岩石应变软化弹塑性有限元分析

D0I:10.13374/i.issn1001053x.1989.01.001 第11卷第4期 北京科技大学学报 Vol.11 No.4 1989年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing July 1989 岩石应变软化弹塑性有限元分析 吴玉忠 (矿业研究所) 摘要：本文从岩石的变形特性和界面约束理论出发，建立了应变软化规律及其有限 元本构方程。这种方程的求解存在着解法难与收敛慢和漂移界面的两个问恶。解快方法： (1)分析各种解法，采用初应力法，并进行改进称之改进的初应力法，以加速其收敛，(2) 考查各种源移界面的修正方法，选取其中较好的一种。编制了一个相应的EPSF限序，并对 金川某巷道进行了软化有限元分析。 关键词：应变软化，初应力法，界面源移 Finite Element Analysis of Elastoplastic Rock with Strain-softening Wu Yuzhong ABSTRACT:Based upon rock deformation characteristics and bounding surface model,a strain-softening law and its constitutive equation are establi- shed.In the equation,two difficult problems on solution and surface drifting are existed.First,after numerical approaches to softening problem were evaluated,an initial stress method is employed and then improved.It is called improved initial stress method which accelerate convergence.Secondly, various surface drifting updatings are compared and a good correction is sele- cted.Correspondingly,the program called EPSF is developed.Finally a strain-softening analysis to a tunnel in Jinchuan is given. KEY WORDS:strain-softening,initial stress method,surface drifting 在地下巷道、矿岩崩落、屈服旷柱、边坡等工程分析中，应变软化引起的渐进破环是一 个极为重要的问题。早在1936年人们就已经提出了边坡渐进破坏问题，当时Terzagh假定为 1988一08一09收稿 293

第 卷第 期 北 京 科 。 气 兮 年 月 技 大 学 学 报 岩石应变软化弹塑性有限元分析 吴 玉 忠 矿业 研究 所 、 摘 要 本文从 岩石 的 变 形特性和界面 约 束理论 出 发 ， 建 立 了应 变软 化规 律及 其有限 元本构 方程 。 这 种 方程的求 解存在着 解法难与收 敛慢和漂移界面 的 两 个问题 。 解决方法 分析各种 解法 ， 采 用 初应力法 ， 并 进行改进称之改 进的初应力法 ， 以加速其收 敛 考查各种漂 移界面 的修正 方法 ， 选取其 中较好的 一种 。 编 制 了一 个相 应 的 程 序 ， 并 对 金川某巷道 进 行 了软化有限元分 析 。 关键词 应 变 软化 ， 初应 力法 ， 界面 漂移 一 、 叹 平“ 之 戈 ， 一 。 ， 。 ， ， · 手， 。 ， · 一 · 一 ， ， 一 在地下巷道 、 矿岩 崩落 、 屈 服矿柱 、 边 坡等工程分 析 中 ， 应 变软化引 起 的渐进破坏是一 个极 为重要 的 问题 。 一 早在 年人们就 已经提 出 了边坡渐进破坏 问题 ， 当时 假 定为 一 一 收稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1989．04．001

一种软化机理来解释导致这种含行裂隙的坚硬岩峰值强度随时间降低的现象。随后就现 了各种力图解释这种渐进破坏的机即【1」。后来，Ladanyi引入应变软化概念分析地基承载 能力时，指出它的重要性，同时不少学者也强调这种渐进破坏过程需要进行有限元分析〔1。 1972年Hog首次把增量弹塑性有限元应用于模拟地基岩层在不排水下的应变软化特性： Nayak等【2】把软化概念引入本构关系进行平面应变冲压问题的有限元分析等等。在理论 上，Prevost和Hoeg证明.了由弹性能限制软化率的相对大小以维持相关流动的应变软化的唯 一性；Maier等进一步讨论了软化材料的稳定性和解的存在与唯一性，给软化有限元分析提 供了理论依据。此后软化问题就得到了普遍重视〔3,4)。 木文首先从岩石的变形特性建立应变软化规律及其本构方程；鉴于这种方程求解上的闲 难，分析各种软化有限元解法：选取一种初应力法，并进一步改进：考察应力收敛于界面的 状况及其校正方法，进而编入程序并对金川某巷道进行软化有限元计算分析。 1应变软化有限元本构方程 岩石的破坏是一个渐进的发展过程。岩石受压到峰值时开始屈服，产生塑性变形，随着变 形的发展，强度不断降低，出现应变软化，对应有塑性体积膨胀，最终达到我余强度。这一 试验的变形特性同临界状态理论是一致的，即上约束界面或称上屈服面反映塑性应变软化， 并以临界状态面为限【1)。 应变软化的上约束界面的形式及其收敛过程且前众说纷纭，但可以采用能反映塑性软 化的塑性准则进行拓展。它的上界面形状有： 椭圆界面，部分椭圆面和部分双曲面：直线族 面等。其界面收敛过程的方法也有多种，如以 常偏心率的椭圆面收缩等〔1)。 在相关流动法则下，这些收缩过程均不能 很好地反映岩石的软化规律，不能满足扩容率 0 随变形而减小的变形过程。因此笔者建议采用 图1建议的应变软化示意用 图1的软化界面收缩过程，并采取如下界面函 Fig .1 Schematic of deformation process of strain-softening model 数1： proposed F=/J2-a(h)(In(h2)-I.)=0 (1) 在变形中，a(h,)是改变体积的参量，I,(h2)是j偏应力有的参量。基于Drucker-Prager 准则和膨胀率减小过程，取a(h:)和I。(h2)为： a(h:)=a。-（a,-a)h,1(h1+B,) (2a) In(h2)=3.ctgoC+(C.-C)h2/(h2+B2) (2b) 式中，g。=0.5(g,+g,),a:=(12+9cte'g,)2(任=p,r),g为内摩擦角，C为内聚力， P、脚标分别表示峰值状态和残余状态，B,、B:均为实验参数。 294

