主要内容量纲分析与无量纲化S1量纲的概念S2量纲和谐原理S3布金汉元定理与无量纲化
主要内容 §1 量纲的概念 §2 量纲和谐原理 §3 布金汉π定理与无量纲化 1 量纲分析与无量纲化
s1 量纲的概念1量纲的定义称为该量的量纲。这种规定关一物理量与基本物理量之间的规定关系，系常以基本物理量的幕指乘积形式表示，因此也称为量纲积。即任一物理量Q的量纲皆可表示成基本物理量[Q]-LaMT]OJ'Nn名称量纲单位符号L米长度mM千克质量kg其中:T秒时间sIA安培L,M,T,I,O,J,N电流强度0K温度开尔文是基本物理量的量纲：Jcd光强坎德拉Nmol摩尔物质的量α,β,, ,, ,n称为量纲指数
一物理量与基本物理量之间的规定关系，称为该量的量纲。这种规定关 系常以基本物理量的幂指乘积形式表示，因此也称为量纲积。即任一物 理量Q的量纲皆可表示成 [Q]=LαM βTγ I δΘεJ ζNη 其中： L，M，T，I，Θ，J，N 是基本物理量的量纲； α, β, γ, δ, ε, ζ, η称为量纲指数。 §1 量纲的概念 基本物理量 名称 量纲 单位 符号 长度 L 米 m 质量 M 千克 kg 时间 T 秒 s 电流强度 I 安培 A 温度 Θ 开尔文 K 光强 J 坎德拉 cd 物质的量 N 摩尔 mol 1 量纲的定义
S1量纲的概念2量纲与单位的关系量纲（属性）物理量单位（量度标准）10量纲（Dimension）：是表征各种物理量性质和类别，是指物理量所属的种类。如长度量纲为L]。“质”的表征。单位（Unit）：是人为规定的量度标准，量度各种物理量数值大小的标准量。如长度单位为m或cm等。“量”的表征。虽然量纲和单位都能反映该物理量与基本物理量间的关系，但量纲及其相互关系反映了各量之间的内在属性，量纲关系是建立数学模型的理论基础
2 量纲与单位的关系 1） 量纲（Dimension）：是表征各种物理量性质和类别，是指物理量所 属的种类。如长度量纲为[L]。 “质”的表征。 单位（Unit） ：是人为规定的量度标准，量度各种物理量数值大小的 标准量。如长度单位为m或cm等。 “量”的表征。 物理量 量纲（属性） 单位（量度标准） 虽然量纲和单位都能反映该物理量与基本物理量间的关系，但量纲及其 相互关系反映了各量之间的内在属性，量纲关系是建立数学模型的理论 基础。 §1 量纲的概念
s1量纲的概念3量纲的分类：（1）基本量纲（独立量纲）不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。长度 I的量纲记[]=L动力学中基本量纲质量m的量纲记[m]=ML, M, T时间 t 的量纲记[] = T（2）导出量纲（非独立量纲）一可由基本量纲导出的量纲。[速度的量纲[>] = LT-I导出量纲加速度α 的量纲[α] = LT2[力f的量纲[=LMT2
3 量纲的分类： （1）基本量纲（独立量纲） ——不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。 （2）导出量纲（非独立量纲） ——可由基本量纲导出的量纲。 长度 l 的量纲记 [l] = L 质量 m的量纲记 [m] = M 时间 t 的量纲记 [t] = T 动力学中基本量纲 L, M, T 速度 v 的量纲 [v] = LT-1 加速度 a 的量纲 [a] = LT-2 导出量纲 力 f 的量纲 [f] = LMT-2 §1 量纲的概念
S1量纲的概念4量纲的乘除计算对于不同物理量之间乘、除法导出新的物理量，量纲的计算满足数学上的指数计算法则，即：相乘则对应指数相加，相除则对应指数相减。例如，根据安培力计算公式F=ILB，可导出磁感应强度的量纲有LMT-2(dim F)= MT-2I-1dim B =I L(dim D)(dim L)
对于不同物理量之间乘、除法导出新的物理量，量纲的计算满足数 学上的指数计算法则，即：相乘则对应指数相加，相除则对应指数 相减。 例如，根据安培力计算公式F = I L B，可导出磁感应强度的量纲， 有 4 量纲的乘除计算 2 1 2 M T I I L LMT (dim )(dim ) (dim ) dim I L F B §1 量纲的概念
S1量纲的概念4量纲的乘除计算速度V= dS/dt, [v ] = L/T = L T1加速度a = dv/dt, [a]= LT1/T = L T2力F= m·a, [F]= M·LT2= MLT?压强[P] = MLT-2 /L2 = M T2 L-1P = F/S,功W= F· S, [W] = MLT2. L? =M L3 T2
速度 v = dS/dt, [v ] = L/T = L T-1 加速度 a = dv/dt, [a] = LT-1 /T = L T-2 力 F = m ∙ a, [F] = M ∙ L T-2 = M L T-2 压强 P = F/S, [P] = MLT-2 /L2 = M T-2 L-1 功 W = F ∙ S, [W] = M LT-2 ∙ L2 =M L3 T-2 4 量纲的乘除计算 §1 量纲的概念
