浙江大学：《金融工程讲义》第五讲 金融期权2

第五章金融期权2 (五)较复杂的垂直价差交易一—蝶状价差( Butterfly Spread) 定义:该策略系由投资者买进两个期权和卖出两个期权所形 成。这些被买进的和被子卖出的期权属于同一个垂直系列,即它 们的到期日相同,标的物相同,只是协定价格不同 B、分类:多头蝶状价差、空头蝶状价差且操作对象可以同是看涨期 权、也可同是看跌期权。这时我们以同是看涨期权为例对蝶状价 差作一系统介绍 多头蝶状价差: 、定义:指投资者买进一个协定价格较低的看涨期权和一个协定价 格较高的看涨期权,同时卖出两个协定价格介于上述两个协定价 格之间的看涨期权 2、盈亏状况分析 不妨设XL、XM、XH分别表示上述买进或卖出的看涨期权的低、介 于中间、高的协定价格;CL、CM、CH分别为相应的期权价格:为简 便设XM=(X1+XH)/2;CL>CM>CH;期权到期时市价为:Sr;总收 益为Y。 C D B A、当Sr=XM时: 买进的协议价较低的看涨期权执行,收益为:Sr-X1-CL 买进的协议价较高的看涨期权不执行,收益为:CH 卖出的两只看涨期权不会被执行,收益为:2C 总收益为:YMAx=XM-XL-(CL+CH-2CM) B、当Sr≤X1或Sr≥XH时: 前者全不执行:买进的两只不执行,收益为:-CL-CH 卖出的两只不会被执行,收益为:2C 总收益为:Y=2CM-(CL+CH) 后者全执行:买进的两只执行,收益为: ( ST- XL -CL)+(ST- XH -CH) 卖出的两只会被执行,收益为 总收益为:Y=2CM-(CL+CH)(条件:XM=(XL+X1)/2) C、当XL<Sr<XM时: 买进价较低的执行,收益为:Sr-X1-CL 买进价较高的不执行,收益为:-CH 卖出的2只不会被执行,收益为:2CM 总收益为:Y=Sr-X1-(CL+CH-2CM) 平衡点:S01=X1+(C1+CH-2CM) 当XH<Sr<XH时 买进价较低的执行,收益为:Sr-X1-CL 买进价较高的不执行,收益为:-CH 卖出的2只会被执行,收益为:-(Sr-XM-CM)*2 总收益:Y=Sr+(2XM-X1)-(CL+CH-2CM) g XM=(XL XH)/2: Y=- ST+ XH-( CL+CH -2CM)

1 第五章 金融期权 2 （五）较 复 杂 的 垂 直 价 差 交 易 — — 蝶 状 价 差( But t er fl y Spread) A、 定 义 ： 该 策 略 系 由 投 资 者 买 进 两 个 期 权 和 卖 出 两 个 期 权 所 形 成 。 这 些 被 买 进 的 和 被 子 卖 出 的 期 权 属 于 同 一 个 垂 直 系 列 ， 即 它 们的到期 日 相 同 ， 标 的 物 相 同 ， 只 是 协 定 价 格 不 同 。 B、 分 类 ： 多 头 蝶 状 价 差 、 空 头 蝶 状 价 差 且 操 作 对 象 可 以 同 是 看 涨 期 权 、 也 可 同 是 看 跌 期 权 。 这 时 我 们 以 同 是 看 涨 期 权 为 例 对 蝶 状 价 差作一系 统 介 绍 。 多头蝶状价差： 1、 定 义 ： 指 投 资 者 买 进 一 个 协 定 价 格 较 低 的 看 涨 期 权 和 一 个 协 定 价 格 较 高 的 看 涨 期 权 ， 同 时 卖 出 两 个 协 定 价 格 介 于 上 述 两 个 协 定 价 格之间 的看涨 期 权 。 2、 盈亏状况 分 析 不妨设 XL 、 X M、 XH 分 别 表 示 上 述 买 进 或 卖 出 的 看 涨 期 权 的 低 、 介 于 中 间 、 高 的 协 定 价 格 ； CL 、 C M、 C H 分 别 为 相 应 的 期 权 价 格 ； 为 简 便 设 X M =（ XL + XH ） /2； CL >CM >C H ； 期 权 到 期 时 市 价 为 ： S T；总收 益为 Y。 B C A D B A、 当 ST= XM 时： XL XM XH 买进的 协 议 价 较 低 的 看 涨 期 权 执 行 ， 收 益 为 ： S T - XL -CL 买进的 协 议 价 较 高 的 看 涨 期 权 不 执 行 ， 收 益 为 ：- CH 卖出的 两 只 看 涨 期 权 不 会 被 执 行 ， 收 益 为 ： 2 CM 总收益为 ： Y M A X = XM - XL -（ CL+CH -2CM） B、 当 ST≤ XL 或 ST≥XH 时 ： 前者全不 执 行 ： 买 进 的 两 只 不 执 行 ， 收 益 为 ： - CL -CH 卖出的两 只 不 会 被 执 行 ， 收 益 为 ： 2 CM 总收益 为 ： Y= 2 CM -（ CL+CH ） 后者全 执 行 ： 买进的 两 只 执 行 ， 收 益 为 ： （ST- XL -CL）+（S T - XH –CH） 卖出的 两 只 会 被 执 行 ， 收 益 为 ： -（ST- XM –CM）*2 总收益为 ： Y =2 CM -（ CL+CH ） （条件 ：X M =（ XL + XH） /2） C、 当 XL <ST<XM 时 ： 买进价较 低 的 执 行 ， 收 益 为 ： S T - XL -CL 买进价较 高 的 不 执 行 ， 收 益 为 ： - CH 卖出的 2 只 不 会 被 执 行 ， 收 益 为 ： 2 CM 总收益为 ： Y = ST- XL -（ CL+ CH -2CM） 平衡点： S0 1 = XL +（CL +C H -2CM） D、 当 XH <ST<XH 时 ： 买进价较 低 的 执 行 ， 收 益 为 ： S T - XL -CL 买进价较 高 的 不 执 行 ， 收 益 为 ： - CH 卖出的 2 只 会 被 执 行 ， 收 益 为 ： - （S T - XM –CM）* 2 总收益： Y =- ST+（2X M - XL ）-（CL +CH -2CM） 当 XM =（ XL + XH） /2： Y= - ST+ XH -（ CL+ CH -2CM）