一种软 化机 理 来解释 导致 这 种 含 了裂隙 的坚硬 兴石峰值 强 度随 时 间降 低 的现 象 。 随 后就 出现 各种 力 图解释 这种 渐进 破坏 的机 理 〔 ’ 」 。 后来 ， 引 入 应 变软 化概念分 析 地 基承载 能 力时 ， 指 出它 的 重 要性 同时 不少 学者也 强 调这 种 渐 进 破 坏过程 需 要进行有限 元 分 析 〔 ‘ ’ 。 年 成 首 次 把 增 量 弹 塑 性 有限 元应 用于模 拟 地 基岩层 在 不排水下 的应 变软 化特 性 等 〔 ” 把 软 化 概 念弓 入本构关系进 行 平面 应 变冲压 问题 的有限 元分析等等 。 在理 论 上 ， 和 。 电证明 了 由弹性能限制软化 率前相对大小 以维持 相 关流动 的应变 软化 的唯 一性 等进 一步 讨 论 一 软 化材料 的稳定性 和解 的 存在 与唯一性 ， 给软 化 有限 元 分 析提 供 了理 论依据 。 此 后软 化问题就得到 了普遍 重视 〔 “ ， ’ 。 本文首 先从岩 石 的变形特性建 立应变软 化规 律及 其 本构 方程 鉴 于 这种 方程求解上 的困 难 ， 分析各种软化 有限 元解 法 选 取 一种初应 力法 ， 并进 一步 改进 考察应 力收敛 干界 面 的 状况 及其校 正方法 ， 进 而 编 入程 序并 对金 川某巷道 进 行软 化 有限元 计算 分析 。 应变软化有限元本构方程 岩石 的破坏是 一 个渐进 的发 展过程 。 岩 石受压 到峰 值 时开 始屈服 ， 产 生塑性 变形 随 着变 形 的发展 ， 强度不断 降低 ， 出现 应变软化 ， 对 应有塑 性 体积 膨胀 ， 最终达到残余强 度 。 这 一 试验 的变形 特性 同临界 · 状 态 理 论是一致 的 ， 即上 约束界面或 称上 屈服面 反映塑性应 变软化 ， 并 以 临界状 态面 为 限 〔 ‘ ’ 。 应变软 化 的上 约束界面 的形 式及 其收敛 过 程 目前 众 说纷 纭 ， 但可以 采用 能反 映 塑 性 软 化 的塑性准则进 行拓展 。 它 的上界 面形状有 椭 圆界面 ， 部分椭圆面 和部分双 曲面 直线族 面 等 。 其界 面收敛过程 的方法也 有多种 ， 如以 常偏 心 率的椭圆面收缩等 〔 ‘ ’ 。 在相 关 流动法则下 ， 这 些收缩过程 均不能 很 好地反映岩石 的软化规律 ， 不 能满足 扩容 率 随 变形而减 小 的变形过程 。 因此 笔 者建 议采 用 图 的软 化界面 收 缩 过程 ， 并采取如下界 面 函 数 「‘ ’ 沐吕 兀试 犷 呻 尸产 图 建 议的 应 变软化 示 意图 一 厂 ， 一 了 一 。 一 在变形 中 ， ， 是改 变体积 的 参量 ， 。 是 ，歹偏 应 力 有 又 参量 。 基于 一 叱 准 则 和膨胀 率减 小过程 ， 取 ， 和 。 为 ， 一 ， 一 ， · 。 ， 二 · 只切 ， 〔 ， ， 一 ， 〕 式 中 ， 、 。 、 ， 、 ， 。 ‘ 。 饭 、 ‘ 一 考 ‘ ， ， 为 内摩擦 角 ， 为内聚 力 ， 、 ，脚标 分别表 示峰值状 态和残 余状 态 ， 、 均 为实验 参数

利用小变形分解条件、线性相关流动和-致条件，与(1)式联立，并注意广义Hook©定 律，解得正常应变软化弹塑性有限元本构方程为： d{n}=〔Dep〕d{e} (8) 其中： D=0-D=0)-AA.07 ·{6,}'D (4) A=月}'o· (5) A=-3·a(h:).〔(1，(h)-1)(a,-a,)(B1+h) +(6h)+）·89a.〕 J2 (6) 6-{a0是，a+是. I 2√WJ3 、y-a(h:)+ 2,v万，1v,t.万}（) 3 dh,三de=3a(h)d h=fde=e+C:(C=0) dh:=de=（3a(h)+t+s）d h2=∫ae=e+C2(当d{e)=0附，h2=0即Ca=0) 以上各式中，〔D门、〔D门、〔D门分别为弹塑性、弹性、塑性矩阵，A、A。分别为软化参量 和临界软化参量，且A。0,且与A有关的常量。e为体积应变，e”为等效塑性应 变。取B1=B2=0.0351)。h1、h2皆为软化材料内变量。 2应变软化有限元解法 有限元的非线性问题，包括几何的和物理的两种，本构关系是属于物理非线性的，其解 法很多。按对节点不平衡力的处理方式可分为：精确解法、增量法（或称初值法）和自校正 法3大类。它们相互结合，就产生了各式各样的混合法。决定采用的解法都与各种因素有 关，如本构关系、解的精度、收敛快慢等。本文则着重考虑与本构关系有关的因素。 295

