线性定常系统典范分解方法与评注

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1988.02.031 北京钢铁学院学报 嘴0卷第2期 Journal of Beijing University Vol,10 No.2 1能8年4月 of Iron and Steel Technology Apr.1988 线性定常系统典范分解方法与评注 董木森 《自控教研室) 摘 要 线性定常系统的状态空间可按能控性。能观测性进行分解。针对现有文献给出 的典范分解形式不尽相同，本文整理推导出种分解方法，这些方法能给出统一的 典范分解式，举例说明它们其体实施分解的步漆，并对若干问题作出简短的评 注。 关键词：线性定常系统，能控性，能观测性，典范分解 Methods and Comments of Linear Constant System Canonical Decomposition Dong Musen Abstract It is known that the state space for time-invariant linear system can be decomposed into different canonical forms with regard to its con- trollability and observability.In this paper proposes four decomposition methods which leads the state space up to an unit and casy-calculated canonical form,and also give an example to show how to use the me- thods and some comments on some problems related to. Key words:linear system,controllablity,observability,canonical decomposition 1987一04-28收稿 209

卷第 期 年 月 北 京 钢 铁 学 院 学 报 。 。 。 滋命 袄与 ‘ 内 目巨， ， ，曰 目卜目喇目 山， 网曲叫 一 一 一 巨份吧 ， 一一 一 叭一 一 一一一 一 一一 ，一 网 线性定常系统典范分解方法与评注 董木森 自控教研室 》 摘 要 线性定常系统的状态空间可按能控性 能观测性进行分解 针对现有文献给出 的典范分解形式不尽相同 ， 本文整理推导出 种分解方法 ， 这些方法能给出统一的 典范分解式 ， 举例说明它们具体实施分解的步骤 ， 并对若干 问题作 出 简 短 的 评 注 。 关锐词 线性定常系统 ， 能控性 ， 能观测性 ， 典范分解 ” 夕 卜 一 一 ， 权 ， ， ， 一 一 收稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1988．02．031

前 言 把线性系统的状态空间按能控性、能观测性进行结构分解是状态空间分析中一个十 分重要的内容，在理论上它揭示了系统状态空间的基本特性：一般情况下，它由4个不同 的子空间所组成，系统的传递函数阵仅反映系统能控能观测子空间的特性，这为系统内在 特性的分析和最小实现的提出，提供了理论依据。在工程上它与系统的状态反馈、系统 的镇定等问题都有密切的关系。 对于一个不完全能控和不完全能观测的线性系统，已经证明：经过适当的坐标变换 能将它分解成“典范形式”1~3)，但在具体实施分解时，据现有各文献指出方法所 得结果在形式上却各不相同，且在某些方面尚存在一些困难。为此，本文整理总结出定 常线性系统典范分解的4种方法。 1 典范分解的方法 给定不完全能控和不完全能观测的系统为 x=Ax+Bu (1) y=Cx 其中：xERn,u∈Rx,y∈Rm1 A∈Rnxn,B∈Rnxr,C∈Rmxn 则一定存在非奇异的坐标变换阵T∈R、“,使得在作变换x=Tx后，有C1) ￥=A￥+Bu (2) y=Cx 其中： A11 0 0 0 0 d= A31 A32 0 0 B= B: C=〔C:C200〕 A31 0 A33 0 0 A: A3在，A4 B2 A1、A2、A,a、A44的特征值分别为系统(C,A,B)的不能控能观测、能控能观 测、不能控不能观测、能控不能观测因子。 方法1〔4) 若系统（1)矩阵A具有m个不同的特征值入、2、…m,则存在坐标变换阵T, 使得当作变换x=Tx后，得 210

