第五章 时变电躐场
第五章 时变电磁场
主要内容: 本章在介绍法拉第电磁感应定律及位移电流假 说之后,导出麦克斯韦方程组和它在电磁边界上的 形式,再由麦克斯韦方程组的限定形式,导出坡印 廷定理及波动方程;在引入动态位的概念之后,导 出动态位所满足的达朗贝尔方程,并通过其解的物 理意义,引入滞后位;在介绍时谐场的复数表示之 后,介绍麦克斯韦方程组、坡印廷定理、波动方程 及达朗贝尔方程的复数形式。最后,介绍电与磁的 对偶性
主要内容： 本章在介绍法拉第电磁感应定律及位移电流假 说之后，导出麦克斯韦方程组和它在电磁边界上的 形式，再由麦克斯韦方程组的限定形式，导出坡印 廷定理及波动方程；在引入动态位的概念之后，导 出动态位所满足的达朗贝尔方程，并通过其解的物 理意义，引入滞后位；在介绍时谐场的复数表示之 后,介绍麦克斯韦方程组、坡印廷定理、波动方程 及达朗贝尔方程的复数形式。最后，介绍电与磁的 对偶性
51法拉第电磁感应定律 法拉第电磁感应定律 感应电动势:法拉第发现当穿过导体回路的磁 通量发生变化时,回路中就会出现感应电流,表明 此时回路中存在电动势,这就是感应电动势。 著名的法拉第电磁感应定律:法拉第发现进一步 的研究发现,感应电动势的大小和方向与磁通量的 变化有密切关系。 当通过导体回路所围面积的磁通量发生变化时 回路中就会产生感应电动势￡m,其大小等于磁通量 的时间变化率的负值,方向是要阻止回路中磁通量
5.1 法拉第电磁感应定律 一、 法拉第电磁感应定律 感应电动势：法拉第发现当穿过导体回路的磁 通量发生变化时，回路中就会出现感应电流，表明 此时回路中存在电动势，这就是感应电动势 。 著名的法拉第电磁感应定律：法拉第发现进一步 的研究发现，感应电动势的大小和方向与磁通量的 变化有密切关系。 当通过导体回路所围面积的磁通量 发生变化时 回路中就会产生感应电动势 ，其大小等于磁通量 的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量 in
的改变, d④ dt (5-2) 式中负号即表示回路中感应电动势的作用总是要阻 止回路中磁通量的变化。这里已规定:感应电动势 的正方向和磁力线的正方向之间存在右手螺旋系 设任意导体回路围成的曲面为,其单位法向矢量为, 如图51所示。 图5-1感应电动势的正方向和磁通的方向
的改变，即 (5-2) 式中负号即表示回路中感应电动势的作用总是要阻 止回路中磁通量的变化。这里已规定：感应电动势 的正方向和磁力线的正方向之间存在右手螺旋系。 设任意导体回路围成的曲面为，其单位法向矢量为， 如图5.1所示。 图5-1 感应电动势的正方向和磁通的方向 d d in t = − B n s C
回路附近的磁感应强度为,穿过回路的磁通中=∮BS 于是(52)可以写成cn=-.B8S (5-3) 法拉第电磁感应定律的积分与微分形式 从一般意义上讲,电流是电荷的定向运动形成的, 而电荷的定向运动往往是电场力对其作用的结果。 所以,当磁通量发生变化时导体回路中产生感应电 流,这一定预示着空间中存在电场。这个电场不是 电荷激发的,而是由于回路的磁通量发生变化而引 起的,它不同于静电场。当一个单位正电荷在电土 力的作用下绕回路c一周时,电场力所做的功为 ∮Emnd它等效于电源对电荷所做的功,即电源电动 势。此时电源电动势就是感应电动势Em,有
回路附近的磁感应强度为，穿过回路的磁通 于是（5-2）可以写成 （5-3） 二、法拉第电磁感应定律的积分与微分形式 从一般意义上讲，电流是电荷的定向运动形成的， 而电荷的定向运动往往是电场力对其作用的结果。 所以，当磁通量发生变化时导体回路中产生感应电 流，这一定预示着空间中存在电场。这个电场不是 电荷激发的，而是由于回路的磁通量发生变化而引 起的，它不同于静电场。当一个单位正电荷在电场 力的作用下绕回路c一周时，电场力所做的功为 它等效于电源对电荷所做的功，即电源电动 势。此时电源电动势就是感应电动势 , 有 d S = B S d d d in S t = − B S d in C E l in
E.dl C (5-4) 式(53)B.右边的表示穿过面积s的磁通量随 时间的变化率,而磁通量变化的原因可以归结为两 个:回路静止(既无移动又无形变),磁场本身变 化;磁场不变,回路运动(包括位移和形变) 1法拉第电磁感应定律的积分形式 当回路静止时,磁通量的变化是因磁场随时间 变化而引起的,时间导数a可以换成时间偏导数c 并且可以移到积分内,故有 B E.·d ds (5-5)
（5-4） 式（5-3） 右边的表示穿过面积s的磁通量随 时间的变化率，而磁通量变化的原因可以归结为两 个：回路静止（既无移动又无形变），磁场本身变 化；磁场不变，回路运动（包括位移和形变）。 ❖ 1.法拉第电磁感应定律的积分形式 当回路静止时，磁通量的变化是因磁场随时间 变化而引起的，时间导数 可以换成时间偏导数 ， 并且可以移到积分内，故有 (5-5) d in in C = E l S t B dS d d dt d t d d in C S t = − B E l S