利 用 小 变 形 分解 条件 、 线 性相关 流动 和 一致 条件 ， 与 式 联立 ， 并 注意广 义 定 律 ， 解得 正常 应变软 化弹塑性 有限 元本构 方程 为 汀 〔 ’ 〕 一 。 其 中 〔 ‘ ” 〕 〔 〕 一 〔 夕 〕 〔 〕 通 一 月 〔 〕 刁尸 日 》 ， 一 下 ’ 不 一丁 全 仁， 至 全 一乃 一 ‘ 少 麦口 圣 、 〔 〕 刁 日 仃 刁 一 · · 〔 。 石 一 · ， 一 户 · 人 十 二 十 ， 二 一 二 ， 一 ， 侧 。 甲狱。 〕 乙 口 一 月 口 ， 人 仃 二 一 了 侧 八 了 几 ， － ， 二二二二二二二 了 几 ， 厂丫 ， 了 几 ，几尸 “ “ 丫 二 。 厂 · 只 碑 了 。 里 ￡ 七 “ ￡ 。 一 产、 户 丽 二 · 。 ‘ ， 二 十 二 十 了二 二 丫 二 蕊 ， 子 当 ‘ “ ” 时 ， ‘ 即 一 。 ’ 以上各式 中 ， 〔 ’ 勺 、 〔 〕 、 〔刀勺分别为弹塑性 、 弹性 、 塑性矩 阵 ， 、 。 分别 为软 化参量 和 临界软化参量 ， 且 。 。 。 ， 且与 有关 的常量 。 此为 体积应 变 ， 户 为 等 效 塑 性 应 变 。 取刀 二 〔 ’ 〕 。 、 几 皆为软化材料内变量 。 应变软化有限元解法 有限元 的非线性问题 ， 包括 几何 的和物理 的两种 ， 本构关 系是属于物理非线性 的 ， 其解 法很多 。 按对节点 不 平衡力 的处理方式可分为 精确解 法 、 增量法 或称初值法 和 自校正 法 大类 。 它们相互结 合 ， 就产生 了各 式各样 的混合法 。 决定采 用 的解 法都 与 各 种 因 素有 关 ， 如本构关 系 、 解 的精度 、 收敛快慢等 。 本 文则 着重 考虑 与本构关 系 有关 的 因素

对软化有限元解法，Iog最早采用·种'与月前不同的切线刚度法：八ayak等()则采 州初应力法；Lo和LCc【5:也采川初应力法，但前者有别。在后所来采川的解法也多了，迄 今大体采用以下几种解法： （1)初应力法【1~4，]： (2)初应变法【1】 (3)切线刚度法〔3，)： (4)-阶白校正法1： (5)割线刚度迭代法1`。 此外，还有半解析解的迭代法和解析法。 这5种方法，无可厚此薄彼。理论上已证明(2)法在理想塑性条件下是发散的，且解软 化问题永远是发散的「？：甚至还有漂移结果的趋势(3。因此，Desi〔8指“采用与割线 刚度法联合的迭选代法，可成功地分析软化问题”并得到了应用【]。但这种方法的弊病是不 好处理初应力不为零的问题s,如地下工程中的原岩应力，更重要的是其解不收敛〔1)。对 (3)法(8)不但在塑性时1(1-2v)项趋向于无穷大，特别是存在着“因负的刚度在作用荷载 方向导致不真实的位移或应变”〔5)，但Hog的观点对此看法不同。无论如何，其刚度矩阵 在软化时是负定的。此外，人们还进行了增量法、迭代法和自校正法的比较后采用自校正 法，并进一步与初应变法和切线模量法比较，在计附上选用了一阶自校正法(3)。对(1)法， 尽管在理想塑性条件下收敛极慢，但最近的分析和实践表明：它的使用最广、解决软化问题 不会出现上述困难〔，4。作某些修正的初应力法收敛比(4)法更好1门。因此，本文软化问 题采用初应力法求解。 3改进的初应力法 增量初应力法不但可以克服上述问题，而且极易扩成：相关流动：：)和弹塑性辄合问题。 但它的收敛速度很慢。在理想塑性条件下的屈服单元较多附，迭代4次即收敛〔8】是不可 能的；计时上也不只是弹性：计算的10倍。因此，必须进行加速。月前加速的途径有两种： (1)借用变刚度修正：(2)对迭代过程进行加速，如单松地因广如速，引人·个超松弛对角 阵进行加速，还有Thomas()提出自校正单松弛因下加速。木文先采用变刚度法进行修正。 3,1增量初应力法[9 基予能量泛函、最小势能原理材料的儿何关系'与本构关系，可其弹塑性：行限心的平 衡方程为：〔Kg门{A8}”{AR}+{1R"}。在小变形条件下，第n级荷线的第次迭代 过程的方程为： 〔K。〕{A8}g={△R}。+{ARn}:-1 (8) 其中，〔K。)为常刚度矩阵，{△}为位移增t列阵，{△R}为荷载增量列阵，{AR}为 初应力{△σ°}引起的荷载增量列阵。 3,2改进的增量初应力法 改进的思路是：每次增量荷载之初采川]常刚度法，在每个增量小的送代过程采州变刚度 法进行荷载修正。弹塑性增量变刚度行限心平衡方程为（〔K,〕为变刚度矩阵）： 296