毛‘ 一‘ 月 舌 把线性系统 的状态空 间按能控 性 、 能观测性进行结 构分解是状态空 间分析 中一个十 分重要的 内容 ， 在理论上它揭示了系统状态空 间的基本特性 一般 情况下 ， 它 由 个不 同 的 子空 间所组成 ，系统 的传递 函数阵仅反映系统能控能观测 子空 间的特性 。 这为 系统 内在 特性 的分析和最小实现的提 出 ， 提 供 了理论依据 。 在工程上它与系 雏的状态反馈 、 系统 的镇定等 问题都有密 切约 关系 。 、 一 ‘ · ， 对 于一 个不完全 能控 和 不 完全能观测 的线性 系统 ， 已经证明 经 过适当的坐标 变换 能将它分解 成 “ 典范形式” 〔 ‘ 一 〕 ， 但在具体实施 分解时 ， 据现有各文献 指 出 方 法 所 得 结果在 形式 上却 各不相 同 ， 且在某些 方面尚存在一些 困难 。 为此 ， 本文整理 总结出定 常线性 系统 典范 分解 的 种方法 。 典范分解的方法 给定不完 全 能控和 不完 全 能观测 的 系统为 了妥 二 月 二 飞 一 二 其 中 〔 ‘ ’ ， 〔 “ 又 ” ， “ 〔 “ ， 〔 “ 〔 火 ， 〔 ‘ ” 则 一 定存在非 奇 异 的坐标 变换 阵犷‘ ” “ ’ ， 使得在作 变换万 护汾后 ， 有 山 ︸ 林 ︹ ︵ 了 义 、声气了 、 其 中 几及 一 ︸ ， 月 ， 月 己一 己 成 。 〕 月 一一 、 月 、 、 且 ， 的 特征值分别 为系统 ， 测 、 不能控不 能观测 、 能控不 能观测 因子 。 方法 〔 〕 若系统 矩 阵 具有 个不 同 的特征 值只 ，、 使 得 当作 变换 二后 ， 得 搜 ， 的不能控 能观测 、 能控能观 只 、 … 六 ， 则 存在坐标 变换 阵

y-Cx 其中： 0 众= 4- 0 Am 月1 B- B1- Bis B= 62 6 i c=cC,c2…C),C=〔仑.Cc:a,〕 C1,=CCC2…Cii〕 i=1,2,,m,j=1,2,,r(i),AiER 这里A:表示所有与特征值入：相关的！ordan块，r(i)是A:中Jordan块的数目，A1, 是A1中第j个Jordan块，而B:j,C:是与之相应的分块矩阵。个是由矩阵A相应于特 征值入1、入2、…入的线性无关的特征向量和广义特征量作为列，按适当的顺序排列起 来所构成的n×n矩阵。 至此，则可对每一三元组(C:,A:,B:,）依据有关判据判断各状态变量组在状 态空间中的属性。如需要，还可对其中某个（些）三元组进行更进一步的变换与判断。 从而得出每个状态变量的属性，并将它们归并到相应的子空间，最后即完成对系统(1) 的典范分解。此时所得是典范分解式(2)的一个特例： A21=A1=A41=A42=A4s=0。 方法2 此法基于下述两点结论： (1)如果系统(C、A、B)是不完全能观测的，则存在非奇异的坐标变换阵 T·,作变换名=T°x能使得系统具有如下形式 r =A花+B0u y=Cox 211

八 、 、 洲内 、 洲、 勺 洲、 二 其中 戈 久， 久 久 一 八 、 了 、盆卫 ‘从 一 击八、 ︿月 八 方 凡︿入 一 ︿ 凡︿ · 凡八 ，厅卫‘厂、 ‘厄，、 ︿ · ︿ 〔 ” · 〕 〔 … 〕 、声 〔 一 ，… ， ， ’ 二 ， ， ， … ， 艾 这 里 ，表示所有与特征值久 相关 的 块 ， 是 中 块的 数 目 ， 是刁 中第 个 块 ， 而 ， 是与之相应 的 分块矩阵 。 征值久 、 只 、 …只 的线性无关的特征向量和广 义特征量 作为 列 来所构成的 火 矩阵 。 是 由矩阵 相 应 于特 按 适当的顺序排列起 至此 ， 则可对每一三元组 ， ， 月 ，， 依据有关判 据判 断 各状态变量组在状 态空 间中的 属性 。 如需要 ， 还可对其 中某个 些 三元组进行更进 一步的 变换与判 断 。 从而得 出每 个状态变量 的属性 ，并将它们 归并到相应的子空 间 ，最后 即完成对系统 的典范分解 。 此时所得 是典范分解式 的一 个特例 ， ‘ 月 ‘ 二 。 方法 此法基于下述两 点结论 如果系统 、 、 是不完 全能观测 的 ， 则存在非奇异 的 坐 标 变 换 阵 “ ， 作变换 、 劣 ” 能使得 系统具有 如下 形式 、 二 二 。 、 劣 劣