S1量纲的概念5无量纲量（1）定义：对于某个物理量Q，有α=β===ε==n=0，则记为 [Q]-LOMOT..- 1称之为无量纲量，>它不依赖于选定的基本量纲例如，圆周率（元）、欧拉常数（e）和黄金分割率（o）等。无量纲量的来源：1）可由两个具有相同量纲的物理量相比得到：如，弧度0=l弧长)/R(半径)，[0]= LL-1 = 12）可由几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零得到。雷诺数，又称雷诺准数，是D-vpL-LT-1.ML-3如，雷诺数R-[R]=1u用以判别粘性流体流动状态MT-IL-1（层流，流）的一个无量3）无量纲化过程产生的无量纲量。纲数
5 无量纲量 （1）定义：对于某个物理量Q，有α = β = γ = δ = ε = ζ = η = 0，则 称之为无量纲量，记为 [Q]=L0M0T0 .= 1 它不依赖于选定的基本量纲。 例如，圆周率（π）、欧拉常数（e）和黄金分割率（φ）等。 1）可由两个具有相同量纲的物理量相比得到； 如，弧度 θ = l (弧长)/R (半径) , [θ]= LL-1 = 1 2）可由几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零得到。 如，雷诺数 3）无量纲化过程产生的无量纲量。 D v R e 1 3 1 1 L LT ML [ ] 1 MT L R e = 无量纲量的来源： §1 量纲的概念 雷诺数，又称雷诺准数，是 用以判别粘性流体流动状态 （层流，湍流）的一个无量 纲数
S1量纲的概念(2）无量纲量化的优点：1无量纲数既无量纲又无单位，因此其数值大小与所选单位无关。一个物理方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不受单位制的限制。在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲量，因为这些函数展开式是不同幕次项相加，有量纲量是不可能的。在数值模拟中防止大数吃小数的问题。电子电荷e，电子质量m这些参量，它们的数值非常小，凡是天文数值都不适合在计算程序中出现。有个很优美的技术来消除它们，就是无量纲化
（2）无量纲量化的优点： ① 无量纲数既无量纲又无单位，因此其数值大小与所选单位无关。 ② 一个物理方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不受单 位制的限制。 ③ 在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲量， 因为这些函数展开式是不同幂次项相加，有量纲量是不可能的。 ④ 在数值模拟中防止大数吃小数的问题。电子电荷e，电子质量m 这 些参量，它们的数值非常小，凡是天文数值都不适合在计算程序中 出现。有个很优美的技术来消除它们，就是无量纲化。 §1 量纲的概念
82量纲和谐原理1量纲和谐原理凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。这称为量纲和谐原理。量纲和谐原理的重要性a、一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验物理方程或经验公式的正确性和完整性。b、根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。整理c、初步建立物理方程式的结构形式，为科学地组织实验过程、实验成果提供理论指导
§2 量纲和谐原理 凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的， 即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。这称为量纲和谐原理。 量纲和谐原理的重要性： b、根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。 c、初步建立物理方程式的结构形式，为科学地组织实验过程、整理 实验成果提供理论指导。 a、一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验物理方程或经验 公式的正确性和完整性。 1 量纲和谐原理
82量纲和谐原理2量纲和谐原理应用-验证公式正确性对于安培力公式F=ILB，如果不慎记成F=IvB，那么在验证时有dim F = LMT2dim IVB = I LT-IMT-2I-1 = LMT-3量纲显然是不等的，那么便可以得知公式错误；并且还可以知道是少了福一个量纲T，那么便会更有方向性地寻找错误原因
2 量纲和谐原理应用-验证公式正确性 对于安培力公式F = I L B，如果不慎记成F = I v B，那么在验证时有， 量纲显然是不等的，那么便可以得知公式错误；并且还可以知道是少了 一个量纲T，那么便会更有方向性地寻找错误原因。 §2 量纲和谐原理 -1 2 1 3 dim I LT M T I LMT IVB -2 dim F LMT