对于软 化 有限 元解 法 ， 。 己 最 旱 不川 · 种 ’ ， 目前 下同的切 线 刚度法 ， 等 〔 ’ 〕 则 采 用初 应力法 。 和 。 。 〔 石 也 采川初应 力法 ， 但 ‘ 前 择了湍 。 在 后来 采川 的解祛 也多 厂 ， 迄 今大 体采 用以 下几种解 法 初应 力祛 〔 ’ 一 ‘ ， “ ’ 初 应 变 法 〔 ” 切线 刚度法 〔 “ ， “ ’ 一阶 自校 正 法 广 “ 〕 割 线 刚度迭 代 法 〔 ” 。 此 外 ， 还 有半 解 析解 的迭 代法 和解 析 法 。 这 种方法 ， 无 可厚此 薄彼 。 理 论上 已证 明 法在 理 想 塑 性 条件下 是 发 散 的 ， 且解软 化 问题永远是 发散 的 〔 〕 甚 至还 有 漂移结 果的趋势 〔 ’ 。 因此 ， 。 ， 〔 ’ 指 出 “ 采用 一 与割 线 刚度法联 合的迭 代 法 ， 可成功 地 分析软 化 问题 ” 并 得到 了应 用 〔 ” ’ 。 但 这 种 方法 的弊病是 不 好 处理初应 力不为 零的问题 〔 了， 如地 下工 程 中的原岩应 力 ， 更 币 要 的是 其解 不收敛 〔 ’ 〕 。 对 法 〔 日 〕 不但在 塑性 时到 一 项趋 向 干无 穷大 ， 特别 是 存 在着 “ 因 负的刚度在作用 荷 载 方 向导致不真实的 位移或 应变 ” 〔 〕 ， 但 。 电 的观 点 对此 看法 不 同 。 无 论如何 ， 其刚度矩 阵 在软化时是 负定 的 。 此 外 ， 人们还 进 行 了增量 法 、 迭 代法 和 自校 正 法 的 比较后 采用 自校 正 法 ， 并进 一步 与初应变法 和切 线模 量 法 比 较 ， 在计时 卜选 用 了 一 阶 自校 正法 〔 “ ’ 。 对 法 ， 尽 管在理 想 塑性 条 件下 收敛 极慢 ， 但 最近 的分析 和 实践表 明 它 的使 用 最广 ， 解 决软化 问题 不会 出现上述 困难 〔 ” 碑 ’ 。 作某咋修正 的初 应 力法 收敛 比 法 更 好 〔 ” 。 因此 ， 本 文软 化 题 采 用初 应 力法求解 。 改 进 的初应 力法 增量 初应 力法 不但可以 克服上 述 问题 ， 而 且极 易扩成 】卜相 关 流动 「’ 〕 和 弹 塑性 祸 合问题 。 但它 的收敛 速 度很慢 。 在 理想塑 性 条件下 的 屈 服单 元较多 时 ， 迭 代 次 即 可收 敛 〔 〕 是 不可 能 的 计时上 也 不只是弹 性 计算 的 倍 。 因此 ， 必 须进 行 加速 。 目前 加速 的途 径 有 两 种 借 用变刚 度修 正 对迭 代过程 进 行 加速 ， 如单 松弛 因 一 加速 ， 引 入 · 个超 松 弛对 角 阵进 行加速 ， 还 有 、 〔 ‘ 〕 提 出 自校 正单 松弛 因 加速 。 木 文先 采 用 变 刚 度法 进 行修正 。 增 初 应 力法 〔 “ 墓 二能量 泛 函 、 最 小势 能原 理 和材 料 的儿何 关系 ’歹本构 关系 ， 衡 方程 为 〔 〕 入八 二 八 一 、 ’〕 。 在 小变形 条什 卜 ， 过程 的方程 为 才， 七弹 塑性 有限 元 的 、 几 第 刀 级 荷 载 的 第。 次迭 代 〔 。 〕 一 入 二 八 其 中 ， 〔 。 〕为 常 刚 度矩 阵 ， 八 玛 为 位移 增 欣列阵 ， 初 应 力 王△ 。 引 起 的荷载 增 笼 列阵 。 “ 八尸 。 丁 一 ’ 态 为 荷载 增 量 列阵 ， 入刀 们 为 改进 的增 初 应 力 法 改进 的思路是 睡次增 量荷 载之 初采 川常 刚度法 ， 在 侮个增 量 卜的迭 代过程 采 川 变刚 度 法进 行荷载修 正 。 弹 塑 性增 最变 刚 度有限 ，口卜衡 方程 为 〔 〕 为变刚度矩 阵