3、图形(请说明:Y=2CM-(CL+CH)一定是小于零) 4、特点 投资者预测市场行情将会在某一区间内作幅度不大的变化,希望 在这个价格区间内能获利,同时当价格波动超过这个区间时,亏损又 被子限制在一定的范围内。 在多头蝶状价差交易中,投资者的最大利润和最大损失都是有限 的,且是已知的 空头蝶状价差(练习:卖出一高一低的看涨期权,同时买入两份执行价格介 于上述两个执行价格之间的看涨期权。 (六)比率价差 前述的各种垂直价差(牛市、熊市、蝶状价差)都有着这样一个 共同的特点:即投资者买入的期权数与他们卖出的期权数都正好相同。 比率价差( Ratio Spread)则不同。在比率价差交易中,投资者卖出的 期权数将多于他们买入的期权数。仍属于垂直系列期权。 分类:看涨期权比率价差( Ratio call' Spread):看跌期权比率价 差( Ratio Put Spread) 适用于投资者预期标的物的市场价格比较稳定的场合。 下面以看涨期权比率价差为例,对这种价差交易策略作一简述 定义:指投资者买进一定数量的较低协定价格的看涨期权(m 只;X1、C1),而卖出更多数量的较高协定价格的看涨期权(n 只;XL、CL)。这两种看涨期权的标的物相同,到期日也相同 (n>m,市价Sr收益为Y) 2、盈亏状况分析 A 当ST≤XL 买进价低的不执行,收益为:-CL.m 卖出价高的不会被执行,收益为:Cu*n 总收益:Y=-mCL+nCH(此值末必小于零,理由自述) B 买进价低的执行,(Sr-X1-CL)*m 卖出价高的被执行,-(Sr-XH-CH)*n 总收益:Y=(m-n)Sr+(nXH+nCH-mXL-mCL)(其中m-n小 于零) XL <ST XI 买进低的执行,收益为:(Sr-XL-CL)*m

2 3、 图形（请 说 明 ： Y =2 CM -（ CL+CH ）一定是小于零） XL XM XH 4、 特点 投 资 者 预 测 市 场 行 情 将 会 在 某 一 区 间 内 作 幅 度 不 大 的 变 化 ， 希 望 在 这 个 价 格 区 间 内 能 获 利 ， 同 时 当 价 格 波 动 超 过 这 个 区 间 时 ， 亏 损 又 被子限制 在 一 定 的 范 围 内 。 在 多 头 蝶 状 价 差 交 易 中 ， 投 资 者 的 最 大 利 润 和 最 大 损 失 都 是 有 限 的，且是 已 知 的 。 空 头 蝶 状 价 差 （ 练 习 ： 卖 出 一 高 一 低 的 看 涨 期 权 ， 同 时 买 入 两 份 执 行 价 格 介 于上述两个执行价格之间的看涨期权。） （六）比 率 价 差 前 述 的 各 种 垂 直 价 差 （ 牛 市 、 熊 市 、 蝶 状 价 差 ） 都 有 着 这 样 一 个 共 同 的 特 点 ：即 投 资 者 买 入 的 期 权 数 与 他 们 卖 出 的 期 权 数 都 正 好 相 同 。 比 率 价 差（ Ra t i o S pr e a d）则 不 同 。在 比 率 价 差 交 易 中 ，投 资 者 卖 出 的 期权数将 多 于 他 们 买 入 的 期 权 数 。 仍 属 于 垂 直 系 列 期 权 。 分 类 ： 看 涨 期 权 比 率 价 差 （ Ra t io Ca ll Sp r e ad ）； 看 跌 期 权 比 率 价 差（Rat io Put Spread） 适用于投 资 者 预 期 标 的 物 的 市 场 价 格 比 较 稳 定 的 场 合 。 下面以 看 涨 期 权 比 率 价 差 为 例 ， 对 这 种 价 差 交 易 策 略 作 一 简 述 。 1、 定 义 ：指 投 资 者 买 进 一 定 数 量 的较 低 协 定 价 格 的 看 涨 期 权（ m 只 ；XL、CL），而 卖 出 更 多 数 量 的 较 高 协 定 价 格 的 看 涨 期 权（ n 只 ；XL、CL）。这 两 种 看 涨 期 权 的 标 的 物 相 同 ，到 期 日 也 相 同 。 （n>m，市价 S T 收益为 Y） 2、 盈亏状况 分 析 A、 当 ST≤ XL 买进价低 的 不 执 行 ， 收 益 为 ： -CL*m 卖出价高 的 不 会 被 执 行 ， 收 益 为 ： C H * n 总收益： Y =-m CL+n CH （此值末 必 小 于 零 ， 理 由 自 述 ） B、 当 ST≥ XH 买进价低 的 执 行 ，（ S T -XL - CL）*m 卖出价高 的 被 执 行 ， - （ S T -XH – CH）*n 总收益： Y =（ m-n） S T +（ nXH +n CH -m XL - mCL ）（ 其 中 m- n 小 于零） C、 XL <ST< XH 买进低的 执 行 ， 收 益 为 ：（ S T -XL - CL）*m

