第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析 拉普拉斯变换 系统函数 系统函数的零、极点分布分析 ·线性系统的稳定性 ·拉氏变换与傅氏变换的关系 此靠部电火兽电信二假院 41引言 拉氏变换作用? 目前,在连续、线性、 时不变系统分析中,利用 拉氏变换建立的系统函数 及其零、极点分析的概念 仍发挥重要作用 此京部电火电信二《院
1 北京邮电大学电信工程学院 1 第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析 • 拉普拉斯变换 • 系统函数 • 系统函数的零、极点分布分析 • 线性系统的稳定性 • 拉氏变换与傅氏变换的关系 北京邮电大学电信工程学院 2 拉氏变换作用？ 目前，在连续、线性、 时不变系统分析中，利用 拉氏变换建立的系统函数 及其零、极点分析的概念 仍发挥重要作用。 4.1 引言
拉氏变换优点 求解常系数微分方程的步骤得到简化,初始条 件被自动计入,应用更加普遍 将“微分”与“积分”运算转换为“乘法”和“除法” ·指数函数等以及有不连续点的函数,经拉氏变 换可转换为简单的初等函数 时域中两函数的卷积运算转换为变换域中两函 数的乘法运算,建立了系统函数的概念 利用系统函数零、极点分布可以简明描述系统 性能 此靠部电火兽电信二假院 42拉氏变换的定义、收敛域 傅氏变换到拉氏变换 不满足狄里赫利 若乘一衰减因子em,G 为任意实数,则f(t)e- 条件的几种情况 收敛,满足狄里赫利条件 ) u(t)e 增长信号e(a>0 (o>a 周期信号cost e cos @,t 此京部电火兽电信二假院
2 北京邮电大学电信工程学院 3 • 求解常系数微分方程的步骤得到简化，初始条 件被自动计入，应用更加普遍。 • 将“微分”与“积分”运算转换为“乘法”和“除法” • 指数函数等以及有不连续点的函数，经拉氏变 换可转换为简单的初等函数 • 时域中两函数的卷积运算转换为变换域中两函 数的乘法运算，建立了系统函数的概念 • 利用系统函数零、极点分布可以简明描述系统 性能 拉氏变换优点 北京邮电大学电信工程学院 4 4.2 拉氏变换的定义、收敛域 不满足狄里赫利 条件的几种情况 傅氏变换到拉氏变换 e (a >0) at t1 cosω 增长信号 周期信号 u(t) t u t e−σ ( ) e .e ( a) at t > − σ σ e t t 1 cosω −σ 若乘一衰减因子 ， 为任意实数，则 收敛，满足狄里赫利条件 e −σt σ t f t e − σ ( )
f()=f() dt= F(o+jo) 象函数 S=o+J F(s)=f(te- sdt S=o+io为复数,具有频率量纲,称为复频率 傅氏变换:实频率是振荡频率 拉氏变换:复频率SO是振荡频率,是衰减因子 f(r=f(e o F(0+ja)=f()e lot ondt F(o+joe de 2 f( F(o+jo)e d 2 已知s=σ+jo,所以ds=dσ+jdm, o为常量,则s=jdo 原函数 f(t) F(s)e
3 傅氏变换: 实频率 是振荡频率 拉氏变换: 复频率S 是振荡频率， 是衰减因子 ω ω σ t f t f t e−σ ( ) = ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ω σ ω σ ω F f t e dt F j j t = = + ∫ ∞ −∞ − + ∫ ∞ −∞ − F s = f t e dt st ( ) ( ) 象函数 s=σ+jω为复数，具有频率量纲，称为复频率。 s=σ+jω t f t f t e−σ ( ) = ( ) 1 F j f t e dt j t ∫ ∞ −∞ − + + = ( ) ( ) ( ) σ ω σ ω ∫ ∞ − ∞ − = σ + ω ω π σ ω f t e F j e d t j t ( ) 2 1 ( ) F s e ds j f t j j st ∫ + ∞ − ∞ ∴ = σ π σ ( ) 2 1 ( ) 原函数 ∫ ∞ − ∞ + = σ + ω ω π σ ω f t F j e d ( j )t ( ) 2 1 ( ) σ ω σ ω σ ω ds jd s j ds d jd = = + = + 为常量，则 已知 ，所以
拉氏变换 F(s)= f(t)e-dt 拉氏反变换 f(t) °"F(s)e"ds 2 a-yon 单边拉氏变换为F(s)=f()e-dt 对于旷系统,相应的单边拉氏变换为 F(s)=f(t)- dt f(t)= F(s) ds 2rj O-yoo 42拉氏变换的定义、收敛域 傅氏变换和拉氏变换差别 傅氏变换 拉氏变换 f(1)<>F(O) f(t)<>F(s) 和a是实数 t是实数s是复数 ⑩只能描述振荡频率S不但能给出重复频率 还能表示幅度的增长速 率或衰减速率 此京部电火电信二《院