〔Kr]m-1·{△δ}0={AR}x (9) 分解K,:〔K=∫∫∫cBr(D-D)c8〔K-K,,代人(9)式立得 (CB)为几何矩阵)： 〔Ka)·{A8}={AR}.+〔K,-1·{△δ}？ 若迭代过程解唯一，则{△8}⊙{△6}：1，即上式为： 〔K{△}m={JR}n+K,-1.{Aδ}- (10) 联立(8)(10)两式，并令{△R′}-1=〔K-1.{18}”-1,得： 〔KJ〔△]={△R}n+{△Ra}m-1+{AR'}-1 (11) 这种考虑刚度修正项的方法称为“改进的初应力法”。改进后既保持了可以进行软化问 题求解的常刚度的优点：又兼有变刚度法收敛快的优点。 4应力漂离界面的校正方法 如上所述，方程(3)的非线性软化问题的有限元解法很多。然而，由于〔D〕需要多 次小步长迭代来求之，在每步求解中任何解法都假定了该步与{σ}有关的矩阵〔D·〕为一 常数。显然这是近似的，即使迭代步长再小，每个荷载增量后所求得的应力实际上不在该状 态的界面F。上，如图2。为此，作者进行过界 面追踪，结果发现10F>√J4)的单元并 不少见。对软化问题，这种偏差尤为显著。随 着荷载增量的增加，这种偏差就愈来愈大，使 结果漂移正确解。有限元法中，处于这类的单元 称之为过渡单元。在理想塑性条件下，常用的线 -1 图2漂离界面示意图 性插值方法（如方程(13）)使应力状态问到该 Fig.2 Sketch of surface drifting 状态的界面上。对于软化问题，{σ}不但与 〔D门有关，而且还与h有关，因此问题就更为复杂，必须认真对待。 对此，校正的方法有几种：Sloan和Randolph建议I,不变J:减小，使{o满足 F({σ}，h)=0:Owen等门提出改变累积的有效应力方法；Potts等〔10]用沿总的应变 增量方向的修正法；Nayak等[2)采用沿塑性应变增量方向的修正法；Vermeer也提出了“修 改”的校正方法；Thomas'4)则用试位迭代法进行线性插值修正。Potts等对前5种与用微 小的荷载增量多次迭代的标准结果比较表明：前3种误差甚大，不宜采用1：。作者针对后 3种作了进一步的对比后，选用了Nayak等人采用的方法（设h为常数）： (1)令：F({0}、h)=F.0J 297

〔 丁 〕 刃 一 ‘ · 众 丁 八 气 分解 〔 〕 〔 〕 了 、 丁 〔 〕 丁 ‘〔 〕 一 〔 ’ 〕 ，〔 〕 “ 〔 。 〕 一 〔 ， 〕 ， 代 人 式 立 得 〔 〕 为几何矩 阵 〔 。 〕 · 人占 丁 八刀 二 〔 〕 叹 一 · 入 叹 若迭 代过程 解 唯一 ， 则 八 贾公 人占 毋 一 ， 即上 式为 区 。 〕 · 王△占 下 一立 。 ‘ 区 ， 〕 万 一 一 八占 丁 一 了 联立 两 式 ， 并 令 刀 ‘ 份 一 ’ 二 〔 ， 〕 丁 一 ‘ ， 入 公 一 ， 得 〔 。 〕 · 〔 舀〕 分 八刀 穿 一 这种考虑 刚度修正项 的方 法称 为 “ 改 进 的初应 力法 ” 。 改 进 后既保 持 了可以 进 行软化 间 题求 解 的常 刚度 的优 狱 又兼 有变 刚 度法 收敛 快 的优 点 。 应 力漂离界面 的校正 方法 如上 所述 ， 方程 的非线性软 化 问题 的有限元 解 法很 多 。 然而 ， 由于 〔 〕需 要 多 次小步长迭 代来求之 ， 在每步 求解 中任何解 法都假 定 了该步 与 有 关 的矩 阵 〔 ’ 夕 〕 为 一 常数 。 显 然 这是 近似 的 ， 即使迭 代步长再 小 ， 每 个 荷 载增 量 后所 求得 的应 力 实 际 不在 该状 态 的界 面 。 上 ， 如 图 。 为此 ， 作 者进 行过界 面追 踪 ， 结 果发现 了 〔 〕 的 单 元 并 不少见 。 对软 化 问题 ， 这 种偏差 尤为显 著 。 随 着 荷载增量 的增加 ， 这种偏 差就愈来愈大 ， 使 结果 漂移正 确解 。 有 限 元法 中 ， 处于 这 类 的单 元 称之 为过 渡单 元 。 在理 想 塑性 条件下 ， 常 用 的线 性插值 方法 如 方程 〔 使 应 力状 态 回到 该 状 态的界面上 。 对 于软化 问题 ， 笼 不但 与 之 一次 匕 亏 。 ’ 一 八 图 漂离 界面 示 意 图 ， 么 可 又 〔 ” 〕 有 关 ， 而 且还 与 有关 ， 因此 问题就更 为 复杂 ， 必须 认真 对待 。 对此 ， 校正 的 方法有 几 种 引 和 建 议 ， 不变 减 小 ， 使 满 足 ， 等 〕 提 出改 变累积 的有效 应 力方 法 等 〔 ’ ” 〕 用沿 总的应 变 增量方 向 的修 正法 ， 等 〔 “ 〕 采 用沿塑 性 应 变增量 方 向 的修正法 也提 出 了 “ 修 改 ” 的校正 方 法 〔 ‘ 〕 则 用试 位迭 代法进 行线 性插值修 正 。 等 对前 种与 用微 小 的荷 载增量多 次迭 代 的标准结 果 比 较表明 前 种 误差甚大 ， 不宜 采 用 〔 ’ 。 〕 。 作 者针 对后 种 作 了进一步 的对 比后 ， 选 用 了 手 · 等 人采 用 的方法 设 为常数 令 。 八 ，

则必定斥在着…个插偵系数下、使得： F({g}+{△o}r、h)= 线性近似插值即得： r=-F(F-F) (13) 但F不是{，}的线性函数，所以有： F({a}+r:{Ag},h)冬F≠0 这时利用相容条件得： ar-{6'a)={aG}'atao) 欲满足dF=0,必有△r,=0。但F.≠0，因此对于小变化量，必有dF=-F。故联立上 述两式即得： ar-F/1阳，}') =r+r=-F.1R.-F,）-F./{}{1) (2) 令R=0,F>0,且{).=a}+《aa-,{,G,},使得 Ff)+(am)-…{G,,)-0 (15) 用Tlor级数展开并忽略高次项后即得： =r/及0}·{6，} (16) 5软化有限元程序EPSF及算例 5.1EPSF程序的编制 根据上述的木构关系、解法和界面漂移校正法，笔者编制了·个相应的非线性有限元程 序一EPSF。经过反复验算；在理想塑性条件下，精度很高；同时还可以进行Drucker- Prager、Von Mises,Mohr-Coulomb,抛物线型等屈服条件和非相关塑性流动规律的弹塑 性有限元模拟。还有开挖步骤计算和自动绘图等功能。 5,2软化巷道实例分析 金川：矿VCR法试验采场下盘运输巷道，变形大.底鼓严重，巷道呈似圆形状，觉4m。 298