卖出高的不被执行,收益为:CH*n 总收益为:Y=mSr+(nCH-mXL-mC1) 3、图形(不妨设Y=mCL+nCH小于零) XL XH 4、适用于市场价较稳定的情况,投资者预测市场行情在今后只 有一定程度的上升,但不会升得太多,也不会暴跌 看跌期权比率价差见课本P237 (七)水平价差 指这样一种期权组合:投资者以相同的执行价格买进一定数 量的到期日较近的期权,同时又卖出相同的但到期日较远的期 权,或者以相同的执行价格买进一定数量的到期日较远的期权 同时又卖出数量相同,但到期日较近的期权。这种期权组合是利 用期权的时间价值随其离到期日的远近变化的特点,以期获取价 差收益 由于期权价格与时间系非线性关系,损益分析相当复杂,此 处从略。 (八)期权的对敲策略 前述价差交易策略中,投资者所买进的期权与卖出的期都属于同 个期类型,即要么都是看涨期权、要么都是看跌期权,现在讨论看 涨与看跌混合操作的交易策略。即:投资者同时买进或卖出看涨和看 跌期权 买进对敲--同时买进看涨和看跌 卖出对敲-同时卖出看涨和看跌 同价对敲---买进或卖出到期日协定价都相同的看涨和看跌期权 异价对敲-买进或卖出到期日相同但协定价不同的看涨和看跌 期权 A、同价对敲 等量同价对敲(买入同价对敲、卖出同价对敲) 不等量同价对敲(买入同价对敲、卖出同价对敲 B、异价对敲 等量异价对敲(买入异价对敲、卖出异价对敲) 不等量异价对敲(买入异价对敲、卖出异价对敲

3 卖出高的 不 被 执 行 ， 收 益 为 ： C H* n 总收益为 ： Y =m S T +（ n CH -m XL - mCL） 3、 图形（不妨设 Y =- m CL+n CH 小于零） Y Ymax XL XH ST 0 4、 适 用 于 市 场 价 较 稳 定 的 情 况 ， 投 资 者 预 测 市 场 行 情 在 今 后 只 有一定程 度 的 上 升 ， 但 不 会 升 得 太 多 ， 也 不 会 暴 跌 。 看跌期权 比 率 价 差 见 课 本 P 2 37 （七）水 平 价 差 指这 样 一 种 期 权 组 合 ： 投 资 者 以 相 同 的 执 行 价 格 买 进 一 定 数 量的到期日较近的期权，同时又卖出相同的但到期日较远的期 权 ， 或 者 以 相 同 的 执 行 价 格 买 进 一 定 数 量 的 到 期 日 较 远 的 期 权 ， 同 时 又 卖 出 数 量 相 同 ， 但 到 期 日 较 近 的 期 权 。 这 种 期 权 组 合 是 利 用 期 权 的 时 间 价 值 随 其 离 到 期 日 的 远 近 变 化 的 特 点 ， 以 期 获 取 价 差收益。 由 于 期 权 价 格 与 时 间 系 非 线 性 关 系 ， 损 益 分 析 相 当 复 杂 ， 此 处从略。 （八）期 权 的 对 敲 策 略 前 述 价 差 交 易 策 略 中 ， 投 资 者 所 买 进 的 期 权 与 卖 出 的 期 都 属 于 同 一 个 期 类 型 ， 即 要 么 都 是 看 涨 期 权 、 要 么 都 是 看 跌 期 权 ， 现 在 讨 论 看 涨 与 看 跌 混 合 操 作 的 交 易 策 略 。 即 ： 投 资 者 同 时 买 进 或 卖 出 看 涨 和 看 跌期权。 买进对敲 --- -- 同 时 买 进 看 涨 和 看 跌 卖出对敲 --- -- 同 时 卖 出 看 涨 和 看 跌 同价对敲 --- -- 买 进 或 卖 出 到 期 日 协 定 价 都 相 同 的 看 涨 和 看 跌 期 权 异价对敲 --- -- 买 进 或 卖 出 到 期 日 相 同 但 协 定 价 不 同 的 看 涨 和 看 跌 期权 A、 同价对敲 等量同价 对 敲 （ 买 入 同 价 对 敲 、 卖 出 同 价 对 敲 ） 不等量同 价 对 敲 （ 买 入 同 价 对 敲 、 卖 出 同 价 对 敲 ） B、 异价对敲 等量异价 对 敲 （ 买 入 异 价 对 敲 、 卖 出 异 价 对 敲 ） 不等量异 价 对 敲 （ 买 入 异 价 对 敲 、 卖 出 异 价 对 敲 ）

第五节期货与期权的组合交易 、合成买入看涨期权( Synthetic Long Call) 定义:指投资者在买进期货的同时买进看跌期权。(期货做 多,担心平仓时期货价格下跌而受损失,故买看跌期权以达 到保底之目的 2、目的:平仓时市价若下跌,则执行期权:若价格未跌则按市 价平仓,至多损失一个期权费。 3、盈亏分析 设买入1份期货:价格为:X1 买入1份看跌期权:协议价为:X2;期权价为:C 平仓时期货市价为:Sr:单位资产收益为:Y A、当S1>X2时: 期货:收益为 买入的看跌期权:不执行,收益为:-C Y=SrX1-C(盈利无限;平衡点:X1+C) B 当Sr<X2时 买入的看跌期权:执行,收益为:X2-SrC 期货:收益为:Sr-X1 Y=(X2-SrC)+(Sr-X1)=(X2-X1)-C(最大损失有限) 4、图形 综上:合成买入看涨期权具有以下一些特征: 潜在的利润:无限(当市场价格上升时) 潜在的最大风险:期货价格与看跌期权协定价格的差加上支付的 期权费(当市场价格下跌时),即有限 盈亏平衡点:期货价格加上支付的期权费 其盈亏特点与买进看涨期权相同。 、合成买入看跌期权(期货:做空:期权:买进看涨) 三、合成卖出看跌期权(期货:做多;期权:卖出看涨。预期市 场较稳或略有上升) 四、合成卖出看涨期权(期货:做空;期权:卖出看跌。预期市 场较稳或略有下跌) 第六节期权价格的定价模型 综上:金融期权交易乃是一种权利的交易,在这种交易中, 期权购买者为获得期权合约所赋予的权利,就必须向期权出售者 支付一定的费用。这一费用就是期权费或期权价格。自1973年

