第三章量子力学中的力学量 ◆§1算符的运算规则 ◆§2动量算符和角动量算符 ◆53电子在库仑场中的运动 54氢原子 55厄密算符的本征值与本征函数 ◆56算符与力学量的关系 ◆57共同本征函数 ◆58测不准关系
第三章 量子力学中的力学量 ◆ §1 算符的运算规则 ◆ §2 动量算符和角动量算符 ◆ §3 电子在库仑场中的运动 ◆ §4 氢原子 ◆ §5 厄密算符的本征值与本征函数 ◆ §6 算符与力学量的关系 ◆ §7 共同本征函数 ◆ §8 测不准关系
§1算符的运算规则 (-)算符定义 (二)算符的一般特性
（一）算符定义 （二）算符的一般特性 §1 算符的运算规则
(-)算符定义 代表对波函数进行某种运算或变换的符号 由于算符只是一种运算符号,所以它单独存 在是没有意义的,仅当它作用于波函数上, 对波函数做相应的运算才有意义,例如: Ou=V 表示0把函数 u变成v 1)du/dx=V 2)xU=v, 0就是这种变 换的算符
代表对波函数进行某种运算或变换的符号 Ô u = v 表示 Ô 把函数 u 变成 v， Ô 就是这种变 换的算符。 1）du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。 2）x u = v， x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。 由于算符只是一种运算符号，所以它单独存 在是没有意义的，仅当它作用于波函数上， 对波函数做相应的运算才有意义，例如： （一）算符定义
(二)算符的一般特性 (1)线性算符 (7)逆算符 (2)算符相等 (8)算符函数 (3)算符之和 (9)复共轭算符 (4)算符之积 (10)转置算符 (5)对易关系 (11)厄密共轭算符 (6)对易关系 (12)厄密算符
（7）逆算符 （8）算符函数 （9）复共轭算符 （10）转置算符 （11）厄密共轭算符 （12）厄密算符 （二）算符的一般特性 （1）线性算符 （2）算符相等 （3）算符之和 （4）算符之积 （5）对易关系 （6）对易关系
满足如下运算规律的 (1)线性算符算符0称为线性算符 o(c1屮1+c2少2)=c1oψ1+c2Oψ2 动量算符p=-iV 其中C1,C2是任意复常数 中1,中1是任意两个波函数。 例如:单位算苷1 是线性算符。 (2)算符相等 若两个算符0、0对体系的任何波函数ψ的运算结果都相 同,即o=0,则算符O和算符0相等记为O=0
（1）线性算符 Ô(c1ψ1+c2ψ2 )= c1Ôψ1+c2Ôψ2 其中c1 , c2是任意复常数， ψ1 , ψ1是任意两个波函数。 满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符 （2）算符相等 若两个算符 Ô、Û对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ôψ= Ûψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û。 是线性算符。 单位算符 动量算符 I p i ˆ ˆ = − 例如： 开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映
(3)算符之和 若两个算符O、0 对体系的任何波函数ψ有: H=T+ 表明 (O+UY=Oy+ Uy Ey Hmin带月等于则0+6=称为算符之和 体系动能算和 势能算之和。 例如:体系 Hamilton算符 注意,算符运算没有相减,因为减可用加来代替。 O-U=0+(-U)。 很易证明线性算符之和仍为线性算符
（3）算符之和 若两个算符Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê称为算符之和。 显然，算符求和满足交换率和结合率。 势能算符 之和。 体系动能算符 和 算 符 等 于 表 明 V T Hamilton H H T V ˆ ˆ ˆ ˆ = ˆ + ˆ 例如：体系Hamilton 算符 注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô－Û = Ô +（－Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符
(4)算符之积 若0(0v)=(OU)v=Ev 则00=E其中v是任意波函数 一般来说算符之积不满足 交换律,即 OU≠Uo (5)对易关系 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处 若00≠00,则称O与0不对易。 例如:算持证:(1)=x(-川=-ixy (2) ry=(ih a)xy =-ihy-ihx a y ih x≠Pxx 不对易。 xpx-prx) y 是任波巫数 显然二者结果不相等,所以 所以、-px=i 对易 关系
（4）算符之积 若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。 一般来说算符之积不满足 交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。 （5）对易关系 若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称Ô 与 Û 不对易。 不对易。 例如：算符 = − x x p i x ˆ xpx x i x i x x 证： (1) ˆ = (− ) = − 显然二者结果不相等，所以: xp p x i xp p x i xp p x x x x x x x − = − = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 所 以 因 为 是任意波函数， （ ） 而 px x i x x i i x x (2) ˆ = (− ) = − − 对易 关系
同理可証其咆坐标将 Pp PBa = in8 aB 与共軛动量满异 aPB B ∫,-P,y=D与成通式>a,B=x, 乙-P2z=边 量子力学中最基本的 但是坐标算符与其非轭动量 对易关系。 对易,各动量之间相互对易。 -x=0m一=0中一2=0 若算符满足 -x=0:一=01列,-z=0 则称和 0p2p-pP2=0 注意:当0与0对易,0与E对易,不能推知O与E对易与否 例如: (D)P:与D,对易,P与x对易,但那句x不对易 (D)p句p,对易,P,与z对易,而与对易
− = − = zp p z i yp p y i z z y y ˆ ˆ ˆ ˆ 与共轭动量满足 同理可证其它坐标算符 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 − = − = − = − = − = − = − = − = − = x y y x y z z y z x x z y y x x z z x x z z y y p p p p p p p p p p p p zp p z zp p z yp p y yp p y xp p x xp p x x y z p p p p x p p x i , , , ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ = − = − = 量子力学中最基本的 对易关系。 与 对易， 与 对易，而 与 对易。 与 对易， 与 对易，但是 与 不对易； II p p p z p z I p p p x p x x y y x x y y x ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ 若算符满足 ÔÛ = - ÛÔ， 则称 Ô 和 Û 反对易。 写成通式: 但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。 注意： 当Ô 与 Û 对易，Û 与 Ê 对易，不能推知 Ô 与 Ê 对易与否。 例如：
(6)对易括号为了表速简洁,运算便利和研究子 对易括号:10,U=00-00 这样一来 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式: Ixa,pBl=inda 不难证明对易括号满足如下对易关系 1)|O,U=-[U,o 2)O,U+E=O, U+O, E 3)O,UE=O,UE+UIO,E 4)O, JU,EI+ U,E, Ol+E,lO,Ul=0 上面的第四式称为 Jacobi恒等式
（6）对易括号 为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ 这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式： 不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0 上面的第四式称为Jacobi 恒等式。 [x , p ˆ ] = i 返回
(7)逆算符 1定义:设Ov=q,能够唯一的解出 V,则可定义 算符0之逆O1为: 并不是所有算符都存 在逆算符例如投影 01= 算符就不存在逆 2性质上若算符O之逆O1存在,则 001=01o O1=0 证:v=Olp=O1(oy) 00 Ow 因为ψ是任意函数所以O10=成立同理,OO1=I 亦成立 3性质I若O,U均存在逆算符, 则(OU)1=01O1
（7）逆算符 1. 定义: 设Ôψ= φ, 能够唯一的解出 ψ, 则可定义 算符 Ô 之逆 Ô-1 为: 并不是所有算符都存 Ô-1 φ = ψ 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆. 2.性质 I: 若算符 Ô 之逆 Ô-1 存在,则 Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1 ] = 0 证: ψ = Ô-1φ = Ô-1 (Ô ψ) = Ô-1 Ô ψ 因为ψ是任意函数,所以Ô-1Ô = I成立. 同理, Ô Ô-1 = I 亦成立. 3.性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1
