国第五章连续统的复频域分析 第5章连续系统的复频域分析 5.1单边拉普拉斯变换 5,2拉普拉斯变换的性质 53拉普拉斯反变换 5.4线性系统的拉氏变换分析法 55连续时间系统函数与系统特性 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第五章 连续系统的复频域分析 第5章 连续系统的复频域分析 5.1 单边拉普拉斯变换 5.2 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯反变换 5.4 线性系统的拉氏变换分析法 5.5 连续时间系统函数与系统特性
国第五章连续统的复频域分析 51单边拉普拉斯变换 在前一章中,用傅里叶变换可以将信号映射至频率 域引出了信号与系统的频域分析法。信号如果满足狄 里赫莱条件,即信号绝对可积,则信号的傅里叶变换存在。 ∫W(olt (5-2) 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第五章 连续系统的复频域分析 5.1 单边拉普拉斯变换 在前一章中,用傅里叶变换可以将信号映射至频率 域,引出了信号与系统的频域分析法。信号如果满足狄 里赫莱条件,即信号绝对可积,则信号的傅里叶变换存在。 f t dt ( ) − = （5 ―2）
国第五章连续统的复频域分析 5.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换 信号f(t)之所以不满足绝对可积的条件,是由于当 →∞或t→-∞时,(t)不收敛,即 lim f(t)≠0 (5-2) Nes t>0 t<0 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第五章 连续系统的复频域分析 5.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 信号f(t)之所以不满足绝对可积的条件,是由于当 t→∞或t→-∞时,f(t)不收敛,即 lim ( ) 0 t f t → （5―2） 0 ( ) 0 bt at e t f t e t =
国第五章连续统的复频域分析 FL/(e]=f(e ol e /odt=f()elatjo'dt(5-3) 它是0+j的函数,可以写成 F(σ+jo) ∫ f(te otyoldt (5-4) F(0+j)的傅里叶反变换为 f(t)e=F[F(σ+jo)= F(o+jo)edo (5-5) 2丌 将上式两边乘以e得到 f(t) F(σ+jo)e -(σ+jo)t (5-6) 丌 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第五章 连续系统的复频域分析 ( ) ( ) 1 ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) [ ( )] ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 t t j t j t j t t j t j t F f t e f t e e dt f t e dt F j f t e dt f t e F F j F j e d f t F j e d − − − − + − − − + − − − − − + − = = + = = + = + = + 它是σ+jω的函数,可以写成 F(σ+jω)的傅里叶反变换为 将上式两边乘以eσt得到 （5―3） （5―4） （5―5） （5―6）
国第五章连续统的复频域分析 可见式(5-4)和式(5-6)构成一对积分变换。 为了使表述更为简洁,令s-0+j0为复频率,从而ds=jdo, 0=±∞时S=±j∞,于是式(5-4)可改写为 F(s)=f(t)e-dt (5-7) 式(5-6)可改写为 f(t) F(s) di (5-8) 2丌j f(1)<>F(s) (5-9) 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第五章 连续系统的复频域分析 可见式（5―4）和式（5―6）构成一对积分变换。 为了使表述更为简洁,令s=σ+jω为复频率,从而ds=jdω,当 ω=±∞时,s=σ±j∞,于是式（5―4）可改写为 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2 st st j F s f t e dt f t F s e dt j − − − = = 式（5―6）可改写为 （5―7） （5―8） ( ) ( ) L f t F s （5―9）
国第五章连续统的复频域分析 由于实际物理系统中的信号都是有始信号,即t<0 时,(t)=0以及信号虽然不起始于七=0而问题的讨论只 需考虑忪0的部分,在这种情况下,式(5—7)可以改 写为 F(s)= f(test (5-10) 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第五章 连续系统的复频域分析 由于实际物理系统中的信号都是有始信号,即t<0 时,f(t)=0以及信号虽然不起始于t=0而问题的讨论只 需考虑t≥0的部分,在这种情况下,式（5―7）可以改 写为 0 ( ) ( ) st F s f t e dt − − = （5―10）
国第五章连续统的复频域分析 5.1.2拉氏变换的收敛域 可以证明,当信号是指数阶函数时,其拉氏变换存在 所谓指数阶函数,即满足以下条件 limf(t)e=0o取值于某实数区间(5-1) t→)0 (5-12) 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第五章 连续系统的复频域分析 5.1.2 拉氏变换的收敛域 可以证明,当信号是指数阶函数时,其拉氏变换存在。 所谓指数阶函数,即满足以下条件 lim ( ) 0 t t f t e− → = σ取值于某实数区间 （5―11） 0 lim ( ) 0, t t f t e − → = （5―12）
国第五章连续统的复频域分析 例5--1试求下列信号的拉普拉斯变换,并确定收敛域。 (1) f(t=et (2)f2(t)=u(t) (3)f()=e21u(t)2(4)f(t)=e2u(t) 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第五章 连续系统的复频域分析 例5―1试求下列信号的拉普拉斯变换,并确定收敛域。 （1）f1 (t)=et2 ; （2）f2 (t)=u(t); （3）f3 (t)=e-2t·u(t); （4）f4 (t)=e2t·u(t)
一⑤总第五章连续条统的复频城分析 JO JO 图51例5-1图 (a) f2 (s roc.(b) f3 (s roc(c) f4(s roc 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第五章 连续系统的复频域分析 图5.1 例5―1 （a）F2（s）ROC;（b）F3（s）ROC;（c）F4（s）ROC 0 0 0 2 (a) (b) (c) － 2 j j j
第五章连续糸统的复频域分 5.1.3常用信号的拉氏变换 下面给出一些常用信号的拉普拉斯变换(假定这 些单边信号均起始于七0时刻)。 1)冲激信号8(t) LD6(D)=6(1)ed (t)t=1 (5-13) 2)阶跃信号u(t) Llu(tI Jo u(oe (5-14) 3)指数函数信号e-at [e -]ele-=I (5-15) s+a 4)t的正幂信号t,(n为正整数) LIt]= t"e-st 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第五章 连续系统的复频域分析 5.1.3 常用信号的拉氏变换 下面给出一些常用信号的拉普拉斯变换（假定这 些单边信号均起始于t=0时刻)。 1）冲激信号δ(t) 2）阶跃信号u(t) 0 0 [ ( )] ( ) ( ) 1 st L t t e dt t dt − − = = = 0 0 0 1 [ ( )] ( ) 1 [ ] [ ] st st at st n n st L u t u t e dt s L e e e s L t t e dt − − − − − = = = = + = 3）指数函数信号e -αt 4）t的正幂信号t n ,（n为正整数） （5―13） （5―14） （5―15）