其中： A011 0 }99 B°1) ga A0= B0= (A°21A°22J in-ga B in-ga gp n-ga Co=〔C0〕}m ga n-gp qa=rank〔C'A'C'…(An-1'C)' T的构造方法：从系统的能观测性矩阵中选取q个独立的行向量，令其为μ1、2 μ，再选n-gB个行向量μg+,μ，使μ1，μ2…μ。为Rxn的一组基底，令 T0=〔μ'1…μ'a)'即可。 (2)如果系统(C,,B)是不完全能控的，则存在非异坐标变换阵T,使得在 作坐标变换x=Tx后，系统有如下形式 ￥=Aex+Bu ly✉Cx 其中 Ai1 0）}n-qa 0n-ga A5= B:= tA549。 NB}qa n-ga ga C=〔C:C〕}m n-ga qa g。=rank (B 4 B(A)-B〕 T的构成方法：从系统的能控性矩阵中选取q。个独立的列向量，令其为V。:, Va-1,…,V1,再选n-9a个列向量Vn,Va-1,…Vaa+1,使得Vn,…V为Rax的一 组基底，令Te=〔Va,…V:〕1即可。 用方法2进行典范分解的步骤是：首先将待分解系统按能观测性分解，然后将每一 部分按能控性分解，最后即得所要求的典范分解式。 方法3 212

其 中 ， “ 、 一 尸 夕 、 ，， 声 一 刀 一 口 …” 一 ， “ ” ’ ’ ‘ 。 一 呈 …全 一 ， 〔 昙‘ 尸 尸 刀 〕 ， 炸一 刀 ， 己 〔 ， ， ， … 一 ‘ ‘ ， 〕 ， ” 的 构造方 汇 从系统 的能观测 性矩 阵中选取 口个独立的行 向量 ， 令其为 林 、 协 … 卜，，， 再选 一 ， 个行向量 林 ， ， ， … 件 ， 使 “ ，， 林 … 林 。 为 ‘ ” 的 一 组 基 底 ， 令 “ 〔 协， … … 卜， 。 〕 尹 即可 。 如 果系统 ， ， 是 不完全能控的 ， 则 存在非异坐标变换阵 “ ， 使得在 作坐 际变换 “ 二后 ， 系统 有如 下形式 戈 “ 沼 人 二卜 其 中 ，‘ 一 全 一 。 、 一 。 孟、 、 产 副 炸 一 孟 一 户 曰 “ 。 、 卫 “ 〔 全 盆〕 二 粗 一 。 二 〔 一 、 八、 ” 一 〕 ‘ 的构成方法 从系统 的能控性矩 阵 中选取 。 个独立 的 列 向 量 ， 令 其 为犷。 。 ， 。 口 一 ， 一 ， 犷 ， 再选 一 。 个列 向量 犷 ， 。 一 ， … 犷 ， 。 、 ， 使得 厂 。 ， 一 犷， 为 ” ‘ ” 的一 组基底 ， 令 “ 〔 犷 。 ， 一厂 〕 一 ‘ 即可 。 用 方法 进行典范分解 的步骤 是 首先将 待分解系统 按能观测性 分解 ， 然后 将每 一 部分按能控性分解 ， 最后 即得所 要求 的典范分解式 。 方法

此法也是分两步进行：首先将待分解系统按能观测性分解，得(C°，A°，B), 然后令 （A)-1B0) Q: 〔BAB0… 其中Q。=〔B:AB(A)-B〕 R 选取非异矩阵T∈Rn×", P 0 Q: 0 R: 它能使得有T 号年年 0 P2 R2 则T便能将(C°，A°，B9)变换成所需的典范分解式。 方法4C1) 此法是寻找出坐标变换阵T,对给定系统(C,A,B)进行一次坐标变换得出所需 的典范分解式。T是通过如下方法得到的。 令U=〔BAB…A-B〕V=〔CA'C…(An-1)'C')' 设rank U=qa<n, rank V=q8<n rank VU=g 选取(qB-qa)×mn的矩阵P1,并使之满足 P,VU=0且rank P,V=qa-g 令t1=P1V 选？×mn的矩阵P2,使之满足 (PiV rank =98 令 t2 PaV P2Vi 选(n-qa-q。+g)×m矩阵t3,使之满足 t. t3U=0, rank =n-ga 最后选（q。-q)×mn矩阵t4,使得 t h t2 f2 rank 则T= 就是所需的变换阵。 213

