国第4章连续角统的频域分析 第4章连续系统的频域分析 4.1信号的正交分解与傅里叶级数 4.2信号的频谱 43傅里叶变换的性质 44线性非时变系统的频域分析 45傅里叶变换计算机模拟举例 Back 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第4章 连续系统的频域分析 第4章 连续系统的频域分析 4.1 信号的正交分解与傅里叶级数 4.2 信号的频谱 4.3 傅里叶变换的性质 4.4 线性非时变系统的频域分析 4.5 傅里叶变换计算机模拟举例
国第4章连续角统的频域分析 41信号的正交分解与傅里叶级数 41.1信号的正交分解 数学上给定条件下的函数可展开为由某种基本函 数形式所构成的一组多项式,例如函数的泰勒级数展开 式。信号是随时间变化的函数在一定条件下也可展开 成这样一组多项式。这就是信号的分解用式(4-1) 描述: f()=∑c9()(in为整数) 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第4章 连续系统的频域分析 4.1 信号的正交分解与傅里叶级数 4.1.1 信号的正交分解 数学上给定条件下的函数可展开为由某种基本函 数形式所构成的一组多项式,例如函数的泰勒级数展开 式。信号是随时间变化的函数,在一定条件下也可展开 成这样一组多项式。这就是信号的分解,用式（4―1） 描述: 1 ( ) ( ) n i i i f t c t = = (i,n为整数) （4―1）
国第4章连续角统的频域分析 当上述函数集中任意两个函数o(t)9()之间在区间 0i≠ P, (t)o, (t)dt (k为与之有关的常量) 例如,三角函数集 l,cosg2t;cos2gt,…, cosmet,…, sinat,sin2gt,…, sinnet,} 在区间(tnt4+T)(式中T=22)组成正交函数集而且 是完备的正交函数集。这是因为 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第4章 连续系统的频域分析 当上述函数集中任意两个函数φi (t),φj (t)之间,在区间 例如,三角函数集 ｛1,cosΩt,cos2Ωt,…,cosmΩt,…,sinΩt,sin2Ωt,…,sinnΩt,…｝ 在区间（t0 ,t0+Ｔ）(式中T=2π/Ω)组成正交函数集,而且 是完备的正交函数集。这是因为 2 1 0 ( ) ( ) t i j t i i j t t dt k i j = = （ki为与之有关的常量） （ 4―2 ）
国第4章连续角统的频域分析 0m≠n to+r cos Qt.cos Qdt=T/2 m=n+0 T m=n=o m≠n sinΩ2 tsin odt T/2m=n≠0 to+r sin etcosΩdt=0 o 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第4章 连续系统的频域分析 0 0 0 0 0 0 0 cos cos / 2 0 0 0 sin sin / 2 0 sin cos 0 t T t t T t t T t m n t dt T m n T m n m n t dt T m n t dt + + + = = = = = = = (4―3)
国第4章连续角统的频域分析 即三角函数集满足正交性式(4-2),因而是正交 函数集。其完备性这里不去讨论。 对于调幅信号(o=5g) f(t=A(1+BcosQ2)coso (4-4) 利用三角公式2 cosacos=cos(a-B)+cos(a+β)可写为 f(t=Acosot+ 12 ABcos(@-Q2)t+12 ABcos(a+Q2)t(4-5) 式(4-5)即是信号f(t)在三角函数集上的正交分解。 图41中绘出了有关信号的波形。 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第4章 连续系统的频域分析 即三角函数集满足正交性式（4―2）,因而是正交 函数集。其完备性这里不去讨论。 对于调幅信号（ω=5Ω） f(t)=A(1+BcosΩ)cosω (4―4) 利用三角公式2cosαcosβ=cos(α-β)+cos(α+β)可写为 f(t)=Acosωt+ ½ ABcos(ω-Ω)t+½ ABcos(ω+Ω)t(4―5) 式(4―5)即是信号f(t)在三角函数集上的正交分解。 图4.1中绘出了有关信号的波形
国第4章连续角统的频域分析 A(1+B) AB A A(1+B) 4On5060 图41调幅信号及其频谱 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第4章 连续系统的频域分析 图4.1 调幅信号及其频谱 t f (t) A(1＋B) －A(1＋B) A 0 40 50 60 F() A B 2 1 0 (a) (b)
国第4章连续角统的频域分析 41.2傅里叶级数 19世纪初叶法国数学家吉·傅里叶证明:任何正常 的周期为T的函数ft)都可分解为无限个正弦和余弦函 数的代数和。即 ()=2c+2a02n)+22co2nm)(-6 通常称(4-6)式为傅里叶级数。如果已知f(t,则 通过式(4—7)、(4-8)和(4-9)分别求出anbn,c的值。 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第4章 连续系统的频域分析 4.1.2 傅里叶级数 19世纪初叶,法国数学家吉·傅里叶证明:任何正常 的周期为T的函数f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函 数的代数和。即 通常称（4―6）式为傅里叶级数。如果已知f(t),则 可通过式(4―7)、(4―8)和(4―9)分别求出an ,bn ,c的值。 1 1 1 ( ) sin(2 ) cos(2 ) 2 n n n n f t c a nft b nft = = = + + (4―6)
国第4章连续角统的频域分析 a, =Jo f()sin(2rnf )dt (4-7) L f(t) cos(2nf)dt 8) 2 (4-9) T 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第4章 连续系统的频域分析 2 0 2 0 2 0 2 ( )sin(2 ) 2 ( )cos(2 ) 2 ( ) n n a f t nf dt T b f t nf dt T c f t dt T = = = (4―7) (4―8) (4―9)
国第4章连续角统的频域分析 根据三角函数的运算法则,式(4-6)还可写成式(4-10)。 f()=co+∑cos(mon+,) (4-10) C (4-11) a-+ (4-12) tan e (4-13) 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第4章 连续系统的频域分析 根据三角函数的运算法则,式(4―6)还可写成式(4―10)。 0 0 1 0 2 2 ( ) cos( ) 1 2 tan n n n n n n n n n f t c A n t c c A a b a b = = + + = = + = (4―10) (4―11) (4―13) (4―12)
国第4章连续角统的频域分析 式(4-—6还可写为如下形式 f()=c+∑4{cos(not+)+/sin(not+O +[cos(@ot+0)-jsin(n@ t+e)1 +2xA,lcos(noot+0,)+jsin(n@t+m +oA,cos(o t+0)-jsin(noot+0,) Co+23A,[cos(n@ot+0,)+jsin(n@ot+0,) >cos(n@ot+0,)+jsin(n@ot+0,) 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第4章 连续系统的频域分析 式(4―6)还可写为如下形式 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 ( ) {[cos( ) sin( )] 2 [cos( ) sin( )]} 1 [cos( ) sin( )] 2 1 [cos( ) sin( )] 2 1 [cos( ) sin( )] 2 1 [ 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n f t c A n t j n t t j n t c A n t j n t A t j n t c A n t j n t = = = − =− = + + + + + + − + = + + + + + + − + = + + + + + 0 0 cos( ) sin( )] n n n t j n t + + +