则必 定 存在 肴 一 个插 试 系数 厂 ， 使 得 尸 汀 △ ， 一 由线性 近 似插值 即 得 ， 二 一 。 仪 ， 一 。 但 不是 的线 性 函数 ， 所以 有 、 仔 少 尸 。 笋 。 这时 利 用相容条件得 “ 口 刁 汀 。 叮 刁 刁 八 汀 欲满 足 ， 必有 ， 。 但 。 铸 。 ， 因此对 于 小变化量 ， 必 有 二 一 。 。 故 联立上 述两 式 即 得 ， ‘ 刁 注 一 厂 。 ‘ 了下一 、 一 ， 悦汀 ， ‘ 『’ 戈 仔 ， 犷 ， 一 。 尸 ‘ 一 一 。 刁 〔 · △ 令 。 ， 。 口 一 刁 ‘ 〕 ， 使 得 王汀 ， 日 汀 。 八。 一 用 手 一 级数 展开并忽略 高次 项 后即 得 二 “ ‘ 口 〔 王厅 口 仔 软化有限元 程 序 及 算例 程 序 的编 制 根 据 上 述 的本 构 关系 、 解 法和 界面 漂移校 正法 ， 笔 者编 制 了 一 个相应 的非线性有 限 元程 序 － 。 经过 反复验算 在理 想 塑性 条件下 ， 精度很 高 同时还 丁以 进 行 卜 隽 、 ， ， 一 ， 抛物 线型 等 屈 服条 件 不一 卜相 关塑性 流动规律 的弹塑 性 有限 元模 拟 。 还 有开 控 步骤 计算 和 自动 绘 图等功 能 。 软化巷 道实例 分析 金 川 几矿 法 试验 采场 下盘 运 输 巷道 ， 变 形大 底 鼓严 玉 ， 巷道 呈似 圆形状 ， 宽

计算取外径20m°。划分单元90个，节点110个，加载模型、原岩应力以及试验获取的力学参 数均见图3(1门。 Py=20.11P8 计算中加载增量20级，迭代次数为70次之 1ii E=100000 内，误差界为0.0001。为对比分析，还计算了 )三0.3 2U.0 弹性状态和理想塑性状态两种情况。计算结果 Cn=5.0 表明： Cp=38.3 -1.611P C-=20.0 (1)软化界面收缩过程由峰值状态界面不 断稳定地向残余状态界面收敛，没有超出或跳 跃这两个界面，且软化参量A逐渐增大并凡恒 图8心道加载模利与力学参数 小于零。 Fig.3 Mechanical parameters and loading (2)等效应力应变曲线绘于图4。考虑软 model 化后，曲线与理想塑性状态时已经不同了，且能较好地反映出岩石的软化过程。 (3)最终应力状态，如图5。显然在塑性区内周向应力因软化，比传统的理想塑性计算 结果更小，约为后者的80%（以图3中B点为例）。软化条件下的位移，比弹性或理想塑性 状态的位移都大：塑性区也是如此，见图6。 Elastic 300 Perfeet plastle Softening plastc 200 100 100 R 0 2R 3R 02 PU0300 400500600 quivalent strain Ei w 10-3 R,cm 闲4计算出的”i•5曲线 图5与水平成3°的剖面上的金川巷道径向应力 和周向应为 Fig.4 i-curves by computer Fig.5 Stress distribution around a circu- lar opening after softening 05m 10mmSeale Solution to elasticity Solution to perfect plasticity Softening plastic Open Plastiee Z0门2 (a) (b) 图6巷道周边位移及塑性区图 (a)周边位移对比(b)塑性区比较 Fig.6 Periphery displacement and plastic area around an opening (a)comparison of displacements (b)comparison of plastic areas (4)在迭代过程中，塑性单元内插值系数”不等于零。在理想塑性计算中，r值很小： 但在软化计算中，r值较大，为0.0013~0.025不等。随着送代进行，r值越来越小。结果应 299