4 第五节 期货与期权的组合交易 一 、 合成买入 看 涨 期 权 （ S y nt h et i c Long Call） 1、 定 义 ： 指 投 资 者 在 买 进 期 货 的 同 时 买 进 看 跌 期 权 。（ 期 货 做 多 ， 担 心 平 仓 时 期 货 价 格 下 跌 而 受 损 失 ， 故 买 看 跌 期 权 以 达 到保底之 目 的 。） 2、 目 的 ： 平 仓 时 市 价 若 下 跌 ， 则 执 行 期 权 ； 若 价 格 未 跌 则 按 市 价平仓， 至 多 损 失 一 个 期 权 费 。 3、 盈亏分析 ： 设买入 1 份 期 货 ： 价 格 为 ： X1 买入 1 份 看 跌 期 权 ： 协 议 价 为 ： X2 ； 期 权 价 为 ： C 平仓时 期 货 市 价 为 ： S T； 单 位 资 产 收 益 为 ： Y A、 当 ST>X2 时 ： 期货：收 益 为 ： S T -X1 买入的看 跌 期 权 ： 不 执 行 ， 收 益 为 ：-C Y= ST-X1 -C（ 盈 利 无 限 ； 平 衡 点 ： X1+ C） B、 当 ST<X2 时 ： 买入的看 跌 期 权 ： 执 行 ， 收 益 为 ： X2 - S T -C 期货：收 益 为 ： S T -X1 Y=（X2 -S T-C） +（ S T -X1 ）=（X2 -X1 ）- C（ 最 大 损 失 有 限 ） 4、 图形： Y X2 ST 综上：合成买入看涨期权具有以下一些特征： 潜在的利 润 ： 无 限 （ 当 市 场 价 格 上 升 时 ） 潜 在 的 最 大 风 险 ： 期 货 价 格 与 看 跌 期 权 协 定 价 格 的 差 加 上 支 付 的 期权费（ 当 市 场 价 格 下 跌 时 ）， 即 有 限 。 盈亏平衡 点 ： 期 货 价 格 加 上 支 付 的 期 权 费 。 其盈亏特 点 与 买 进 看 涨 期 权 相 同 。 二 、 合成买入 看 跌 期 权 （ 期 货 ： 做 空 ； 期 权 ： 买 进 看 涨 ） 三 、 合 成 卖 出 看 跌 期 权 （ 期 货 ： 做 多 ； 期 权 ： 卖 出 看 涨 。 预 期 市 场 较 稳 或 略 有 上 升 ） 四、合成 卖 出 看 涨 期 权 （ 期 货 ： 做 空 ； 期 权 ： 卖 出 看 跌 。 预期市 场 较 稳 或 略 有 下 跌 ） 第六节 期权价格的定价模型 综 上 ： 金 融 期 权 交 易 乃 是 一 种 权 利 的 交 易 ， 在 这 种 交 易 中 ， 期 权 购 买 者 为 获 得 期 权 合 约 所 赋 予 的 权 利 ， 就 必 须 向 期 权 出 售 者 支 付 一 定 的 费 用 。 这 一 费 用 就 是 期 权 费 或 期 权 价 格 。 自 1973 年

以来,许多学者和专家纷纷提出各自的期权定价模型,以说明期 权价格的决定和变动。在这些模型中,最著明的模型有如下两个: 个是布莱克-斯科尔斯模型( Black- Scholes model);另一个 则是二项式模型( The binomial model)。下面分别予以介绍 、金融期权价格的构成 尽管现实中的金融期权交易中,期权价格受多种因素的复杂 的影响,但从理论上说,它是由两部分构成的:一是内在价值 二是时间价值 (一)内在价值( intrinsic value)或履约价值( exercise value) 是指期权合约本身所具有的价值,也就是期权购买者如果立 即执行该期权所能获得的收益。 例如:某股票的市场价格为每股60美元,以这种股票为标 的物的看涨期权的协议价格为每股50美元。则它的购买者只要 执行此期权即可获利10美元的收益。这10美元的收益就是这 看涨期权的内在价值或履约价值。 显然 种期权有无内在价值及其内在价值的大小取决于该 期权的协定价格与其市场价格的关系 实值期权:内在价值为正。 虚值期权:内在价值为负。 平价期权:内在价值为零 种期权之所以被执行,是因为该期权具有内在价值,必须 注意的是:虽执行但总体上未必有经济收益 对看涨期权而言:协议价格:X:市场价格:S;期权合约的 交易单位。 当S>X时:(S-X)*m 当S≤X时:0 对看跌期权而言: S≥X时:0 S<X时:(X-S)*m (二)时间价值( time value)或外在价值( extrinsic value) 指期权购买者为购买期权而实际付出的期权费超过该期权 之内在价值的那部分价值。期权购买者之所以乐于支付那部分额 外的期权费,是因为他希望随着时间的推移和市场价格的变动, 该期权的内在价值得以增加,从而使虚值期权或平价期权变为实 值期权,或使实值期权的内在价值进一步增加。 与内在价值不同,时间价值通常不易计算。但可用实际的期 权价格减去该期权的内在价值而求得。如 某债券的现行价格为105,以该债券为标的物协议价为100 的看涨期权以6.50价成交,则该看涨期权的内在价值为5美元 (105-100),而它的时间价值为1.50(6.50-5.00) (三)二项式模型 鉴于布莱克-斯科尔斯公式的推导涉及较多的数