此法 也是 分两步进行 首先将待分解系统按能观测 性分解 ， 得 。 ， 。 ， “ 然后令 八 三卜 〔 ” 。 ” 一 ‘ 。 〕 “ 川 其 中 。 二 〔 全 卜 翌 一 ‘ 冲 。 少 选取非异矩 阵 〔 ” ‘ ” ， 尸 尸 尸 。 “ … ‘ 它 能使得有 犷 一 “ 气左 杖 则 便能将 。 ， “ ， 。 变换成所需的 典范 分解式 。 方法 〕 此法是 寻找 出坐标变换阵少 ， 对给定系统 ， 月 ， 进行一次坐标变换得 出所需 的典范分解式 。 于是通过如下方法得到 的 。 令 二 〔 … 一 ‘ 〕 犷 〔 ， ， ， … 注 一 ‘ ‘ ， 〕 ， 设 。 ， 犷 ， 犷 二 选取 神一 。 。 的矩阵尸 ， 并使之满足 ， 且 ，犷 ，一 令 尸 ，厂 选 ” 的矩阵尸 ， 使之满足 ， 价“ ， 尸 的 矫 二 尸 犷 选 ， 一 月 一 。 又 。 林矩阵 ， 使之满足 ， 之 邓 一 。 最后选 。 一 矩阵 ‘ ， 使得 人儿 ︸一一 八川 一 … 九 进 八 就是所需的变换阵

2举 例 设在系统(1)中 -1 -1 3 2 -2 3 1 2 0 0 1 b= c=〔10-.10〕 0 0 0 2 1 现分别用前述4种方法，求出其典范分解式。 方法1 通过求A的特征值、特征向量可得座标变换阵T为(5) 11. 1 1 0 0 1 0 0 1 事实上这里T1分，取坐标变换x=个女，可以得系统典范分解式的相应各矩阵为 …1 0 0 0 (0 0-20 1 4-4- 0 01 0 61=61= 0 c1=c1=〔1100) 0 00 2 .1 方法2 y 0 -1 0 -1 -1 2 0 先按能观测性分解，选取T·- 0 0 1 0 1 1 0 1 对(C,A,B)进行坐标变换x=T°x,即可得有关矩阵如下： 0 1 0 -2 -3 0 % a- 导年年04导”有0卡年华家中4 6 c=〔10：00〕 0 2 02 3 -4 0 -13 3 214

举 例 设在系统 中 一 二 一 一 〔 一 〕 现分别用 前述 种方法 ， 方法 通过求 的特征值 、 求 出其典范分解式 。 特征 向量可得 座标变换阵 为困 子 。 事实上这里 宁 日产、 、 取 坐标变换 二 ， 可 以得系统典范分解式的相应 各矩 阵为 、 二 且 二 一 一 “ 一 八 一 八 】 ， ， · ， 〔 〕 方法 、 、 夕 … 一 先按能观测 性分解 ， 选取 。 二 … … 对 ， ， 进 行坐标变换 二 “ ， 即可 得有关 矩 阵如下 一 、 〔 三 〕 ︸ ︸一 ︸一 一 ︿

再将能观部分和不能观测部分分别按能控性分解，对于 =〔10) 部分取坐标变换阵T: (T)-1“ 可得 -2J 0 0 T:A(T:)1= T6, 仑.(T)1=〔11) 1 对于 a- 2=〔00〕 部分，取变换阵T: (T) 可得 c2(T:)-1=〔00〕 因为 0 TA21(T:)-1= 4 所以最后得系统典范分解式的各矩阵为： -1 0:0 0 0 1 -2 0 0 A2= b2= 1 40年是华0质后4中8 导华用行车有中华华家华 c2=〔1100) 0 4 0 0 -4 -4 -1 215

再将能观侧部分和不能观测部分分别 按能控性分解 ， 对于 一 〔 八 “ ， 二 〔 ” ’ 七 一 尸 厂 一一 ︿ 部分取坐标变换阵 井 贾 一 二 … ， “ 可得 贾 一 ’ 〔 〕 一 八 八 了， ， 二 “ ’ 夕， 对于 一户 二 〔 〕 、 了 一 阮︿ 部分 ，取变换阵 二 可得 占 石、 一 二 一 二‘、 、 一 肠八 因 为 孟 全 一 二 一 一 … 上、、 、 所 以最后得系统典范分解式的各矩阵为 、 、卫‘毛诬，‘ 二﹄ 、 … 一 万 “ 一 〔 〕 ︵玩 … … 一 一