小2.法拉第电磁感应定律的微分形式 利用斯托克斯公式乎4d=VxAS并考虑到回路 c(或面积s)的任意性,得 aB V×E.= (5-6) 这就是,是时变场的一个基本方程,同时也是麦克 斯韦方程组中的一个方程。对法拉第电磁感应定律 的解释: ◆式中的电场强度E是因磁场随时间变化而 激发的,称为感应电场。 ◆感应电场是有旋场,其旋涡源为B,即磁场随 时间变化的地方一定会激发起电场,并形成旋涡状
❖ 2. 法拉第电磁感应定律的微分形式 利用斯托克斯公式， 并考虑到回路 c(或面积s)的任意性，得 (5-6) 这就是，是时变场的一个基本方程，同时也是麦克 斯韦方程组中的一个方程。对法拉第电磁感应定律 的解释： ♠ 式中的电场强度 是因磁场随时间变化而 激发的，称为感应电场。 ♠ 感应电场是有旋场，其旋涡源为 ，即磁场随 时间变化的地方一定会激发起电场，并形成旋涡状 d d C S = A l A S in t = − B E Ein t − B
的电场分布。故又称E为涡旋电场。 ◆式(5-6)虽然是对导体回路得到的,但是它对任意 回路(不一定有导体存在)同样成立 ◆当磁场随时间的变化率为零时,有wxEn=0,这与静 电场所得的形式完全相同,因此静电场实际上是时 变电场的特殊情况。 如果空间中还存在静止电荷产生的库仑电场E。, 则总电场为E=En+E。,这时 B Edl=中(En+E)d .ds (5-7) VXE=VX(En+E=VXE B (5-8)
的电场分布。故又称 为涡旋电场。 ♠ 式（5-6）虽然是对导体回路得到的，但是它对任意 回路（不一定有导体存在）同样成立。 ♠ 当磁场随时间的变化率为零时，有 ,这与静 电场所得的形式完全相同，因此静电场实际上是时 变电场的特殊情况。 如果空间中还存在静止电荷产生的库仑电场 , 则总电场为 ，这时 （5-7） （5-8） Ein 0 = Ein E c E E E = + in c d ( ) d d in c C S C t = + = − B E l E E l S ( ) in c in t = + = = − B E E E E
当导体回路C以速度运动ν时,利用关系式=+ 和ⅴB=0,可以得到 d aB B·dS dS+中(B×v)·dl (5-9) 等式右边的两个积分分别对应着磁场变化和导体运 动的贡献。当磁场不随时间变化时,有 E dl=_d bds (v×B)·dl (5-10) 比较等式两边,E==B。得当导体在磁场中运动 时,其内部的电荷随之运动,导体中电荷受到的洛 伦兹力为F=q×B。显然,导体中的感应电场实际上 是导体中单位电荷所受的洛仑兹力,同时也可以说 明,感应电场是由于电荷在磁场中运动而形成的
♠ 当导体回路 以速度运动 时，利用关系式 和 ，可以得到 （5-9） 等式右边的两个积分分别对应着磁场变化和导体运 动的贡献。当磁场不随时间变化时，有 （5-10） 比较等式两边， 。得当导体在磁场中运动 时，其内部的电荷随之运动，导体中电荷受到的洛 伦兹力为 。显然，导体中的感应电场实际上 是导体中单位电荷所受的洛仑兹力，同时也可以说 明，感应电场是由于电荷在磁场中运动而形成的。 C v d dt t = + v B = 0 d d d ( ) d d S S C t t = + B B S S B v l d d d ( ) d C S C dt = − = E l B S v B l v B F E = = q F = qv B
5.2位移电流 矛盾分析: ★静态下:VxE=0, ★★非静态下:ⅴxE=-(法拉第电磁感应定律所揭 示的一个极为重要的龟磁现象一变化的磁场可以激 发电场)。 ★静态下,安培环路定律ⅴ×H=J ★★非静态下,安培环路定律是否也有所变化呢?如 果发生变化,又会产生什么物理现象呢? ★★非静态情况下,∞≠0再由电荷守恒定律ⅴ.J+0=0 得V.J≠0(这一个结果是由电荷守恒定律得到的,而 电荷守恒定律是大量试验总结出的普遍规律,显然这
5.2 位移电流 矛盾分析: ★静态下: ， ★★非静态下: (法拉第电磁感应定律所揭 示的一个极为重要的电磁现象—变化的磁场可以激 发电场)。 ★静态下，安培环路定律 ， ★★非静态下，安培环路定律是否也有所变化呢？如 果发生变化，又会产生什么物理现象呢？ ★★非静态情况下, 再由电荷守恒定律 得 （这一个结果是由电荷守恒定律得到的，而 电荷守恒定律是大量试验总结出的普遍规律，显然这 E = 0 t = − B E H = J 0 t = 0 + t J J 0