应为负值。这一点在解题中经常容易发生错误，学员应特 别注意。 ©)动量方程式的右端应该是流出液体的动量减去流入液体的动量。 )∑F包括作用在控制体上的全部外力，不能遗漏，也不能多选，这也是解题中常 会发生错误的地方。 外力通常包括重力（质量力）、压力和周田固体边界对水体的反作用力。求水流与固体 边界之间的作用力是应用动量方程解题的主要任务，当所求的力的方向不能事先确定时，可 7
以先假设其方向进行求解。如果求出该力为正值，表示假设方向正确：杏则表示该力的实际 作用方向与假设方向相反 )动量方程只能求解一个未知数，如果方程中的未知数多于1个，必须与连续方程、 能量方程联合求解。 D对于有分的管道，动量方程的矢量形式为 ΣF=Σ(p0pvi出-(pOw点入 (3-12) 【思考题】 3一1描述液体运动有哪两种方法？两种方法有什么区别？ 3一2什么是流线和迹线？流线具有什么性质？ 3一3什么是过水断面和断面平均流速？为何要引入断面平均流速？ 3一4叙述流动的分类和其特征？ 3一5有人说“均匀流一定是恒定流，急变流一定是非恒定流”，这种说法是杏正确？为 什么？ 3一6动水压强与静水压强有什么不同？在推导恒定总流能量方程时，为什么过流断面 必须位于渐变流段？ 3一7在使用能量方程时应注意哪些问题？ 3一8应用能量方程判断下列说法是杏正确：(1)术一定从高处向低处流动：(2)水 定从压强大的地方向压强小的地方流动：(3)水总是从流速大的地方向流速小的地方流动？ 3一9什么是水头线和水力坡度？总水头线、测压管水头线和位胃水头线二者有什么关 系？沿程变化特征是什么？ 3一10建立动量方程有哪些条件？应用时要注意哪些问题？ 3一1建立动量方程时何建立坐标可以简化计算过程？ 3一12为什么边界对水流的作用力方向可以任意假设？ 【解题指导】 思3一5提示：流动均匀与杏是对于空间分布而言，流动恒定与杏是相对时间而言，这 是判别流动的两个不同标准。因此，这种说法是错误的。 思36解答：静水压强具有下列特性：即静水液体内任何点的(y)=常数。而动 水压强只在一定条件下才具有这个特性，即在均匀流过水断面上的各点其(+py)=常数。 对于渐变流，可以近似将(y)=常数，这在推导能量方程时，可以将它作为常数提出积 分号外，使积分运算变的1分简便。 思38提示：三种说法均是不正确的。山于水流在流动过程中总有能量损失，因此水
流只能从能量大的地方流向能量小的地方，而位置的高低、压强的大小、流速的大小不是确 定液体流动方向的依据。 例题3一1请参阅教材上的例3一2至3—9， 例题3一2如图所示木泉管路系统，已知：流量Q=101mh,管径本150mmm,管路的总水 头损失h12=25.4m水泵效率n=75.5%,试求： &中02 (1)水东的扬程， (2)水梨的功率N 解： ()计算水东的扬程。 以吸水池水面为基准写1-1,2-2新面的能量方程 0+0+0+Hp=102+0-0+ha H,=102+h1-3=102+25.4-127.4n (2)计算水泉的功率N, N=.980x1o3600x1274.464K 0.755 此题主要说明在水流中有能量输入或输出时能量方程的应用。山于水梨是输给水流 能量，因此H,前取正号，这样才能与2-2断面的能量相等。同时要搞清楚水泉扬程， 概念，Hp-z+hxl2 (1)图示一河倒虹吸管，正方形断面面积A=0.64m2,长50m,两个30°折角 进口和出口的局部水头损失系数分别为310.2,2-0.5,31.0，沿程水力摩擦系数》 =-0.024,上下游水位差3m.求通过的流量Q 解： R=-02m,∑5=1.9 .v=4.16ms,==2.662m3/s 例题3一3有一个水半放置的弯管，直径从d山=30cm渐变到=20cm,转角8=60° 如图所示。已知弯管1一1断面的Ψ均动水压强p1=35000N/m2,断面2一2的Ψ均动水压强 为P2=25840Nm2,通过弯管的流量Q=150Ls。求水流对弯管的作用力。 9
解：根据题意要求水流对弯管的作用力，应该用动量方程进行求解。 入X2 -X R 、R (1)取弯管的1一1与2一2断面之间的水体作为睨离体（如图）。断面1一1和2一2两 过水断面的动水压力可以按静水总压力的公式计算。 (2)分析作用在脱离体上的外力： 断面11和2-2上的动水总压力分别为P与P2, P1-P1A1, P2-p2A2. 管壁对水流作用力R,它实际上是水流对管壁作用力R'的反作用力，二者大小大小相 等，方向相反，这一作用力R'包括水流对管壁的动水总压力与水流对管壁表面作用的摩擦 阻力，如果求出作用力尺，也就求得了水流对管壁的总作用力R'。为了计算方便，将作用 力R分解为x和y方向上的两个分量Rx和R,Rx和Ry的方向可以任意假设，如果计算 结果为正值，说明假设方向是正确的，若为负值，说明假设方向与实际作用力方向相反 重力（脱离体内水体自重）垂直于水平面，对弯管水流运动没有影响。 (3)建立x轴与y轴方向的动量方程，所取坐标系如图所示。取动量修正系刻 B1*P2≈P=1.0。 沿x轴方向写动量方程，得 pQB(v,cos60°-y,)=R-Pcos60°-R 4=号=00=212.3cm/s=2.12m/s 2=号=9=477.7cm/s=4.78m/s R=P14=35000×34=2472.8N P,=P,4=25840×42=811.4N R.=R-Pcos60°-p0(v,cos60°-y) =2472.8-811.4×号-1.0×1000×0.15(4.78×5-2.12) =2472.8-405.7-40.5=2026.5N(假设方向正确) 沿y轴方向写动量方程得 sin60°-R,=fp2(-vsin60°-0)