新乡学院：数学与统计学院数学与应用数学专业《微分几何》课程教学大纲（2012）.pdf_大学文库

《微分几何》教学大纲课程编码：110821 课程名称：微分几何学时/学分：54/3 先修课程：《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》、《微分方程》适用专业：数学与应用数学开课教研室：几何与代数教研室一、课程性质与任务 1.课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业基础课，是数学与应用数学专业学生的选修课。 2.课程任务：通过学习本课程，一方面使学生学好作为数学基础的微分几何课，以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础：另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。同时，《微分几何》的某些内容和方法，对于中学数学教学也具有指导意义，通过该课程的学习，为当好中学教师以及进一步提高奠定基础。二、课程教学基本要求本课程开设在第7学期，总学时为32学时，其中课堂讲授32学时，课堂实践0学时。本课程学习的是经典微分几何的有关内容，主要通过微积分和线性代数的方法研究空间曲线和曲面的形状，找出决定曲线和曲面形状的不变量系统。在教学过程中要贯彻微分几何的思想和方法，使学生了解几何概念与方法，培养几何直观和图形想象能力，掌握几何量及其之间关系的具体计算和论证能力。本课程以经典微分几何为主，在教学上要求学生牢固学握经典微分几何的内容。对部分整体微分几何的内容，如平面曲线的一些整体性质，完备曲面的Hopf-Rinow定理，极小曲面的Bernstein定理等，作了解性掌握的要求。本课程的成绩考核方式为开卷考查。考试成绩由平时成绩和期终考试成绩组成，其中，平时成绩包括期中考试成绩、出勤、作业成绩、课堂提问、问题探讨（讨论）等。三、教学内容第一章曲线论 1.教学基本要求本章主要研究内容为向量分析、曲线的切线、法平面、曲线的弧长参数表示、空间曲线的基本三棱形、曲率和挠率的概念和计算、曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题

《微分几何》教学大纲课程编码：110821 课程名称：微分几何学时/学分：54/3 先修课程：《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》、《微分方程》适用专业：数学与应用数学开课教研室：几何与代数教研室一、课程性质与任务 1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业基础课，是数学与应用数学专业学生的选修课。 2．课程任务：通过学习本课程，一方面使学生学好作为数学基础的微分几何课，以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。同时，《微分几何》的某些内容和方法，对于中学数学教学也具有指导意义，通过该课程的学习，为当好中学教师以及进一步提高奠定基础。二、课程教学基本要求本课程开设在第 7 学期，总学时为 32 学时，其中课堂讲授 32 学时，课堂实践 0 学时。本课程学习的是经典微分几何的有关内容，主要通过微积分和线性代数的方法研究空间曲线和曲面的形状，找出决定曲线和曲面形状的不变量系统。在教学过程中要贯彻微分几何的思想和方法，使学生了解几何概念与方法，培养几何直观和图形想象能力，掌握几何量及其之间关系的具体计算和论证能力。本课程以经典微分几何为主，在教学上要求学生牢固掌握经典微分几何的内容。对部分整体微分几何的内容，如平面曲线的一些整体性质，完备曲面的 Hopf-Rinow 定理，极小曲面的 Bernstein 定理等，作了解性掌握的要求。本课程的成绩考核方式为开卷考查。考试成绩由平时成绩和期终考试成绩组成，其中，平时成绩包括期中考试成绩、出勤、作业成绩、课堂提问、问题探讨（讨论）等。三、教学内容第一章曲线论 1．教学基本要求本章主要研究内容为向量分析、曲线的切线、法平面、曲线的弧长参数表示、空间曲线的基本三棱形、曲率和挠率的概念和计算、曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题

2．要求学生掌握的基本概念、理论、技能理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。了解这些内容与平行的数学分析内容之间的区别和联系。理解和熟记简单曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、曲线的弧长和曲线的自然参数等基本概念，能理解和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。理解和熟记空间曲线的密切平面、基本三棱形、曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式等重要概念和理论。理解空间曲线论的基本定理。重点是掌握曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式等内容，能够论证和计算有关问题。 3．教学重点和难点教学重点是空间曲线在一点的基本向量、基本三棱形、伏雷内公式；曲率、挠率的定义和计算；一般螺线的定义和性质。教学难点是空间曲线论的基本定理的掌握。 4．教学内容第一节向量函数 1．向量代数复习 2．向量函数的极限、连续性、微商泰勒第二节曲线的概念 1．曲线的概念 2．光滑曲线、曲线的正常点 3．曲线的切线和法面 4．曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线 1．空间曲线的密切平面 2．空间曲线的基本三棱形 3．空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式 4．空间曲线在一点邻近的结构 5．空间曲线论的基本定理 6．一般螺线第二章曲面论 1．教学基本要求本章主要研究曲面概念、曲线坐标网，曲面的切平面和法线；引入曲面的第一、第二基本形式，由第一基本形式计算曲面上曲线的弧长，曲面域的面积和曲面间的等距及保角变换；由第二基本形式讨论曲面上曲线的曲率、曲面的法曲率，曲面上的方向；曲面上的各种曲线和各种曲率之间的关系。介绍本章唯一的整体理论——高斯-波涅公式