计算取外径 。 划 分单元 个 ， 节点 个 ， 加 载模 型 、 原 岩 应 力以及 试验获 取 的力学 参 、 、 数均见 图 〔 ， 〕 。 计算 中加 载增量 级 ， 迭 代 次数为 次之 内 ， 误 差界为 。 。 。 为对 比分析 ， 还 计算 了 弹性状 态和理 想 塑性状 态两种情况 。 计算结果 表明 软化界 面 收缩过程 由峰值状 态界面不 断稳定地 向残余 状 态界 面 收敛 ， 没 有超 出或 跳 跃这 两个界面 ， 且软化 参量 逐渐增大 井 几恒 小 于零 。 等效应 力应 变 曲线绘于 图 。 考虑软 灼 二 · 入了 尔 祥澎 夕 。 。 。 垂 戴 ’ 几 图 巷道 加 载 模 型与 力学参 数 笼 乳 化 后 ， 曲线与理想塑性状 态时 已经 不 同 了 ， 且能较好 地 反 映 出岩石 的软 化过程 。 最终 应 力状态 ， 如 图 。 显然在塑性 区内周 向应力 因软化 ， 比 传统 的理 想塑性 计算 结果更 小 ， 约为 后 者 的 以 图 中 点 为 例 。 软化 条 件下 的 位移 ， 比 弹性或 理想 塑性 状态 的位移都大 塑性 区也是如此 ， 见 图 。 色奋工。已 节门九 。 。 。 ， 】 、 产忙、 导” ‘飞’ 巴￡ ﹃ ︸。一父心‘幼勺翻、 ﹃只︵之。乌门 丁三只 言 民 一 、 一 ， ，。 叭 。 ， 一 一 几 生 卜、 巨，‘ 一 ” 一一 矛，， 门 卜 ， 尹 ‘ 卜， 尸 ， 川 图 计 算 出的 叮 一 。 曲线 图 。 与水 平 成 。 的 刘面 的 金川 巷道 径 向应 力 和 周 向应 力 汀 一 。 呈 二角 口 工 。 轶 。 巷道 周边位 移及塑性 区 图 感 ‘︸、，， 一压 ﹄，心丈 ， ‘ 周边位 移对比 塑性 区 比较 公 ， 在迭 代过程 中 ， 塑性单 元内擂值 系数 不等 于零 。 在理想 塑性计算 中 ， 犷 值很 小 但 在软化计算 中 ， 犷 值较大 ， 为 。 。 一 不等 。 随 着 迭 代进 行 ， 犷 值 越 来越 小 。 结果 应

力在界面上的误荣（就图3小R点而言）如表1：其中第8次荷截伽入前尚未屈服，放1到 6级未列入此表。 表1相对于界面的误差 Table 1 Error related to bounding surface 背软增且次序 7891011121314151617181920 荷找比例% 51443333222222 Fi×10-2-4.96.48.72.4-3.1-3.4-9.5-0.2-3.7-3.9-4.0-4.0-4.0-4.0 结果表明：这种解法结合界面漂移校正法能较好地使位力收敛于界面上，其识差均小于 允许误差0.2%√2〔4)，达到了预期的月的。为了进一步减小误差，令单元收敛在界面的 误差不大于0.015，结果迭代次数增加了许多，但应力相差其小。值得指H的是在约束边界 处的软化单元很难保证有这么，小的误差、如图3中A点。 6结 论 本文从建立软化本构方程出发，分析研究了软化问题的有限元解法，清楚地知道能正确 有效地解决软化问题的有限元解法只有初应力法。从而回答了软化问题可以用有限元方法求 解。 改进了初应力法后，结果迭代次数比未改进前有明显地减少，迭代次数随塑性区的扩大 而不断显著地增加。因此，荷载级数很多。 在每级荷载增量迭代后，由于应力不满足一致条件，分析比较了6种校正方法后，采用 Nayak等校正法，简单而有效地保证了应力收敛于界面上，其误差均小于允许的误差。 自编的EPSF程序可以分析巷道、采场、矿柱、边坡答工程的渐进破坏问题。本文对金 川巷道计算表明：考虑软化问题后，共结果与理想！塑性：情况不同了，位移和塑性区更大了， 软化内周向应力更小了。 致谢：表心地遮谢指导、支持和怀助本文工作的下学载数授、乔瑞牧授和井“如老师。 参考文献 1吴正忠.金川：岩土软化啪塑性有限元分析和VCR法采过程的数值模拟.北 京钢铁学院采矿系论文资料.1986 2 Nayak G C.et al.Int.J.Num.Meth.Eng.1972:5(1):113 3 4th Int.Conf.on Num.Meth.in Geomech.,1982.(a)Chambon R:123: (b)Fuh G F:151;(c)Matsumoto T and Ko 1I Y:213:(d)Yuritzinn T et al:635 4 Thomas J \Int.J.Num.Analyt.Meth.Geomech.1984;8(4) 5 Lo K Y,Lec C F,Geotech.1973:23(1) 6 3rd Inl.Conf.on Num.Meth.in Geomech.,Aachen,Germany,1979.(a) Gudehus G et al:319;(b)Borsrtto M,Ribacch:661;(c)Pariscan W G 300

力在界面 卜的 误 差 就 图 ‘卜 点而 言 如 表 级 未 列 入此表 。 终 ， ，第 次荷 栈 如 入前 尚未 屈 服 ， 故 到 裹 相对 于界 面 的误 差 一 苛载 增 聂次 序 荷载 比 例 肖 一 一 。 。 。 。 一 。 一 。 一 。 一 。 一 。 一 。 一 。 一 。 一 魂 。 一 。 结 果表 明 这 种解法结合界 面 漂移校 正 法 能 较好地 使应 力收敛 于界面上 ， 其 误差 均小 于 允许误差 · 了 〔 ‘ 〕 ， 达 到 了预 期 的 目的 。 为 了进 一步减 小 误差 ， 令单元收敛 在界 面的 误 差 不大 干 ， 结果迭 代 次数增 加 许多 ， 但 应 力 相差 甚 小 。 值得指 出的是 在 约束边界 处 的软 化 单元 很难保 证 有这么 小 的误 差 ， 如 图 中 点 。 结 论 本 文从 逮立软化本构方程 出发 ， 分析研究 了软化 问题 的有限元解法 ， 清楚地知道能 正 确 有 效地解 决软化问题 的有限 元解法 只 有初应 力法 。 从 而 回答 了软化 问题 可以 用 有限 元方法求 解 。 改进 了初应 力法后 ， 结果迭 代次数 比 未改进前 有明 显地减少 ， 迭 代 次数随塑 性 区的扩大 而 不断显著地增 加 。 因此 ， 荷载级数很多 。 在 每 级荷载增 量迭 代 后 ， 由于应 力不 满足 一致 条件 ， 分 析比较 了 种校正 方法后 ， 采 用 等校正 法 ， 简单 而 有效 地保证 了应力收敛 于界面上 ， 其 误差 均小于 允许 的误 差 。 自编 的 程 序 可以分析 巷道 、 采 场 、 矿 柱 、 边 坡 等工程 的渐进破坏 问题 。 本文对金 川 巷道 计算表 明 考虑软 化 问题 后 ， 共 结 果 与理 想 塑 性情 况 不 同 了 ， 位移和 塑 性 区更大 了 ， 软 化 区内 周向应 力更 小 了 。 致 谢 衷心地感谢 指导 、 戈持 和 帮助 本文工 作 的 一 学 馥 教 授 、 乔瑞 教 授 和 井 ， ‘ 如 老 师 。 参 考 文 做 吴 玉 忠 金 川 几犷 兴上 软 化弹 塑 性 ’ 限 元 分析和 法 回 采过程 ‘ ，的数 依模拟 北 京钢 铁 学院 柔矿 系论 文资幸 入 手 阴 。 陀 夕 「 。 ， 。 一 一 ， ” 川 ， ， ， 、 卜 ， 气 ， · ， 一 〕 、 。 、 入 ， 之 、 从 产

