§7-3自然法 1.弧坐标形式的运动方程 s=/O)=0 2.自然轴系 (1)曲线的曲率 p=km—曲率半0∥~ k As 平均曲率 k=lim As 一曲率 S
§7-3 自然法 1．弧坐标形式的运动方程 s = f (t) = s(t) 2．自然轴系 (+) （1）曲线的曲率 M M´ s τ τ ´ τ ´ ∆ϕ ∆s ∆s ∆ k ϕ =∗ ——平均曲率 ∆s ∆ k lim ∆s 0 ϕ → = ——曲率 ∆ϕ ∆s k 1 ρ lim ∆s→0 = = O´ ——曲率半径
曲线在P点的密切面形成 任意空间曲线
(2)自然轴系 次法线 法平面 轨迹 主法线 切线 N M 密切面 b=×n
（2）自然轴系 b = τ × n
自然轴系 及其跟随动点在轨迹上的运动 B(副法线) N(主法线 T(切线 ∠ S 工太
3、点的速度 v= lim At→>0At (1)速度的绝对值 lir lir t→)0t4t→0tdr (2)速度的方向 ν沿切线方向 三V 当>0时,ν与τ同向,点沿轨迹正向运动。 当 ds∠0时,v与向,点沿轨迹负向运动
3 、点的速度 ∆t ∆r v lim ∆t→0 = （1）速度的绝对值 dt ds ∆t ∆s lim ∆t ∆r v lim ∆t 0 ∆t 0 = = = → → （2）速度的方向 v 沿切线方向 v τ vτ dt ds = = 当 时 > 0 ，v 与τ 同向，点沿轨迹正向运动。 dt ds 当 时 < 0 ，v 与τ反向，点沿轨迹负向运动。 dt ds
4.点的加速度 d 了+v dt dy d dt dt 切向加速度:反映速度大小随时间的变化率,沿 切线方向 法向加速度:反映速度方向随时间的变化率,沿 法线方向,恒指向曲线凹侧 结论:a=a1+a, n 加速度大小:a=√a2+an2加速度方向:a=ac
4．点的加速度 ( ) dt d v dt dv v dtd dt d τ τ τ v a = = = + a τ τ dt dv = dt dv aτ = ——切向加速度：反映速度大小随时间的变化率，沿 切线方向。 n τ an ρ 2 v dt d = v = ρ 2 v an = ——法向加速度：反映速度方向随时间的变化率，沿 法线方向，恒指向曲线凹侧。 τ n a = a + a 2 n 2 a = a + a τ an a arctg τ = 结论： 加速度大小： 加速度方向： α
几种特殊情况: 1、直线运动 p- 03 2、匀速曲线运动 0 lt 由d=wd,积分得运动方程:S=S0+vt 3、匀变速曲线运动 由d=a,积分得v=vo+a2 又由ds=wd,积分得s=S+v0t+a 由前两式消去时间t,则得 a(s
几种特殊情况： 1、直线运动 a τ dt dv ρ = ∞ 0 = 2 = = ρ v an 2、匀速曲线运动 C dt ds v = = = = 0 dt dv aτ a n ρ2 v = s = s + vt 由ds=vdt，积分得运动方程 0 : C dt dv 3、匀变速曲线运动 aτ = = 由 dv a dt = τ 积分得 v v a t = 0 + τ 2 0 0 2 1 s s v t a t 又由ds=vdt，积分得 = + + τ 由前两式消去时间t，则得 2 ( ) 0 2 0 2 v − v = a s − s
5.小结 自然法适用于描述点沿已知轨迹的运动 (1)运动方程式 s=f()= 2)点的速度 T= ST (3)点的加速度 S =a.+a z+—n τ+-n dt p 讨论 (1)ar少>0,点作加速运动,ar与ν同向 (2)arκ<0,点作减速运动,ar与ν反向
5．小结 自然法适用于描述点沿已知轨迹的运动。 （1）运动方程式 s = f (t) = s(t) （2）点的速度 v τ τ sτ dt ds = v = = （3）点的加速度 a aτ an τ n τ n ρ v dt d s ρ v dt dv 2 2 2 2 = + = + = + 讨论： （1）aτ ·v>0 ，点作加速运动， aτ与v 同向。 （2）aτ ·v<0 ，点作减速运动， aτ与v 反向
例1、半径为r的轮子沿直 线轨道无滑动地滚动(纯滚) 设轮子转角φ=o(为常值), 如图所示。求用直角坐标和弧M0 巫标表示的轮缘上任一点M的 运动方程,并求该点的速度、 C x 切向加速度及法向加速度。 解:取φ=0时点M与直线轨道的接触点O为原点,建立直角 坐标系Oxy(如图所示)。当轮子转过g时,轮子与直线轨道的接 触点为C。由于是纯滚动,有 OC=MC 则,用直角坐标表示的M点的运动方程为 x=oC-O, Msin=r( at-sin at y=0,C-O,Mcos=r(1-cos at 上式对时间求导,即得 ,=x=ro(1-cor儿 v,=y=r@ sin at
例1、 半径为r的轮子沿直 线轨道无滑动地滚动（纯滚）， 设轮子转角ϕ =ωt（ω为常值）， 如图所示。求用直角坐标和弧 坐标表示的轮缘上任一点M的 运动方程，并求该点的速度、 切向加速度及法向加速度。 解：取ϕ =0 时点M与直线轨道的接触点O为原点，建立直角 坐标系Oxy（如图所示）。当轮子转过ϕ 时，轮子与直线轨道的接 触点为C。由于是纯滚动，有 ︵ OC = MC = rϕ 则，用直角坐标表示的M点的运动方程为： = − = − = − = − y O C O Mcos r ( 1 cos ωt ) x OC O Msin r ( ωt sin ωt ) 1 11 ϕ ϕ 上式对时间求导，即得 = = = = − v y rω sin ωt v x rω ( 1 cos ωt ) yx ① ②
M点的速度为 rO √2-2c08m=2osi(0≤o≤2z)③ 取M的起始点O为弧坐标原点,将上式积分,即得用弧坐标表示的运动方程 ot 2rosin-dt=4r 1-cos (0≤Ot≤2) 将式(2)再对时间求导,即得加速度在直角坐标系上的投影 a=x=ro sin at a,=y=ro cos at 4 由此得到全加速度 a+a.·=O 将式(3)对时间求导即得点M的切向加速度 O·t a =v=ro cos 法向加速度 C-c三 ro sin
M点的速度为 (0 2 ) 2 2 2cos 2 sin 2 2 ω π ω = + = ω − ω = ω ≤ t ≤ t v v v r t r x y ③ 取M的起始点O为弧坐标原点，将上式积分，即得用弧坐标表示的运动方程： (0 2 ) 2 4 1 cos 2 2 sin 0 ω π ω ω ω ≤ ≤ = = − ∫ t t dt r t s r t 将式（2）再对时间求导，即得加速度在直角坐标系上的投影： a x r t a y r t x ω sinω y ω cosω 2 2 = = = = ④ 由此得到全加速度 2 y a = a + a = rω 2 2 x 将式（3）对时间求导即得点M的切向加速度 2 cos 2 t a v r ⋅ = = ω τ ω 法向加速度 2 sin 2 2 2 t a a a r n ⋅ = − = ω τ ω ⑤