通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题 2.要求学生掌握的基本概念、理论、技能理解和熟记简单曲面、光滑曲面、曲面上的曲线网、曲面的切平面和法线等基本概念，理解和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。理解和掌握曲面的第一基本形式，计算曲面上曲线的弧长、曲面域的面积和曲面间的等距及保角变换等有关问题：理解和掌握曲面的第二基本形式，由第二基本形式讨论曲面上曲线的曲率、曲面的法曲率、曲面上的方向、曲面上的各种曲线和各种曲率之间的关系。理解和掌握直纹面、特别是可展曲面的概念、理论、方法和应用背景。初步认知张量符号，理解曲面论的基本定理。理解和掌握曲面上曲线的测地曲率、测地线及其短程性。了解本章唯一的整体理论高斯波涅(Gauss-Bonnet)公式。了解常高斯曲率曲面、伪球面及罗氏几何的概念和有关内容。 3.教学重点和难点教学重点是空间曲面的第一、第二基本形式：法曲率、主曲率、高斯曲率、平均曲率、测地曲率的定义和性质：曲面的渐近方向、共轭方向、主方向：渐近线、曲率线、测地线的定义和求法：空间曲线、曲面的基本定理：可展曲面及其特征：欧拉公式、罗德里格定理、高斯定理、高斯一波涅公式及其应用。教学难点是曲面上各种曲率间的内部关系，曲面论的基本定理的理解及符号意义等。 4.教学内容第一节曲面的概念 1.简单曲面及其参数表示 2.光滑曲面、曲面的切平面及法线 3.曲面上的曲线族和曲线网第二节曲面的第一基本形式 1.曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长 2.曲面上两方向的夹角 3.正交曲线族和正交轨线 4,曲面域的面积 5.等距变换 6.保角变换第三节曲面的第二基本形式 1.曲面的第二基本形式

通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题。 2．要求学生掌握的基本概念、理论、技能理解和熟记简单曲面、光滑曲面、曲面上的曲线网、曲面的切平面和法线等基本概念，理解和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。理解和掌握曲面的第一基本形式，计算曲面上曲线的弧长、曲面域的面积和曲面间的等距及保角变换等有关问题。理解和掌握曲面的第二基本形式，由第二基本形式讨论曲面上曲线的曲率、曲面的法曲率、曲面上的方向、曲面上的各种曲线和各种曲率之间的关系。理解和掌握直纹面、特别是可展曲面的概念、理论、方法和应用背景。初步认知张量符号, 理解曲面论的基本定理。理解和掌握曲面上曲线的测地曲率、测地线及其短程性。了解本章唯一的整体理论—— 高斯波涅（Gauss-Bonnet）公式。了解常高斯曲率曲面、伪球面及罗氏几何的概念和有关内容。 3．教学重点和难点教学重点是空间曲面的第一、第二基本形式；法曲率、主曲率、高斯曲率、平均曲率、测地曲率的定义和性质；曲面的渐近方向、共轭方向、主方向；渐近线、曲率线、测地线的定义和求法；空间曲线、曲面的基本定理；可展曲面及其特征；欧拉公式、罗德里格定理、高斯定理、高斯—波涅公式及其应用。教学难点是曲面上各种曲率间的内部关系，曲面论的基本定理的理解及符号意义等。 4．教学内容第一节曲面的概念 1．简单曲面及其参数表示 2．光滑曲面、曲面的切平面及法线 3．曲面上的曲线族和曲线网第二节曲面的第一基本形式 1．曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长 2．曲面上两方向的夹角 3．正交曲线族和正交轨线 4．曲面域的面积 5．等距变换 6．保角变换第三节曲面的第二基本形式 1．曲面的第二基本形式