4 对于 系统，相应的单边拉氏变换为： − 0 F s e ds j f t j j st ∫ + ∞ − ∞ = σ π σ ( ) 2 1 ( ) ∫ ∞ −∞ − F s = f t e dt st 拉氏变换 ( ) ( ) 拉氏反变换 ∫ ∞ − = 0 F (s) f (t)e dt st 单边拉氏变换为 F s e ds j f t j j st ∫ + ∞ − ∞ = σ π σ ( ) 2 1 ( ) ∫ ∞ − − = 0 F (s) f (t)e dt st 北京邮电大学电信工程学院 8 4.2 拉氏变换的定义、收敛域 傅氏变换和拉氏变换差别 傅氏变换 拉氏变换 f (t) ↔ F(ω) f (t) ↔ F(s) s 不但能给出重复频率， 还能表示幅度的增长速 率或衰减速率 ω只能描述振荡频率 t和ω是实数 t是实数,s是复数
42拉氏变换的定义、收敛域 收敛域:使F()存在的s的区域称为收敛域。 即:imf()e=0(a>0) →0 记为ROC( Region of Convergence) JO 0为 收敛区 收敛轴 0=0 此靠部电火兽电信二假院 拉氏变换的收敛域 满足imf(le-=0(a>)的信号称为指数阶信号 O 有始有终信号和能量有限信号个平面 的拉氏变换一定存在 等幅振荡信号和增长信号 如=0或0=a 以0为界O O0= 此京部电火电信二《院
5 北京邮电大学电信工程学院 9 lim ( ) 0 ( ) σ σ 0 σ = > − → ∞ t t 即： f t e 收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 σ =σ0 σ 以 为界 σ 0 jω 收敛区 收敛轴 记为ROC（Region of Convergence）. 4.2 拉氏变换的定义、收敛域 北京邮电大学电信工程学院 10 •有始有终信号和能量有限信号 的拉氏变换一定存在 •等幅振荡信号和增长信号 如 0 σ 0 = 或 = a σ0 σ jω 整个平面 σ jω σ 0 = a 以 为界 σ 0 拉氏变换的收敛域 •满足 ( ) 0 ( ) 的信号称为指数阶信号. lim σ σ 0 α = > − →∞ t t f t e
拉氏变换的收敛域 limt"e-at=0(a>0),也称为指数阶信号。 →0 不收敛信号e,t(0≤1≤∞ 是非指数阶信号,无法进行拉氏变换 除非(0≤t≤7) 一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围 此靠部电火兽电信二假院 一些常用函数的拉氏变换 阶跃函数u() Lu(oI dt 指数函数e -(a+s 0>- a+s0 a+ 增长函数t L[c]=re"dt 此京部电火电信二《院 6
6 北京邮电大学电信工程学院 11 •不收敛信号 , (0 ) 2 2 e te ≤t ≤∞ t t 是非指数阶信号，无法进行拉氏变换。 除非 (0 ≤ t ≤ T) • lim − = 0( > 0),也称为指数阶信号。 →∞ σ n σt t t e •一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围 拉氏变换的收敛域 北京邮电大学电信工程学院 12 一些常用函数的拉氏变换 阶跃函数u(t) s s e L u t e dt st st 1 0 [ ( )] 0 = ∞ = = − − +∞ − ∫ ( ) 1 0 [ ] ( ) 0 a a s a s e L e e e dt a s t at at st > − + = ∞ + = = − − + +∞ − − − ∫ σ ( 0) ! [ ] 1 0 = = > + +∞ − ∫ n s n L t t e dt n n n st 指数函数 at e− 增长函数 n t
一些常用函数的拉氏变换 冲激函数 LS(]= &(t)e dt=1 L[S(t-to]= 8(t-to De 'dt=e 此靠部电火兽电信二假院 43拉氏变换的基本性质 (1)线性若()-2→F(s,f()-2→F( 则k,f()+k2f2()-2→kF(s)+kF2(s) 例:求单边正弦、余弦信号的拉氏变换。 解: f(o=u(tcos ot=u(te 2 Le“] F(S)=( a+s 2S2+2 同理I(my=(1 S-JO S+J@ 2j S 此京部电火电信二《院
7 北京邮电大学电信工程学院 13 冲激函数 [ ( )] ( ) 1 0 = = ∫ +∞ − − L t t e dt st δ δ 0 0 0 0 [ ( )] ( ) st st L t t t t e dt e − +∞ − − = − = ∫ − δ δ 一些常用函数的拉氏变换 北京邮电大学电信工程学院 14 4.3 拉氏变换的基本性质 (1) 线性 例： 求单边正弦、余弦信号的拉氏变换。 ) 2 ( ) ( ) cos ( )( j t j t e e f t u t t u t ω ω ω − + = = 2 2 2 1 ) 1 1 ( ) ( ω ω +ω = − + + ∴ = S S S j S j F S a s L e at + = − 1 [ ] 2 2 2 1 ) 1 1 : [ ( )sin ] ( ω ω ω ω + = + − − = S j S j j S 同理 Lu t t 解：