5 以 来 ， 许 多 学 者 和 专 家 纷 纷 提 出 各 自 的 期 权 定 价 模 型 ， 以 说 明 期 权 价 格 的 决 定 和 变 动 。在 这 些 模 型 中 ，最 著 明 的 模 型 有 如 下 两 个 ： 一 个 是 布 莱 克 - -- 斯 科 尔 斯 模 型 （ Bl a c k—S c ho l e s Mo d el ）； 另 一 个 则是二项 式 模 型 （ Th e Binomia l Model）。 下 面 分 别 予 以 介 绍 。 一 、 金融期权 价 格 的 构 成 尽 管 现 实 中 的 金 融 期 权 交 易 中 ， 期 权 价 格 受 多 种 因 素 的 复 杂 的 影 响 ， 但 从 理 论 上 说 ， 它 是 由 两 部 分 构 成 的 ： 一 是 内 在 价 值 ； 二是时间 价 值 。 （ 一 ） 内 在 价 值 （ i n t ri n si c v a lu e） 或 履 约 价 值 （ e x e r ci se v a lu e） 是指 期 权 合 约 本 身 所 具 有 的 价 值 ， 也 就 是 期 权 购 买 者 如 果 立 即执行该 期 权 所 能 获 得 的 收 益 。 例 如 ： 某 股 票 的 市 场 价 格 为 每 股 6 0 美 元 ， 以 这 种 股 票 为 标 的 物 的 看 涨 期 权 的 协 议 价 格 为 每 股 5 0 美 元 。 则 它 的 购 买 者 只 要 执 行 此 期 权 即 可 获 利 1 0 美 元 的 收 益 。 这 1 0 美 元 的 收 益 就 是 这 一 看涨期权 的 内 在 价 值 或 履 约 价 值 。 显 然 ：一 种 期 权 有 无 内 在 价 值 及 其 内 在 价 值 的 大 小 取 决 于 该 期权的协 定 价 格 与 其 市 场 价 格 的 关 系 。 实值期权 ： 内 在 价 值 为 正 。 虚值期权 ： 内 在 价 值 为 负 。 平价期权 ： 内 在 价 值 为 零 。 一 种 期 权 之 所 以 被 执 行 ， 是 因 为 该 期 权 具 有 内 在 价 值 ， 必 须 注意的是 ： 虽 执 行 但 总 体 上 未 必 有 经 济 收 益 。 对 看 涨 期 权 而 言 ：协 议 价 格 ：X； 市 场 价 格 ：S；期 权 合 约 的 交易单位 。 当 S>X 时 ：（ S- X） * m 当 S≤X 时 ： 0 对看跌期 权 而 言 ： S≥X 时 ：0 S<X 时：（ X - S） *m （ 二 ） 时 间 价 值 （ t i m e v a lu e） 或 外 在 价 值 （ e x t ri n si c v al u e ） 指期权购买者 为购买期权而实际付出的期权费超过该期权 之 内 在 价 值 的 那 部 分 价 值 。 期 权 购 买 者 之 所 以 乐 于 支 付 那 部 分 额 外 的 期 权 费 ， 是 因 为 他 希 望 随 着 时 间 的 推 移 和 市 场 价 格 的 变 动 ， 该 期 权 的 内 在 价 值 得 以 增 加 ， 从 而 使 虚 值 期 权 或 平 价 期 权 变 为 实 值期权， 或 使 实 值 期 权 的 内 在 价 值 进 一 步 增 加 。 与 内 在 价 值 不 同 ， 时 间 价 值 通 常 不 易 计 算 。 但 可 用 实 际 的 期 权价格减 去 该 期 权 的 内 在 价 值 而 求 得 。 如 ： 某 债 券 的 现 行 价 格 为 105， 以 该 债 券 为 标 的 物 协 议 价 为 100 的 看 涨 期 权 以 6 . 5 0 价 成 交 ， 则 该 看 涨 期 权 的 内 在 价 值 为 5 美 元 （105-10 0）， 而 它 的 时 间 价 值 为 1.50(6.50 -5.00) （三）二 项 式 模 型 鉴于布莱克---斯科尔 斯公式的 推导涉 及较多的数

学知识及应用的复杂性,1979年考克斯、罗斯、鲁宾 斯旦(Cox、Ross、 Rubinstein)等人用十分浅显的方法 推导了期权的定价模型 A、一期间模型 设某标的物的现行价格为S,离期权到期日尚有 期(如半年),在期权到期日,标的物价格上涨到原 来的u倍、下跌到原来的d倍的可能性分别为p、1-p (概率) S 1-p ds 若目前的看涨期权价值为C,协定价格为Ⅹ,标 的物价格上涨和下跌后的看涨期权价值分别为Cu,Ca 则 C C Cu=Max(us-X),0 Cd=Max(dS-X),0) 当前的看涨期权价值C尚是一个未知数,现用二 项式定价模型求出C。(以期货看涨期权为例) 假定投资者组合由多头h单位标的物和空头看涨 期权(标的物相同)组成,即投资者在卖出一个看涨期 权的同时,买进h单位的标的物(h为套期保值比率, 它保证投资者在建立上述合成部位后,无论标的物价格

6 学知识及应用的复杂性，1979 年考克斯、罗斯、鲁宾 斯旦（Cox、Ross、Rub inst ein）等人用十分浅显的方法 推导了期权的定价模型。 A、 一期间模型 设某标的物的现行价格为 S，离期权到期日尚有 一期（如半年），在期权到期日 ，标的物价格上涨到原 来的 u 倍、下跌到原来的 d 倍的可能性分别为 p、1-p （概率） p uS S 1-p dS 若目前的看涨期权价值为 C，协定价格为 X，标 的物价格上涨和下跌后的看涨期权价值分别为 Cu ，Cd 则： p Cu C 1-p Cd Cu=Max{（uS-X），0} Cd=Max{（dS-X），0 } 当前的看涨期权价值 C 尚是一个未知数，现用二 项式定价模型求出 C。（以期货看涨期权为例） 假定投资者组合由多头 h 单位标的物和空头看涨 期权（标的物相同）组成，即投资者在卖出一个看涨期 权的同时，买进 h 单位的标的物（h 为套期保值比率， 它保证投资者在建立上述合成部位后，无论标的物价格