7 Argyris J li,Scharpf D I:.固体力学中的有限元素法.北京：科学版社.（冯 钟越译).1977：166 8 Desai C S,Abel J F.Introduction to the Finite Elcment Method,Van Nostrand Reinhold.New York.1972 9 Owen D R.J,Hinton E.Finite Elements in Plasticity:Theory and Practicc.Pineridge Press,Swansea.1980 10 Polis D M.et a!.Int.J.Num.Analyt.Meth.Geomech.1985;9(1): 149 0s0u的59196690tGt5099的uE659e50e5950里0C990s0509个c00E605g20tt09t6g509050g 控制转差率的异步电动机变频调速系统 北京科技大学、首钢带厂，保延整流器厂于1986年41开始联合研制控脚转差频苹的 笼形异步电动机变频调速系统，同年12月研制成功，容量为50VA。1987月1月完成现场 调试，并当即投入酸洗生广线上使用。运行一年表明：安全可靠，维护方便，经济效益明 显，显示和证明了笼形电机调速应用于恶劣环境中的优越性。 该系统是采用电流型变频器的转差控制方式，其主要特点性能指标如下： (1)系统构成简单，维护和操作方便，在较宽的速度控制范围内可平滑无级的调节笼形 电机的转速。 (2)能够有效地抑制因偶然换流失蚊而导致的短线故障。 (3)能在重载下低颍启动，须繁启制动，能承受负载冲击。 (4)性能指标与直流调速系统相似：超调量6%=10~4%，起初时间t。<1.5s。突 负载扰动时动态指标：动态速降1%<5%，动态恢更时间t<0,5s。静态指标：调速范 围D=1:20。 该系统提高了产品的质量和产量，大量节省了维修和更新设备的费用，减轻」工人的劳 动强度，每条生产线年经济效益为12万元。 系统适用于多种生产工艺的要求，有广泛的推广应用前景。 系统在控制转弟频率的笼形异步电动机变频调速方面达到国际先进技术水平，在国内应 用于工业生产中属首次。 301

叮 ， 州 固体力学 中的有限 元素法 北 京 科 学 出版社 冯 钟 越译 ， 人 入 ， 一 之 从 一 、、 尺 ， 于 · 〕 少 一 。 ， 从 。 人侄 。 。 。 ，， 。 。 ，， 石 。 控 制转差率的异步电动机变频调速系统 匕京科技大 学 、 首钢 带 钢厂 ， 保 定整 流器厂 于 年 」 讨开始联 合研制 控制转差 频 率 的 笼形异步 电动 机 变频调速 系统 ， 同年 月研制 成功 ， 容量 为 。 月 月完 成现 场 调试 ， 并 当即 投 入 酸洗 生 产线上 使 用 。 运行 一年 表 明 安全 可 靠 ， 维护方 埂 ， 经 济 效 益 明 显 ， 显示 和证 明 了笼形 电机 调速 应 用于 恶 劣 环境 中的优越性 。 该系统是采 用 电统 型 变频器 的转差控制方 式 ， 其主要 特点 和性能指标如 下 系统 构成简单 ， 维护和操 作方 便 ， 在较宽 的速 度控制范围 内可乎滑无 级 的调节 笼形 ，也机 的转速 。 能 够 有 效 地抑 制 因偶 然 换 流失 败而 浮致 的短线 故障 。 能在 重 载下低 频启动 ， 可频繁启 制动 ， 能 承 受 负载 冲击 。 性能 指 标 与直 流调速系统 相似 超调量 一 ， 起初 时 间 。 。 失 加 负载扰动 时动 态指标 动 态速降刀 。 ， 动 态恢复时 间 匀 。 静 态 指标 调 速范 围 。 该系统提 高 了产 品 的质量和产量 ， 大 量节省 了维修 和更新设 备 为费用 ， 减 轻 犷工 人 的劳 动 强度 ， 每 条 生产线年经济效益为 万元 。 系统适用 于多 种生产工 艺 的要 求 ， 有广泛的推广应用前景 。 系统 在控制转差频率 的笼形 异步 电动机 变频 调 速 方面达到 国际先 进技术 水平 ， 在 国内应 用于工 业 生产 中属首 次