方法3 先按能观测性分解，同方法2得 0 1: 0 0 1 -2 -3 0 2 A0= 非中0.00来。。0中。0 60 c°-〔10：00) 0 2 0 3 -4 0:-1 3 3 因为 Q 1-2 4-8 -2 -8 16 〔B°A°B°…(A°)n-1B〕= :中中。a40中小中 3 e 12 18 Ro 2 1218 选取 2 1 0 P1= P2 即选取 P: 0 1:0 0 0 0 T= 0中g8出0中40甲中 0 1-1 P3 0 0:0 1 进而可得典范分解式的各矩阵为： -1 0 0 0 0 -1 -2 0 0 ! -2 A3= 00) 2 0 1 0 B3= 0 C=〔2 9 2 -1 3 方法4 因为 0-1 0 3 0 8 0 1 -1 2 0 0 6 V= 1 8-4 U= 0 1 8 -17 80 (1 4 8) 216

方 法 先按能观测性分解 ， 同方法 得 … 一 ︸ ‘一一，一 ︸一 ，丫 一一 ， 夕 二 … … … … 〔 三 〕 … 口… 一 因为 一 一 一 一 … 百 … … 、 一 、 、 户‘ 廿 ，土 曰‘， ﹃月上人 万， 、 、 ‘ 〔 刁 “ “ … 月 “ “ 一 ‘ “ 〕 选取 少 ，土 ， 曰 尸 ， 尸 尸 ，工上 厂了 ‘ 、 即 选 取 卫 … 二 … … ， … ， … 尸 尸 进而 可得典范分解式的各矩阵为 一 一 〔 云 〕 ︸ 一 一 一 … 一 凡︸ 一 月 方法 因 为 、 产‘ 上 、早 … 犷 二 一

rank∥=2， rank U=2, rank VU=i 选取 P,=〔2100)中t:=〔1-100) P2=〔0110)→t2=〔01-10) tg=〔00-11) t4=〔1000) 则 0 1-1 0 fe 0 1-10 T= t3 0 0 -11 t. 1 0 00 于是得系统的典范分解式的各矩阵为 -1 0 0 0 0) 0-2 0 0 A4= 00 1 0 6A= 0 c4=〔1100] -3-4 12 2 3简短的评注 (1)本文针对现有文献中给出典范分解式的差异，对各种方法加以归纳整理，使 之都统一变成式(2)的形式，其系统矩阵具有这样的特点：不论是从它的整体还是从 四分分块子矩阵来看，它们都是同型的三角阵，无疑这将对它们的计算和运用带来一定的 方便。 (2)前述4种方法比较起来，以方法1最为直观，其所得结果也是唯一的，然而 它存在这样一些问题：在计算上，它要算出系数矩阵A的特征值、特征向量；其次是当 有重特征值时，有时需要借助于别的方法进一步的分解。 方法2在概念上是直观清晰的，但它总共需要进行3次能观测性和能控性分解，这 样就需要构成3个相应的坐标变换阵和求3个矩阵的逆，显然它比较烦琐且计算量也较 大。 方法3只需进行两次坐标变换，但从计算量来看与方法2相类似。 方法4的特点是只对待分解系统进行一次坐标变换即可获得所需的典范分解式，因 而其计算量要比前3种方法都小，然而在变换阵的构成和概念的直观上不及前3种简便 和清晰。 (3)在典范分解中，有 217

不二 犷 选 取 尸 尸 二 才 二 〔 〕 峥 〔 〕 中 〔 一 〕 〔 一 〕 〔 一 〕 〔 〕 〕 ‘ ‘ 一 ‘ 」九 一 了 一 州 “ 一 “ 仁 少 于 是得系统 的典范分解式的各矩 阵为 ︸叭 一 一 … 一 广少 ﹃ 月 、 一 一 简短 的评注 本文针对现有文献 中给 出典范 分解式的差异 ， 对各种 方法加 以归纳整理 ， 使 之都统一 变成式 的形式 ， 其 系统 矩 阵具有这样的特点 不论 是 从它 的 整体还是 从 四 分分块子矩阵来看 ，它们 都 是 同 型的 三 角阵 ， 无疑这 将对它 们 的计算和运 用 带来一定的 方便 。 前述 种 方法 比较起来 ， 以方法 最 为直观 ， 其所得结 果也 是 唯一 的 ， 然而 它 存在这样一些 问题 在计算上 ， 它 要算 出系数矩阵 的特征值 、 特征 向量 其次是 当 有重 特征值时 ， 有时需要借助 于别 的 方法进 一步 的 分解 。 方法 在概念上 是直观清晰的 ， 但它 总共需要进行 次能观测 性和 能控性 分解 ， 这 样就需要构成 个相 应 的坐标变 换阵和求 个矩 阵的逆 ， 显然它 比较烦琐且计算量也较 大 。 方法 只需进 行两次坐标变换 ， 但从计算量 来看与方法 相类似 。 方法 的 特点是 只对待分解 系统进行一次坐标变换即可获得所需的典范分解式 ， 因 而其计算量 要 比前 种方法 都小 ， 然而在变换阵的 构成和概念 的直观上不及前 种 简便 和清 晰 。 在 典范分解 中 ， 有