是上涨(up)还是下跌(down),其损益均保持相等) 因而有下列等式: h (us-S)+c(l+r)-C= h(ds-S)+c(1+r)-Cd 第一项:现货收益 第二项:卖出看涨期权收取的期权费并投资于无风险资产收益,r为单一期间 的利率 第三项:期权到期日因期杈价值变动而对投资者收益的影响,因期权处于空 头部位,故其价值的变动对投资者的收益具有负的影响(Cu为期权 头部位投资者所得) 说明:上式右边系价格上涨时的收益:左边系价格下跌时的收益。 h=( Cu-Cd)/(u-d)s (1) 在无套利机会的条件下:上式等于零。则有: h(us-s)+c(1+r)-C=0 C=(Cu-hus+hs)/(1+r)(2),将(1)式(2)式并 整理得:c=[PCu+(1-P)Cd]/(1+r)(*) 其中:P=(1-d)/(u-d),(1-P)=(u-1)/(u-d) 练习:推导上式 若现金流可视为连续分布,上式可表示为 C=[P Cu+(1-P) Cd]e (**) 其中:P=( d)/(u-d) 由此可知:目前看涨期权的期权价格系到期日看涨 期权价值的加权平均数的现值;权重为预期标的物价格 涨跌的概率;贴现率系此期间的无风险利率r。 举例:某股票的现行价格为20元,三个月后有可 能分别为22,18;协议价为21元(设该期权为3个月

7 是上涨（up）还是下跌（down），其损益均保持相等）。 因而有下列等式： h（us-s）+c(1+r)- Cu= h(ds-s)+c(1+r )- Cd 第 一 项 ： 现 货 收 益 第 二 项 ： 卖 出 看 涨 期 权 收 取 的 期 权 费 并 投 资 于 无 风 险 资 产 收 益 ， r 为 单 一 期 间 的利率。 第 三 项 ： 期 权 到 期 日 因 期 权 价 值 变 动 而 对 投 资 者 收 益 的 影 响 ， 因 期 权 处 于 空 头 部 位 ， 故 其 价 值 的 变 动 对 投 资 者 的 收 益 具 有 负 的 影 响 （Cu 为 期 权 的 多 头 部 位 投 资 者 所 得 ）。 说 明 ： 上 式 右 边 系 价 格 上 涨 时 的 收 益 ； 左 边 系 价 格 下 跌 时 的 收 益 。 h=（Cu- Cd）/（u-d）s （1） 在无套利机会的条件下：上式等于零。则有： h（us-s）+c（1+r）- Cu=0 c=（Cu -hus+hs）/（1 +r） （2），将（1）式（2）式并 整理得：c=[P Cu+（1-P）Cd]/（1+r）（*） 其中：P=（1-d）/（u -d），（1-P）=（u -1）/（u -d） 练习：推导上式 若现金流可视为连续分布，上式可表示为： c=[P Cu+（1-P）Cd]е- r t （**） 其中：P=（еr T - d）/（u-d） 由此可知：目前看涨期权的期权价格系到期日看涨 期权价值的加权平均数的现值；权重为预期标的物价格 涨跌的概率；贴现率系此期间的无风险利率 r。 举例：某股票的现行价格为 20 元，三个月后有可 能分别为 22，18；协议价为 21 元（设该期权为 3 个月

的欧式看涨期权)。 22Cu=1 当3个月后价格为22元时,Cu=1元2 当3个月后价格为18元时,Cd=0元 18Cd=0 (A)用定义来求C: 若不支付红利,h(22-20)-1=h(18-20)-0,h=0.25 故无风资产组合为:现货多头:0.25股 期权空头:1份期权 如果股票价格上涨至22元时,资产组合的价值为: 22*0,25-1=4.5(下跌至18元时:18*0.25=4.5) 现值:4.5e012025=4.367;成本:20*0.25-C=5-C 故有:5C=4.367C=0.633 (B)用公式(**)来求C: 22u=1.1 18d=0.9协议价为21所以Cu=1Cd=0T=0.25无 风险利率r=0.12P=(e003-0.9)/(1.1-0.9)=0.6523 c=[0.6523*1+(1-0.6523)*0]e003=0.633 (C)用公式(*)来求C 需要指出的是公式(*)一般只适用于标的物为金融期货, 而标的物为金融现货时,常取P=(1+r-d)/(u-d) 1-P=[u-(1+r)]/(u-d) 其中:d<1+r<u 如上例:一期的无风险利率:r=(0.12*3/12)=0.0 P=(1+0.03-0.9)/(1.1-0.9)=0.651-P=0.35 C=(0.65*1+0.35*0)/(1+0.03)=0.6311 而直接用公式(*)时:P=(1-0.9)/(1.1-0.9)=0.5 C=[0.5*1+(1-0.5)*0]/(1+0.03)=0.4854 这是因为:短期利率对金融现货价格的影响较大,而对金 融期货影响较小。 B、多期间模型 只需将上面一期模型中的标的物价格变动的期间增加到 个或二个以上,即得“二期间”或“多期间”模型(即定的 期权期间分割越来越多的小期间,即在期权权利期间价格波动 的次数越来越多)。为简单起见,下面以二期间为例。 每一期间上涨到原来的u倍,或下跌到原来的d倍,其上 涨和下跌的概率分别为P和1-P