43拉氏变换的基本性质 若f(()-2F(s) (2)时域平移性 则f(t-t(-t 证明: L(60(=4)=[U(-6-1)y=“d f(t-to )e dt f(r)ee dr=e F(s) 此靠部电火兽电信二假院 例:已知f()=m(≠D,求f的拉氏变换。 解:F(S)=L1t-1)]=l(t-1)a(t-1)+l(t-1) 例:已知f(0=2c0s+m0,求m的拉氏变换。 解 ∫(t)=(√2 cost cos"-√2 sint sin"u(t)=(cost-sin)a() F(s)=( 1+s21+s21+s
8 北京邮电大学电信工程学院 15 (2) 时域平移性 ∫ +∞ − − − = − − 0 0 0 0 0 L[ f (t t )u(t t )] [ f (t t )u(t t )]e dt 证明： st ∫ +∞ − = − 0 ( )0 t st f t t e dt ( ) ( ) 0 0 0 f e e d e F s st s −st +∞ − − ∫ = τ τ = τ 4.3 拉氏变换的基本性质 例： 已知 f(t)=tu(t-1)， 求 f(t) 的拉氏变换。 F(S) = L[tu(t −1)]= L[(t −1)u(t −1)+u(t −1)] s e s s − = + ) 1 1 ( 2 例： 已知 ， 求 ) ( ) f(t) 的拉氏变换。 4 f (t) 2cos(t u t π = + ) ( ) (cos sin ) ( ) 4 2 sin sin 4 f (t) = ( 2 cost cos − t u t = t − t u t π π 2 2 2 1 1 ) 1 1 1 ( ) ( s s s s s F s + − = + − + ∴ = 解： 解：
(3)时域微分性 若()-C→F(s) 则 df (t)L sF()-f(o_) dt 证明 df(t) =sF(s)-∫(0 拉氏变换已 虑了初始条 可推广至:“0F()-rm0.) 电感的s域模型 i(t) 设L1()=l4(s,LU1(O)=U4(s) +U(t) U10=lmL(o) a∴U1(S)=(S)-i10)=sL1(s)-Li1(0) 故电路等效为: Li 电感的s城棋型 +U2(s)- 此京部电火电信二《院
9 (3) 时域微分性 拉氏变换已考 虑了初始条件 证明： ∫ ∫ ∞ − − − +∞ − − − − − ∞ = = 0 0 ' [ ( ) ] 0 ] ( ) ( ) ( ) [ f t e dt f t e sf t e dt dt df t L st st st ( ) (0 ) = − − sF s f 可推广至： ( ) (0 ) ( ) ( ) 1 0 1 − − = − − ⎯⎯→ −∑ r n r n n r n n s F s s f dt d f t L ( ) (0 ) ( ) ( ) ( ) ⎯⎯→ − − ⎯⎯→ sF s f dt df t f t F s L L 则 若 北京邮电大学电信工程学院 18 电感的s域模型 故电路等效为： 电感的s域模型 i (t) L + U L (t) − L L[i (t)] I (s), L[U (t)] U (s) 设 L = L L = L ( ) [ ( ) (0 )] ( ) (0 ) ∴ L = L − L − = L − LiL − U s L sI s i sLI s dt di t U t L L L ( ) ( ) =
(4)时域积分性 若f()C→F() d-,F(+f(0 证明:r=,1orr ① F(s) 电容器的s域模型 a L(i (D)=I(s), Lv(D)=V(s) t vr(t) v() C。(z)d dt (s),i-(0) 路 "(0) l2(s)5 电容器的 效 → 为 此京部电火电信二《院
10 (4) 时域积分性 证明： s F(s) = s f s F s f d f t F s t ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (−1) −∞ ⎯⎯→ + ⎯⎯→ ∫ L L 则 τ τ 若 北京邮电大学电信工程学院 20 电容器的s域模型 C + vC (t) − i (t) C + − I (s) C SC 1 V (S) C (0 ) 1 S C − v 电容器的 S 域模型 电 路 等 效 为 L[i (t)] I (s), L[v (t)] V (s) 设 c = C c = C ∫−∞ = t c ci C v t (τ )dτ 1 ( ) (0 ) 1 ( ) 1 ] ( ) (0 ) [ 1 ( ) ( 1) − − − ∴ = + = c + c c c c v s I s s sC i s I s C V s