0 B B= 0 C=〔C1C200) B 当采用方法2、3、4分解时，可能出现B,与B2中的某一个，C与C2中的某一个为零。 这是正常的，它不影响相应状态变量组合的能控性能观测性的属性。例如在前述举例中的 方法4中，若选 P1=〔2100〕t1=〔1-100) P2=〔1000Jot2=〔10-10) t,=〔1-11-1) t4=〔1000) 于是可得典范分解式的各矩阵为 -10 00 0 1-2 0 0 4- -201 0 6= 0 c=〔0100) 24-12 2 此处行向量C的第一个元素为零，即C1=0,但它不影响典范形式关于各状态变量属性 的结论。关于这点不难进行验证。 一旦B:,B2或者C1、C2同时为零，则系统(1)的状态空间就不是由4个子空间 所组成了。 (4)需要指出，所谓典范分解式为统一的特定形式，如(2)式所示，是指矩阵 分块而言的，并不意味着不同分解方法所得相应各矩阵的每个元素完全相同。事实上， 由于在构造变换阵时存在很大的随意性，因而导致即使是采用同一分解方法也可得出就 各元素而言不尽相同的结果。 (5)一个不完全能控和不完全能观测的系统，可分解成典范分解式，但是具有典 范形式的不一定是典范分解。例如下面的三元组(c、A、b)就不是典范分解。 20: 0 0 0 00 1 A= ……ξ… b= …c=〔1-1：00) -10 0 02 10:4-2, 1, 对此也不难验证。 有关几个结论的证明限于篇幅从略。 218

…︷ 醉 〔 〕 马、 ︸ 一 当采用 方法 、 、 分解时 ， 可 能 出规毛 写云 中的某一 个 ，砚与蕊 中 的某一 个为零 。 这是正常 的 ， 它不影响 相应 状态变量组合 的 能控性 能观测 性的属性 。 例 如在前述举例 中的 方法 中 ， 若选 〔 〕 办 〔 一 〕 〔 〕 中 〔 一 〕 二 〔 一 一 〕 ‘ 〔 〕 于 是 可得 典范分解式 的各矩阵为 … … ， ‘三 〔 ‘ ” ’ 但 它不 影响 典范形式关于各状 态变量属性 一一︸ … ︸‘乙 ，︵ 、 ‘ … 卜 肠目 一 ︸ 万 一 一 一 此 处行 向量 的第一 个元素为 零 ， 的结论 。 关 于这 点不难进行验 证 。 一亘若 ， 玄或者矶 、 己 同时为零 ， 则系统 的状态空 间就 不是 由 个子 空 间 所 组 成了 。 需要指 出 ， 所谓 典范分解式为统一的特定形式 ， 如 式所 示 ， 是指矩 阵 分 块而 言的 ， 并不意味着不 同分解方法所得相应各矩 阵的每 个元素完 全相同 。 事实上 ， 由于在构造变换阵时存在很大的随意性 ， 因而导致即使是采用 同一分解方法也可得 出就 各元素而言不尽 相 同的结果 。 一 个 不 完全能控和 不 完全能观测 的系统 ， 可分解成典范分解式 ， 但是 具有典 范形 式的不一 定是 典范分解 。 例 如下 面 的 三元组 、 月 、 就不 是 典范分解 。 ，了 … 白 一 ， 、 … ，井 「 “ “ “ 二 “ “ · “ · 一 三 … … 〔 一 三 〕 一 对此也不难验证 。 有关 几 个结论 的证 明限于 篇幅从略