8 的欧式看涨期权）。 22 Cu=1 当 3 个月 后 价 格 为 22 元 时 ， Cu=1 元 20 当 3 个月 后 价 格 为 18 元 时 ， Cd=0 元 18 Cd=0 （ A） 用定义来求 C： 若不支付 红 利 ， h（ 22 -2 0） -1=h（ 1 8 -2 0） -0， h=0.25 故无风资 产 组 合 为 ： 现 货 多 头 ： 0.25 股 期权空头 ： 1 份 期 权 如果股票 价 格 上 涨 至 2 2 元 时 ， 资 产 组 合 的 价 值 为 ： 22*0.25 -1=4.5(下跌至 1 8 元 时 :18*0.25=4.5)， 现值：4.5е - 0 . 1 2 * 0 . 2 5 =4.367；成本： 20*0.25 -C=5 -C 故有：5 -C =4.367 C=0.633 （ B） 用公式（ **）来求 C： 22 u=1.1 20 18 d=0.9 协议价为 21 所 以 Cu =1 Cd =0 T=0.25 无 风险利率 r=0.12 P=（е0 . 0 3 – 0.9）/（1.1 -0.9） =0.6523 c=[ 0.6523*1+（ 1 -0.6523） *0]е- 0 . 0 3 =0 . 63 3 （ C） 用公式（ *）来求 C： 需 要 指 出 的 是 公 式（ *）一 般 只 适 用 于 标 的 物 为 金 融 期 货 ， 而标的物 为 金 融 现 货 时 ， 常 取 P=（ 1+r-d） /（ u- d） 1- P=[u-（1+r） ]/（ u-d） 其中：d< 1 +r < u 如上例： 一 期 的 无 风 险 利 率 ： r= ( 0. 1 2* 3 /1 2 )= 0 .0 3 P=（1+0. 0 3- 0 .9） / (1 . 1-0 .9 ) =0 . 65 1-P=0.3 5 C=(0.65*1+0.35*0)/(1+0.03)=0.6311 而直接用 公 式 (* )时 :P = (1 - 0. 9 )/ ( 1. 1 -0 . 9) = 0. 5 C = [0 . 5* 1 +( 1 -0 . 5) * 0] /（ 1 +0 . 03）= 0 .4 8 54 这是因为 : 短期利率对金融现货价格的影响较大 , 而对金 融期货影 响 较 小 。 B、多期间模型 只需将上面一期模型中的标的物价格变动的期间增加到 二 个 或 二 个 以 上 ， 即 得 “ 二 期 间 ” 或 “ 多 期 间 ” 模 型 （ 即 定 的 期 权 期 间 分 割 越 来 越 多 的 小 期 间 ，即 在 期 权 权 利 期 间 价 格 波 动 的次数越 来 越 多 ）。 为 简 单 起 见 ， 下 面 以 二 期 间 为 例 。 每 一 期 间 上 涨 到 原 来 的 u 倍 ，或 下 跌 到 原 来 的 d 倍 ，其 上 涨和下跌 的 概 率 分 别 为 P 和 1 -P

12s ud 类似于前面的方法,可得 C=[P2 Cuu +2P(1-P)Cud+(1-P)2 Cdd]/(1+r)2 具体求法:用前面一期公式先求出CuCd;再用前面一期 公式求C。(C=[PCu+(1-P)Cd](1+r)) n期间时:设k为标的物价格上涨的次数,(n-k)为标的物价 格下跌的次数。则 C=[1/(1+r)n 2In!/k!(n-k)!Pk( 1-P)n-k Max[0,(uk dn-kS-X)] 据中心极限定理:当n→+无穷大时,二项分布将逼近正态 分布,所以二项式模型也将逼近布莱克—斯科尔斯模型的结 果,故只要参数u,d,P选择得当,二者的结果可互相转化。 练习:设某标的物的期货的现价为105,以此为标的物的 看涨期权的协定价格为150,设该期权离到期日尚有两期。 u=1.06d=0.96r=4%(为一期利率) 则易求P=0.41-P=0.6 168.54 Cuu=18.54 159 Cud=2.64 15 152.64 144 138.24 代入上面公式可得:C=3.9142 练习:依次求出Cu、Cd后再求C提示

9 u 2S uS S udS d S d 2S Cu u Cu C Cu d Cd Cd d 类似于前 面 的 方 法 ， 可 得 ： C=[P2 Cu u +2P（1-P） Cu d +（1-P）2 Cd d ]/（1+r）2 具 体 求 法 ： 用 前 面 一 期 公 式 先 求 出 Cu Cd ； 再 用 前 面 一 期 公式求 C。（C =[P Cu +（1-P）Cd ]/（1+r）） n 期间时：设 k 为 标 的 物 价 格 上 涨 的 次 数 ，（ n-k） 为 标 的 物 价 格下跌的 次 数 。 则 ： n C=[1/（ 1+r）n ∑ [n！/k！（ n-k）！]P（k 1-P）n -k Max[0，（ u k d n -k S-X）] k =0 据 中 心 极 限 定 理 ：当 n→ +无 穷 大 时 ，二 项 分 布 将 逼 近 正 态 分布，所以二项式模型也将逼近布莱克 — 斯科尔斯模型的结 果 ， 故 只 要 参 数 u， d， P 选 择 得 当 ， 二 者 的 结 果 可 互 相 转 化 。 练 习 ： 设 某 标 的 物 的 期 货 的 现 价 为 105， 以 此 为 标 的 物 的 看涨期权 的 协 定 价 格 为 15 0， 设 该 期 权 离 到 期 日 尚 有 两 期 。 u=1.06 d=0.96 r=4%(为一期利率 ) 则易求:P= 0. 4 1-P=0.6 168.54 Cu u =18.54 159 Cud =2.64 150 152.64 Cd d =0 144 138.24 代入上面 公 式 可 得 ：C =3.9142 练习：依次求出 Cu 、 Cd 后再求 C 提示： Cu u Cu C Cu d Cd Cd d

练习:三期,现货价300,协议价300,u=1.08d=0.96r=2% 各期价格均匀变动,期权为看涨期权。 (四)布莱克--斯科尔斯模型( Black- Scholes)(1973)的 简明描述 注意:公式的详细推导请见 刘金宝主编《金融工程核心工具一一期权》文汇出版社 第五章、第六章两大章 1、布莱克-斯科尔斯模型的历史回顾 A、最早可以追溯到1900年,有个巴彻利尔的学者在其博 士论文 The Theory of peculation中首资给出了欧式买权 的定价公式(个股期权…-认殷权证)。但其模型的前提假设有误。 第 设标的股票价格服从正态分布。 第二、认为在离到期日足够远的时候,买权的价值可能 大于标的价值。 第三、设股票的期望报酬(即股价的平均值)为零 尽管如此,但它提出的效率市场的概念为后人的研究指出 了方向。 B、1964年,斯普兰克尔提出了“股票价格服从对数正态分 布”的基本假设,并肯定了股价发生随机漂移的可能性, 同年,博内斯将货币时间价值的概念引入期权定价过程, 但他没有考虑期权和标的股票之间风险水平的差异。1965 年,著名经济学家萨缪尔森把上述成果统一在一个模型中 但由于假设较多,几乎没有实用价值。 B、20世纪60年代末,布莱克在哈佛大学数学系取得博士学 位后,到波士顿的一家管理咨询公司-- Arthur Little公司 工作。从此认识了MIT斯隆管理学院的年轻教师斯科尔 斯,两人开始合作研究期权的定价问题。其最核心的工作 a、构造了一个由标的股票和无风险债券的适当组合--无 套利定价原则;b、描述了期权价格变化的随机偏微分方 程-B-S方程且其形式与描述热传导过程的微分方程完 全相同,从而很快得到其解。1972年两人将研究成果写成 论文,向学术刊物投稿。但这篇反映了20世纪经济学和 金融学最重要的成果之一的论文,竟然先后被两家著名的 刊物拒绝接受。直到1973年才得以在《政治经济学杂志》 ( Journal of Political economics)上发表。 该模型有五个参数:期权的执行价格X,距到期日的时间 T-t,无风险利率r,标的资产当前价格St和价格变动波动 率σ。(前4个数据均可以直接通过市场获得,而0也可 以通过市场数据进行估计,因而此模型具有较强的实用 2、布莱克一斯科尔斯模型

10 练 习 ：三 期 ，现 货 价 300，协 议 价 300，u=1.08 d=0.96 r=2% 各期价 格 均 匀 变 动 ， 期 权 为 看 涨 期 权 。 （四）布莱克 ---斯 科 尔 斯 模 型 （ B lack—Sch oles）（ 1973） 的 简明描述 注意：公 式 的 详 细 推 导 请 见 ： 刘金宝 主 编 《金融工程核心工具 — — 期权》 文汇出版社 第五章、第六章两大章 1、 布莱克---斯 科 尔 斯 模 型 的 历 史 回 顾 A、 最 早 可 以 追 溯 到 1900 年 ， 有 个 巴 彻 利 尔 的 学 者 在 其 博 士论文 The Theory of S peculat ion 中 首 资 给 出 了 欧 式 买 权 的 定 价 公 式（ 个 股 期 权 -- -认 股 权 证 ）。但 其 模 型 的 前 提 假 设 有 误 。 第一、 设标的股 票 价 格 服 从 正 态 分 布 。 第二、 认为在离 到 期 日 足 够 远 的 时 候 ， 买 权 的 价 值 可 能 大于标 的 价 值 。 第三、 设股票的 期 望 报 酬 （ 即 股 价 的 平 均 值 ） 为 零 。 尽 管 如 此 ， 但 它 提 出 的 效 率 市 场 的 概 念 为 后 人 的 研 究 指 出 了方向。 B、1964 年 ，斯 普 兰 克 尔 提 出 了“ 股 票 价 格 服 从 对 数 正 态 分 布 ” 的 基 本 假 设 ， 并 肯 定 了 股 价 发 生 随 机 漂 移 的 可 能 性 ， 同 年 ， 博 内 斯 将 货 币 时 间 价 值 的 概 念 引 入 期 权 定 价 过 程 ， 但 他 没 有 考 虑 期 权 和 标 的 股 票 之 间 风 险 水 平 的 差 异 。 1965 年 ，著 名 经 济 学 家 萨 缪 尔 森 把 上 述 成 果 统 一 在 一 个 模 型 中 。 但由于假 设 较 多 ， 几 乎 没 有 实 用 价 值 。 B、 2 0 世 纪 6 0 年 代 末 ， 布 莱 克 在 哈 佛 大 学 数 学 系 取 得 博 士 学 位 后 ，到 波 士 顿 的 一 家 管 理 咨 询 公 司 ----A rt hur L itt le 公 司 工 作 。 从 此 认 识 了 MI T 斯 隆 管 理 学 院 的 年 轻 教 师 斯 科 尔 斯 ，两 人 开 始 合 作 研 究 期 权 的 定 价 问 题 。其 最 核 心 的 工 作 ： a、 构 造 了 一 个 由 标 的 股 票 和 无 风 险 债 券 的 适 当 组 合 ---无 套 利 定 价 原 则 ； b 、 描 述 了 期 权 价 格 变 化 的 随 机 偏 微 分 方 程 ---B— S 方 程 且 其 形 式 与 描 述 热 传 导 过 程 的 微 分 方 程 完 全 相 同 ，从 而 很 快 得 到 其 解 。1972 年 两 人 将 研 究 成 果 写 成 论 文 ， 向 学 术 刊 物 投 稿 。 但 这 篇 反 映 了 2 0 世 纪 经 济 学 和 金 融 学 最 重 要 的 成 果 之 一 的 论 文 ， 竟 然 先 后 被 两 家 著 名 的 刊 物 拒 绝 接 受 。 直 到 1973 年 才 得 以 在 《 政 治 经 济 学 杂 志 》 （Journal of Political Economics） 上 发 表 。 该 模 型 有 五 个 参 数 ： 期 权 的 执 行 价 格 X， 距 到 期 日 的 时 间 T-t，无风险利率 r， 标 的 资 产 当 前 价 格 St 和 价 格 变 动 波 动 率 σ 。（ 前 4 个 数 据 均 可 以 直 接 通 过 市 场 获 得 ， 而 σ也可 以通过市场数据进行估计，因而此模型具有较强的实用 性。） 2、布莱 克 —斯 科 尔 斯 模 型